2020版新高考数学一轮（鲁京津琼）精练：第9讲　第1课时　直线与圆锥曲线 (含解析)

第1课时　直线与圆锥曲线

一、选择题

1.过抛物线y2＝2x的焦点作一条直线与抛物线交于A，B两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线(　　)

A.有且只有一条    B.有且只有两条

C.有且只有三条    D.有且只有四条

解析　∵通径2p＝2，又|AB|＝x1＋x2＋p，∴|AB|＝3＞2p，故这样的直线有且只有两条.

答案　B

2.直线y＝x＋3与双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的交点个数是(　　)

A.1   B.2   C.1或2   D.0

解析　因为直线y＝x＋3与双曲线的渐近线y＝x平行，所以它与双曲线只有1个交点.

答案　A

3.经过椭圆＋y2＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l，交椭圆于A，B两点，设O为坐标原点，则·等于(　　)

A.－3   B.－

C.－或－3    D.±

解析　依题意，当直线l经过椭圆的右焦点(1，0)时，其方程为y－0＝tan 45°(x－1)，即y＝x－1，代入椭圆方程＋y2＝1并整理得3x2－4x＝0，解得x＝0或x＝，所以两个交点坐标分别为(0，－1)，，∴·＝－，同理，直线l经过椭圆的左焦点时，也可得·＝－.

答案　B

4.抛物线y＝x2到直线x－y－2＝0的最短距离为(　　)

A.    B.

C.2   D.

解析　设抛物线上一点的坐标为(x，y)，则d＝＝＝，∴x＝时， dmin＝.

答案　B

5.(2017·石家庄调研)椭圆ax2＋by2＝1与直线y＝1－x交于A，B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为，则的值为(　　)

A.   B.   C.   D.

解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB中点M(x0，y0)，

由题设kOM＝＝.

由得＝－.

又＝－1，＝＝.

所以＝.

答案　A

二、填空题

6.已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)，F(，0)为其右焦点，过F且垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2.则椭圆C的方程为________.

解析　由题意得解得∴椭圆C的方程为＋＝1.

答案　＋＝1

7.已知抛物线y＝ax2(a＞0)的焦点到准线的距离为2，则直线y＝x＋1截抛物线所得的弦长等于________.

解析　由题设知p＝＝2，∴a＝.

抛物线方程为y＝x2，焦点为F(0，1)，准线为y＝－1.

联立消去x，

整理得y2－6y＋1＝0，∴y1＋y2＝6，∵直线过焦点F，

∴所得弦|AB|＝|AF|＋|BF|＝y1＋1＋y2＋1＝8.

答案　8

8.过椭圆＋＝1内一点P(3，1)，且被这点平分的弦所在直线的方程是________.

解析　设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，

由于A，B两点均在椭圆上，

故＋＝1，＋＝1，

两式相减得

＋＝0.

又∵P是A，B的中点，∴x1＋x2＝6，y1＋y2＝2，

∴kAB＝＝－.

∴直线AB的方程为y－1＝－(x－3).

即3x＋4y－13＝0.

答案　3x＋4y－13＝0

三、解答题

9.设F1，F2分别是椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，过F1且斜率为1的直线l与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列.

(1)求E的离心率；

(2)设点P(0，－1)满足|PA|＝|PB|，求E的方程.

解　(1)由椭圆定义知|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a，

又2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，得|AB|＝a，

l的方程为y＝x＋c，其中c＝.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点的坐标满足方程组消去y，化简得(a2＋b2)x2＋2a2cx＋a2(c2－b2)＝0，则x1＋x2＝，x1x2＝.

因为直线AB的斜率为1，所以|AB|＝|x2－x1|＝，即a＝，故a2＝2b2，

所以E的离心率e＝＝＝.

(2)设AB的中点为N(x0，y0)，由(1)知

x0＝＝＝－，y0＝x0＋c＝.

由|PA|＝|PB|，得kPN＝－1，即＝－1，

得c＝3，从而a＝3，b＝3.

故椭圆E的方程为＋＝1.

10.已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的一个顶点为A(2，0)，离心率为.直线y＝k(x－1)与椭圆C交于不同的两点M，N.

(1)求椭圆C的方程；

(2)当△AMN的面积为时，求k的值.

解　(1)由题意得

解得b＝，所以椭圆C的方程为＋＝1.

(2)由得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－4＝0.

设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，

则y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)，

x1＋x2＝，x1x2＝，

所以|MN|＝

＝

＝

又因为点A(2，0)到直线y＝k(x－1)的距离d＝，

所以△AMN的面积为S＝|MN|·d＝，由＝，解得k＝±1.

11.已知椭圆＋＝1(0＜b＜2)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，若|BF2|＋|AF2|的最大值为5，则b的值是(　　)

A.1   B.   C.   D.

解析　由椭圆的方程，可知长半轴长为a＝2，由椭圆的定义，可知|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a＝8，

所以|AB|＝8－(|AF2|＋|BF2|)≥3.

由椭圆的性质，可知过椭圆焦点的弦中，通径最短，即＝3，可求得b2＝3，即b＝.

答案　D

12.(2016·四川卷)设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2＝2px(p>0)上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|＝2|MF|，则直线OM的斜率的最大值是(　　)

A.   B.   C.   D.1

解析　如图所示，设P(x0，y0)(y0>0)，则y＝2px0，

即x0＝.

设M(x′，y′)，由＝2，

得

解之得x′＝，且y′＝.

∴直线OM的斜率k＝＝＝

又y0＋≥2p，当且仅当y0＝p时取等号.

∴k≤＝，则k的最大值为.

答案　C

13.设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足.如果直线AF的斜率为－，那么|PF|＝________.

解析　直线AF的方程为y＝－(x－2)，联立得y＝4，所以P(6，4).由抛物线的性质可知|PF|＝6＋2＝8.

答案　8

14.已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线y＝4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|＝|PQ|.

(1)求C的方程；

(2)过F的直线l与C相交于A，B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M，N两点，且A，M，B，N四点在同一圆上，求l的方程.

解　(1)设Q(x0，4)，代入y2＝2px得x0＝.

所以|PQ|＝，|QF|＝＋x0＝＋.

由题设得＋＝×，解得p＝－2(舍去)或p＝2.

所以C的方程为y2＝4x.

(2)依题意知l与坐标轴不垂直，故可设l的方程为x＝my＋1(m≠0).代入y2＝4x得y2－4my－4＝0.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4.

故AB的中点为D(2m2＋1，2m)，

|AB|＝|y1－y2|＝4(m2＋1).

又l′的斜率为－m，所以l′的方程为x＝－y＋2m2＋3.

将上式代入y2＝4x，并整理得y2＋y－4(2m2＋3)＝0.

设M(x3，y3)，N(x4，y4)，则y3＋y4＝－，

y3y4＝－4(2m2＋3).

故MN的中点为E，

|MN|＝|y3－y4|＝.

由于MN垂直平分AB，故A，M，B，N四点在同一圆上等价于|AE|＝|BE|＝|MN|，

从而|AB|2＋|DE|2＝|MN|2，

即4(m2＋1)2＋＋

＝.

化简得m2－1＝0，

解得m＝1或m＝－1.

所求直线l的方程为x－y－1＝0或x＋y－1＝0.