2019版高考数学（理）一轮精选教师用书人教通用：第9章1第1讲　直线的倾斜角与斜率、直线的方程




知识点
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直线的方程
在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素．
理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．
掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系.
两直线的位置关系
能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直．
能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．
掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.
圆的方程
掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程.
直线、圆的位置关系
能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系．
能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．
初步了解用代数方法处理几何问题的思想.
椭 圆
了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．
掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质.
双曲线
了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质.
抛物线
掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质.
曲线与方程
了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系．理解数形结合的思想，了解圆锥曲线的简单应用.
第1讲　直线的倾斜角与斜率、直线的方程


1．直线的倾斜角
(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.
(2)范围：直线l倾斜角的取值范围是[0，π)．
2．直线的斜率

条件
公式
直线的倾斜角θ，且θ≠90°
k＝tan__θ
直线过点A(x1，y1)，B(x2，y2)且x1≠x2
k＝
3.直线方程的五种形式

名称
已知条件
方程
适用范围
点斜式
斜率k与点(x1，y1)
y－y1＝k(x－x1)
不含直线x＝x1
斜截式
斜率k与直线在y轴上的截距b
y＝kx＋b
不含垂直于x轴的直线
续　表

名称
已知条件
方程
适用范围
两点式
两点(x1，y1)，(x2，y2)
＝
(x1≠x2，y1≠y2)
不含直线x＝x1(x1＝x2)和直线y＝y1(y1＝y2)
截距式
直线在x轴、y轴上的截距分别为a，b
＋＝1
(a≠0，b≠0)
不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式

Ax＋By＋C＝0
(A2＋B2≠0)
平面直角坐标系内的直线都适用

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)直线的倾斜角越大，其斜率就越大．(　　)
(2)直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α.(　　)
(3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等．(　　)
(4)经过点P(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示．(　　)
(5)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√
(教材习题改编)经过点P0(2，－3)，倾斜角为45°的直线方程为(　　)
A．x＋y＋1＝0　　　　　　 B．x＋y－1＝0
C．x－y＋5＝0 D．x－y－5＝0
解析：选D.由点斜式得直线方程为
y－(－3)＝tan 45°(x－2)＝x－2，
即x－y－5＝0，故选D.
如果AC＜0，BC＜0，那么直线Ax＋By＋C＝0不通过(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选C.由题意知直线的斜率k＝－＜0，直线在y轴上的截距b＝－＞0，故选C.
经过两点A(4，2y＋1)，B(2，－3)的直线的倾斜角为，则y＝________．
解析：tan ＝＝＝y＋2，
因此y＋2＝－1，y＝－3.
答案：－3
(教材习题改编)经过点(－4，3)且在两坐标轴上的截距相等且不过原点的直线方程为________．
解析：由题意可设方程为x＋y＝a，
所以a＝－4＋3＝－1.
所以直线方程为x＋y＋1＝0.
答案：x＋y＋1＝0


　　　　　　直线的倾斜角与斜率
[典例引领]
(1)直线2xcos α－y－3＝0的倾斜角的变化范围是(　　)
A.　　　　　　　　 B.
C. D.
(2)已知直线l：x－my＋m＝0上存在点M满足与两点A(－1，0)，B(1，0)连线的斜率kMA与kMB之积为3，则实数m的取值范围是(　　)
A．[－， ]
B.∪
C.∪
D．以上都不对
【解析】　(1)直线2xcos α－y－3＝0的斜率k＝2cos α.由于α∈，所以≤cos α≤，因此k＝2cos α∈[1，]．设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1，]．由于θ∈[0，π)，所以θ∈，即倾斜角的变化范围是.
(2)设M(x，y)，由kMA·kMB＝3，得·＝3，即y2＝3x2－3.
联立得x2＋x＋6＝0.
要使直线l：x－my＋m＝0上存在点M满足与两点A(－1，0)，B(1，0)连线的斜率kMA与kMB之积为3，则Δ＝－24≥0，即m2≥.所以实数m的取值范围是∪.故选C.
【答案】　(1)B　(2)C

若本例(1)中直线变为x＋ycos θ－3＝0(θ∈R)，则直线的倾斜角α的取值范围为________．
解析：当cos θ＝0时，方程变为x－3＝0，其倾斜角为；
当cos θ≠0时，由直线l的方程，可得斜率k＝－.
因为cos θ∈[－1，1]且cos θ≠0，
所以k∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，
即tan α∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，
又α∈[0，π)，所以α∈∪，
综上知，直线l的倾斜角α的取值范围是.
答案：

(1)求倾斜角的取值范围的一般步骤
①求出斜率k＝tan α的取值范围．
②利用三角函数的单调性，借助图象，确定倾斜角α的取值范围．
求倾斜角时要注意斜率是否存在．
(2)斜率的求法
①定义法：若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值，一般根据k＝tan α求斜率．
②公式法：若已知直线上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，一般根据斜率公式k＝(x1≠x2)求斜率．　
[通关练习]
1．若直线l的斜率为k，倾斜角为α，且α∈∪，则k的取值范围是________．
解析：当α∈时，k＝tan α∈；
当α∈时，k＝tan α∈[－，0)．
综上k∈[－，0)∪.
答案：[－，0)∪
2．曲线y＝x3－x＋5上各点处的切线的倾斜角的取值范围为________．
解析：记曲线上点P处的切线的倾斜角是θ，
因为y′＝3x2－1≥－1，
所以tan θ≥－1，
所以θ为钝角时，应有θ∈；
θ为锐角时，tan θ≥－1显然成立．
综上，θ的取值范围是∪.
答案：∪

　　　　　　求直线的方程
[典例引领]
根据所给条件求直线的方程：
(1)直线过点(－4，0)，倾斜角的正弦值为；
(2)经过点P(4，1)，且在两坐标轴上的截距相等；
(3)(待定系数法)直线过点(5，10)，到原点的距离为5.
【解】　(1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式．
设倾斜角为α，则sin α＝(0＜α＜π)，
从而cos α＝±，
则k＝tan α＝±.
故所求直线方程为y＝±(x＋4)．
即x＋3y＋4＝0或x－3y＋4＝0.
(2)设直线l在x，y轴上的截距均为a，
若a＝0，即l过点(0，0)及(4，1)，
所以l的方程为y＝x，即x－4y＝0.
若a≠0，则设l的方程为＋＝1，
因为l过点(4，1)，所以＋＝1，
所以a＝5，
所以l的方程为x＋y－5＝0.
综上可知，直线l的方程为x－4y＝0或x＋y－5＝0.
(3)当斜率不存在时，所求直线方程为x－5＝0，当斜率存在时，设其为k，则所求直线方程为y－10＝k(x－5)，
即kx－y＋(10－5k)＝0.
由点到直线的距离公式，得＝5，
解得k＝.
故所求直线方程为3x－4y＋25＝0.
综上知，所求直线方程为x－5＝0或3x－4y＋25＝0.

(1)求直线方程的两种常用方法
①直接法：根据已知条件，确定适当的直线方程形式，直接写出直线方程；
②待定系数法：先设出直线方程，再根据已知条件求出待定的系数，最后代入求出直线的方程．
(2)求直线方程应注意的问题
①选择直线方程时，应注意分类讨论思想的应用：选用点斜式或斜截式时，需讨论直线的斜率是否存在；选用截距式时，需讨论直线是否过原点．
②求直线方程时，如果没有特别要求，求出的方程应化为一般式Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)．　
[通关练习]
1．已知A(－1，1)，B(3，1)，C(1，3)，则△ABC的BC边上的高所在直线方程为(　　)
A．x＋y＝0　　　　　　 B．x－y＋2＝0
C．x＋y＋2＝0 D．x－y＝0
解析：选B.因为B(3，1)，C(1，3)，
所以kBC＝＝－1，
故BC边上的高所在直线的斜率k＝1，
又高线经过点A，
所以其直线方程为x－y＋2＝0.
2．过点M(－1，－2)作一条直线l，使得l夹在两坐标轴之间的线段被点M平分，则直线l的方程为________．
解析：由题意，可设所求直线l的方程为y＋2＝k(x＋1)(k≠0)，直线l与x轴、y轴分别交于A、B两点，则A，B(0，k－2)．因为AB的中点为M，所以解得k＝－2.所以所求直线l的方程为2x＋y＋4＝0.
答案：2x＋y＋4＝0

　　　　　　直线方程的综合应用(高频考点)
直线方程的综合应用是解析几何的一个基础内容，在高考中常与其他知识结合考查，多以选择题、填空题的形式呈现，难度为中、低档题目．高考中对直线方程的综合应用考查主要有以下两个命题角度：
(1)与基本不等式相结合求最值问题；
(2)由直线方程解决参数问题．
[典例引领]
角度一　与基本不等式相结合求最值问题
直线l过点P(1，4)，分别交x轴的正半轴和y轴的正半轴于A、B两点，O为坐标原点，当|OA|＋|OB|最小时，求l的方程．
【解】　依题意，l的斜率存在，且斜率为负，
设直线l的斜率为k，
则直线l的方程为y－4＝k(x－1)(k0得0