2020版新高考数学一轮（鲁京津琼）精练：第9章 阶段强化练（七） (含解析)

阶段强化练(七)一、选择题1．(2019·成都诊断)已知椭圆C：16x2＋4y2＝1，则下列结论正确的是(　　)A．长轴长为   B．焦距为C．短轴长为   D．离心率为答案　D解析　由椭圆方程16x2＋4y2＝1化为标准方程可得＋＝1，所以a＝，b＝，c＝，长轴2a＝1，焦距2c＝，短轴2b＝，离心率e＝＝.故选D.2．双曲线－＝1的渐近线方程是(　　)A．y＝±3x   B．y＝±xC．y＝±x   D．y＝±x答案　C解析　因为－＝1，所以a＝，b＝3，渐近线方程为y＝±x，即为y＝±x，故选C.3．(2019·河北衡水中学调研)已知双曲线my2－x2＝1(m∈R)与抛物线x2＝8y有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为(　　)A．y＝±x   B．y＝±3xC．y＝±x   D．y＝±x答案　A解析　∵抛物线x2＝8y的焦点为(0,2)，∴双曲线的一个焦点为(0,2)，∴＋1＝4，∴m＝，∴双曲线的渐近线方程为y＝±x，故选A.4．(2019·河北衡水中学模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)和直线l：＋＝1，若过C的左焦点和下顶点的直线与l平行，则椭圆C的离心率为(　　)A.  B.  C.  D.答案　A解析　直线l的斜率为－，过C的左焦点和下顶点的直线与l平行，所以＝，又b2＋c2＝a2⇒2＋c2＝a2⇒c2＝a2，所以e＝＝，故选A.5．(2019·洛阳、许昌质检)若双曲线x2－＝1(b>0)的一条渐近线与圆x2＋(y－2)2＝1至多有一个交点，则双曲线离心率的取值范围是(　　)A．(1,2]   B．[2，＋∞)C．(1，]   D．[，＋∞)答案　A解析　双曲线x2－＝1(b>0)的一条渐近线方程是bx－y＝0，由题意圆x2＋(y－2)2＝1的圆心(0,2)到bx－y＝0的距离不小于1，即≥1，则b2≤3，那么离心率e∈(1,2]，故选A.6．(2019·河北武邑中学调研)已知直线l：y＝k(x＋2)(k>0)与抛物线C：y2＝8x相交于A，B两点，F为C的焦点，若|FA|＝2|FB|，则k等于(　　)A.  B.  C.  D.答案　D解析　由消去y得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，Δ＝(4k2－8)2－16k4>0，又k>0，解得0<k<1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1＋x2＝－4，                        ①x1x2＝4，                                                   ②根据抛物线定义及|FA|＝2|FB|得x1＋2＝2(x2＋2)，即x1＝2x2＋2，                                             ③且x1>0，x2>0，由②③解得x1＝4，x2＝1，代入①得k2＝，∵0<k<1，∴k＝.故选D.7．(2019·唐山模拟)双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，则E的离心率为(　　)A．2  B.  C．2  D．2答案　C解析　由题意，双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，即＝，所以双曲线的离心率为e＝＝＝＝2，故选C.8．(2019·河北衡水中学模拟)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作圆x2＋y2＝a2的切线，交双曲线右支于点M，若∠F1MF2＝45°，则双曲线的渐近线方程为(　　)A．y＝±x   B．y＝±xC．y＝±x   D．y＝±2x答案　A解析　如图，作OA⊥F1M于点A，F2B⊥F1M于点B.因为F1M与圆x2＋y2＝a2相切，∠F1MF2＝45°，所以|OA|＝a，|F2B|＝|BM|＝2a，|F2M|＝2a，|F1B|＝2b.又点M在双曲线上，所以|F1M|－|F2M|＝2a＋2b－2a＝2a.整理，得b＝a.所以＝.所以双曲线的渐近线方程为y＝±x.故选A.9．(2019·湖南五市十校联考)在直角坐标系xOy中，抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，P为C上一点，PQ垂直l于点Q，M，N分别为PQ，PF的中点，直线MN与x轴交于点R，若∠NFR＝60°，则|FR|等于(　　)A．2  B.  C．2  D．3答案　A解析　由抛物线C：y2＝4x，得焦点F(1,0)，准线方程为x＝－1，因为M，N分别为PQ，PF的中点，所以MN∥QF，所以四边形QMRF为平行四边形，|FR|＝|QM|，又由PQ垂直l于点Q，可知|PQ|＝|PF|，因为∠NFR＝60°，所以△PQF为等边三角形，所以FM⊥PQ，所以|FR|＝2，故选A.10．已知F1，F2分别是双曲线E：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1＝，则E的离心率为(　　)A.  B.  C.  D．2答案　A解析　因为MF1与x轴垂直，所以|MF1|＝.又sin∠MF2F1＝，所以＝，即|MF2|＝3|MF1|.由双曲线的定义，得2a＝|MF2|－|MF1|＝2|MF1|＝，所以b2＝a2，所以c2＝b2＋a2＝2a2，所以离心率e＝＝.11．(2019·湖南长沙长郡中学调研)已知点P(－1,0)，设不垂直于x轴的直线l与抛物线y2＝2x交于不同的两点A，B，若x轴是∠APB的角平分线，则直线l一定过点(　　)A.  B．(1,0)  C．(2,0)  D．(－2,0)答案　B解析　根据题意，直线的斜率存在且不等于零，设直线的方程为x＝ty＋m(t≠0)，与抛物线方程联立，消元得y2－2ty－2m＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为x轴是∠APB的角平分线，所以AP，BP的斜率互为相反数，所以＋＝0，所以2ty1y2＋(m＋1)(y1＋y2)＝0，结合根与系数之间的关系，整理得出2t(－2m)＋2tm＋2t＝0,2t(m－1)＝0，因为t≠0，所以m＝1，所以过定点(1,0)，故选B.12．(2019·陕西四校联考)已知椭圆和双曲线有共同的焦点F1，F2，P是它们的一个交点，且∠F1PF2＝，记椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则＋等于(　　)A．4  B．2  C．2  D．3答案　A解析　如图所示，设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的实半轴长为a2，则根据椭圆及双曲线的定义：|PF1|＋|PF2|＝2a1，|PF1|－|PF2|＝2a2，∴|PF1|＝a1＋a2，|PF2|＝a1－a2，设|F1F2|＝2c，∠F1PF2＝，则在△PF1F2中，由余弦定理得4c2＝(a1＋a2)2＋(a1－a2)2－2(a1＋a2)(a1－a2)cos ，化简得3a＋a＝4c2，该式可变成＋＝4.故选A.二、填空题13．已知双曲线C：x2－y2＝1，则点(4,0)到C的渐近线的距离为________．答案　2解析　双曲线C：x2－y2＝1的渐近线方程为y＝±x，点(4,0)到C的渐近线的距离为＝2.14．(2019·新乡模拟)设P为曲线2x＝上一点，A(－，0)，B(，0)，若|PB|＝2，则|PA|＝________.答案　4解析　由2x＝，得4x2＝4＋y2(x>0)，即x2－＝1(x>0)，故P为双曲线x2－＝1右支上一点，且A，B分别为该双曲线的左、右焦点，则|PA|－|PB|＝2a＝2，|PA|＝2＋2＝4.15．已知抛物线y2＝4x，圆F：(x－1)2＋y2＝1，直线y＝k(x－1)(k≠0)自上而下顺次与上述两曲线交于点A，B，C，D，则|AB|·|CD|的值是________．答案　1解析　设A(x1，y1)，D(x2，y2)，则|AB|·|CD|＝(|AF|－1)(|DF|－1)＝(x1＋1－1)(x2＋1－1)＝x1x2，由y＝k(x－1)与y2＝4x联立方程消y得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，x1x2＝1，因此|AB|·|CD|＝1.16．(2019·四省联考诊断)在平面上给定相异两点A，B，设P点在同一平面上且满足＝λ，当λ＞0且λ≠1时，P点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故我们称这个圆为阿波罗尼斯圆，现有椭圆＋＝1(a>b>0)，A，B为椭圆的长轴端点，C，D为椭圆的短轴端点，动点P满足＝2，△PAB的面积最大值为，△PCD面积的最小值为，则椭圆的离心率为________．答案　解析　依题意A(－a,0)，B(a,0)，设P(x，y)，依题意得|PA|＝2|PB|，＝2，两边平方化简得2＋y2＝2，故圆心为，半径r＝.所以△PAB的最大面积为·2a·a＝，解得a＝2，△PCD的最小面积为·2b·＝b·＝，解得b＝1.故椭圆的离心率为e＝＝＝.三、解答题17．(2019·湖南长沙长郡中学调研)在平面直角坐标系xOy中，已知圆M：(x－3)2＋(y－b)2＝r2(r为正数，b∈R)．(1)若对任意给定的r∈(0，＋∞)，直线l：y＝－x＋r＋4总能把圆M的周长分成3∶1的两部分，求圆M的标准方程；(2)已知点A(0,3)，B(1,0)，且r＝，若线段AB上存在一点P，使得过点P的某条直线与圆M交于点S，T(其中|PS|<|PT|)，且|PS|＝|ST|，求实数b的取值范围．解　(1)根据题意可得，圆心到直线的距离为r恒成立，即＝r，整理得|b－1－r|＝r，去绝对值符号可得b－1－r＝r或b－1－r＝－r，根据恒成立，可得b＝1，所以圆M的标准方程为(x－3)2＋(y－1)2＝r2.(2)根据题意，如果存在满足条件的点，对应的边界值为过圆心的弦，而从另一个角度，即为线段端点值满足条件即可，先考虑点A，即为|AM|≤3r，即(0－3)2＋(b－3)2≤9×，解得2≤b≤4，再考虑点B，即为|BM|≤3r，即(1－3)2＋b2≤10，解得－≤b≤，两者取并集，得到b的取值范围是[－，4]．18.(2019·陕西四校联考)已知抛物线C：y2＝2px过点A(1,1)．(1)求抛物线C的方程；(2)若过点P(3，－1)的直线与抛物线C交于M，N两个不同的点(均与点A不重合)．设直线AM，AN的斜率分别为k1，k2，求证：k1·k2为定值．(1)解　由题意得2p＝1，所以抛物线方程为y2＝x.(2)证明　设M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线MN的方程为x＝t(y＋1)＋3，代入抛物线方程得y2－ty－t－3＝0.所以Δ＝(t＋2)2＋8>0，y1＋y2＝t，y1y2＝－t－3.所以k1·k2＝·＝·＝＝＝＝－，所以k1·k2是定值．