2020版新高考数学一轮（鲁京津琼）精练：第9章第1讲　直线的方程 (含解析)

第1讲　直线的方程

一、选择题

1.直线x－y＋a＝0(a为常数)的倾斜角为(　　)

A.30°   B.60°   C.120°   D.150°

解析　直线的斜率为k＝tan α＝，又因为0°≤α＜180°，所以α＝60°.

答案　B

2.已知直线l过圆x2＋(y－3)2＝4的圆心，且与直线x＋y＋1＝0垂直，则直线l的方程是(　　)

A.x＋y－2＝0    B.x－y＋2＝0

C.x＋y－3＝0    D.x－y＋3＝0

解析　圆x2＋(y－3)2＝4的圆心为点(0，3)，又因为直线l与直线x＋y＋1＝0垂直，所以直线l的斜率k＝1.由点斜式得直线l：y－3＝x－0，化简得x－y＋3＝0.

答案　D

3.直线x＋(a2＋1)y＋1＝0的倾斜角的取值范围是(　　)

A.  B.

C.∪ D.∪

解析　∵直线的斜率k＝－，∴－1≤k＜0，则倾斜角的范围是.

答案　B

4.(2017·高安市期中)经过抛物线y2＝2x的焦点且平行于直线3x－2y＋5＝0的直线l的方程是(　　)

A.6x－4y－3＝0    B.3x－2y－3＝0

C.2x＋3y－2＝0    D.2x＋3y－1＝0

解析　因为抛物线y2＝2x的焦点坐标为，直线3x－2y＋5＝0的斜率为，所以所求直线l的方程为y＝，化为一般式，得6x－4y－3＝0.

答案　A

5.(2016·广州质检)若直线l与直线y＝1，x＝7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，－1)，则直线l的斜率为(　　)

A.   B.－   C.－   D.

解析　依题意，设点P(a，1)，Q(7，b)，则有解得

a＝－5，b＝－3，从而可知直线l的斜率为＝－.

答案　B

6.(2017·深圳调研)在同一平面直角坐标系中，直线l1：ax＋y＋b＝0和直线l2：bx＋y＋a＝0有可能是(　　)

解析　当a>0，b>0时，－a<0，－b<0.选项B符合.

答案　B

7.(2016·衡水一模)已知直线l的斜率为，在y轴上的截距为另一条直线x－2y－4＝0的斜率的倒数，则直线l的方程为(　　)

A.y＝x＋2    B.y＝x－2

C.y＝x＋    D.y＝－x＋2

解析　∵直线x－2y－4＝0的斜率为，

∴直线l在y轴上的截距为2，∴直线l的方程为y＝x＋2，故选A.

答案　A

8.(2017·福州模拟)若直线ax＋by＝ab(a＞0，b＞0)过点(1，1)，则该直线在x轴、y轴上的截距之和的最小值为(　　)

A.1   B.2   C.4   D.8

解析　∵直线ax＋by＝ab(a＞0，b＞0)过点(1，1)，

∴a＋b＝ab，即＋＝1，

∴a＋b＝(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4，

当且仅当a＝b＝2时上式等号成立.

∴直线在x轴，y轴上的截距之和的最小值为4.

答案　C

二、填空题

9.已知三角形的三个顶点A(－5，0，)，B(3，－3)，C(0，2)，则BC边上中线所在的直线方程为________.

解析　BC的中点坐标为，∴BC边上中线所在直线方程为＝，即x＋13y＋5＝0.

答案　x＋13y＋5＝0

10.若直线l的斜率为k，倾斜角为α，而α∈∪，则k的取值范围是________.

解析　当≤α<时，≤tan α<1，∴≤k<1.

当≤α<π时，－≤tan α<0，

即－≤k＜0，∴k∈∪[－，0).

答案　[－，0)∪

11.过点M(3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为____________.

解析　①若直线过原点，则k＝－，

所以y＝－x，即4x＋3y＝0.

②若直线不过原点，设直线方程为＋＝1，

即x＋y＝a.则a＝3＋(－4)＝－1，

所以直线的方程为x＋y＋1＝0.

答案　4x＋3y＝0或x＋y＋1＝0

12.直线l：(a－2)x＋(a＋1)y＋6＝0，则直线l恒过定点________.

解析　直线l的方程变形为a(x＋y)－2x＋y＋6＝0，

由解得x＝2，y＝－2，

所以直线l恒过定点(2，－2).

答案　(2，－2)

13.已知直线l过点(1，0)，且倾斜角为直线l0：x－2y－2＝0的倾斜角的2倍，则直线l的方程为(　　)

A.4x－3y－3＝0    B.3x－4y－3＝0

C.3x－4y－4＝0    D.4x－3y－4＝0

解析　由题意可设直线l0，l的倾斜角分别为α，2α，因为直线l0：x－2y－2＝0的斜率为，则tan α＝，

所以直线l的斜率k＝tan 2α＝＝＝，所以由点斜式可得直线l的方程为y－0＝(x－1)，

即4x－3y－4＝0.

答案　D

14.(2017·成都诊断)设P为曲线C：y＝x2＋2x＋3上的点，且曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围为，则点P横坐标的取值范围为(　　)

A.    B.[－1，0]

C.[0，1]    D.

解析　由题意知y′＝2x＋2，设P(x0，y0)，则k＝2x0＋2.因为曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围为，则0≤k≤1，即0≤2x0＋2≤1，故－1≤x0≤－.

答案　A

15.已知直线l过坐标原点，若直线l与线段2x＋y＝8(2≤x≤3)有公共点，则直线l的斜率的取值范围是________.

解析　设直线l与线段2x＋y＝8(2≤x≤3)的公共点为P(x，y).

则点P(x，y)在线段AB上移动，且A(2，4)，B(3，2)，

设直线l的斜率为k.

又kOA＝2，kOB＝.

如图所示，可知≤k≤2.

∴直线l的斜率的取值范围是.

答案　

16.在平面直角坐标系xOy中，设A是半圆O：x2＋y2＝2(x≥0)上一点，直线OA的倾斜角为45°，过点A作x轴的垂线，垂足为H，过H作OA的平行线交半圆于点B，则直线AB的方程是________.

解析　直线OA的方程为y＝x，

代入半圆方程得A(1，1)，

∴H(1，0)，直线HB的方程为y＝x－1，

代入半圆方程得B.

所以直线AB的方程为＝，

即x＋y－－1＝0.

答案　x＋y－－1＝0