2021高考数学一轮复习学案：第八章8.8抛物线

§8.8　抛物线


1．抛物线的概念
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．
2．抛物线的标准方程和几何性质
标准
方程
y2＝2px
(p>0)
y2＝－2px
(p>0)
x2＝2py
(p>0)
x2＝－2py
(p>0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
图形




顶点
坐标
O(0,0)
对称轴
x轴
y轴
焦点
坐标
F
F
F
F
离心率
e＝1
准线
方程
x＝－
x＝
y＝－
y＝
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
开口
方向
向右
向左
向上
向下
焦半径
x0＋
－x0＋
y0＋
－y0＋
通径长
2p

概念方法微思考
1．若抛物线定义中定点F在定直线l上时，动点的轨迹是什么图形？
提示　过点F且与l垂直的直线．
2．直线与抛物线只有一个交点是直线与抛物线相切的什么条件？
提示　直线与抛物线的对称轴平行时，只有一个交点，但不是相切，所以直线与抛物线只有一个交点是直线与抛物线相切的必要不充分条件．

题组一　思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．(　×　)
(2)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是，准线方程是x＝－.(　×　)
(3)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x2＝－2ay(a>0)的通径长为2a.(　√　)
题组二　教材改编
2．过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则PQ等于(　　)
A．9 B．8 C．7 D．6
答案　B
解析　抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.根据题意可得，PQ＝PF＋QF＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8.
3．若抛物线y2＝4x的准线为l，P是抛物线上任意一点，则P到准线l的距离与P到直线3x＋4y＋7＝0的距离之和的最小值是(　　)
A．2 B. C. D．3
答案　A
解析　由抛物线定义可知点P到准线l的距离等于点P到焦点F的距离，由抛物线y2＝4x及直线方程3x＋4y＋7＝0可得直线与抛物线相离．∴点P到准线l的距离与点P到直线3x＋4y＋7＝0的距离之和的最小值为点F(1,0)到直线3x＋4y＋7＝0的距离，即＝2.故选A.
4．已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P(－2，－4)，则该抛物线的标准方程为____________________．
答案　y2＝－8x或x2＝－y
解析　设抛物线方程为y2＝mx(m≠0)或x2＝my(m≠0)．
将P(－2，－4)代入，分别得方程为y2＝－8x或x2＝－y.
题组三　易错自纠
5．已知抛物线C与双曲线x2－y2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的方程是(　　)
A．y2＝±2x B．y2＝±2x
C．y2＝±4x D．y2＝±4x
答案　D
解析　由已知可知双曲线的焦点为(－，0)，(，0)．
设抛物线方程为y2＝±2px(p>0)，则＝，
所以p＝2，所以抛物线方程为y2＝±4x.故选D.
6．(多选)顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线过点A，则点A到此抛物线的焦点的距离可以是(　　)
A. B. C. D.
答案　AB
解析　若抛物线的焦点在x轴上，则设抛物线的方程为y2＝ax(a≠0)，由点A在抛物线上，得2＝a，即a＝，得y2＝x，由抛物线的定义可知，点A到焦点的距离等于点A到准线的距离，所以点A到抛物线焦点的距离为xA＋＝1＋＝；若抛物线的焦点在y轴上，则设抛物线的方程为x2＝by(b≠0)，由点A在抛物线上，得1＝b，即b＝4，得x2＝4y，由抛物线的定义可知，点A到焦点的距离等于点A到准线的距离，所以点A到抛物线焦点的距离为yA＋1＝＋1＝.
7．设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是__________．
答案　[－1,1]
解析　Q(－2,0)，当直线l的斜率不存在时，不满足题意，故设直线l的方程为y＝k(x＋2)，代入抛物线方程，消去y整理得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，
由Δ＝(4k2－8)2－4k2·4k2＝64(1－k2)≥0，
解得－1≤k≤1.

抛物线的定义和标准方程
命题点1　定义及应用
例1　设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F是抛物线y2＝4x的焦点，若B(3,2)，则PB＋PF的最小值为________．
答案　4
解析　如图，过点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1，

则P1Q＝P1F.
则有PB＋PF≥P1B＋P1Q＝BQ＝4，
即PB＋PF的最小值为4.
本例中的B点坐标改为(3,4)，则PB＋PF的最小值为________．
答案　2
解析　由题意可知点B(3,4)在抛物线的外部．
∵PB＋PF的最小值即为B，F两点间的距离，F(1,0)，
∴PB＋PF≥BF＝＝2，
即PB＋PF的最小值为2.
若将本例中的条件改为已知抛物线方程为y2＝4x，直线l的方程为x－y＋5＝0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，到直线l的距离为d2，则d1＋d2的最小值为________．
答案　3－1
解析　由题意知，抛物线的焦点为F(1,0)．
点P到y轴的距离d1＝PF－1，
所以d1＋d2＝d2＋PF－1.
易知d2＋PF的最小值为点F到直线l的距离，
故d2＋PF的最小值为＝3，
所以d1＋d2的最小值为3－1.
命题点2　求标准方程
例2　(1)顶点在原点，对称轴为坐标轴，焦点为直线3x－4y－12＝0与坐标轴的交点的抛物线的标准方程为(　　)
A．x2＝－12y或y2＝16x B．x2＝12y或y2＝－16x
C．x2＝9y或y2＝12x D．x2＝－9y或y2＝－12x
答案　A
解析　对于直线方程3x－4y－12＝0，
令x＝0，得y＝－3；令y＝0，得x＝4，
所以抛物线的焦点为(0，－3)或(4,0)．
当焦点为(0，－3)时，设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，
则＝3，所以p＝6，
此时抛物线的标准方程为x2＝－12y；
当焦点为(4,0)时，设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，
则＝4，所以p＝8，
此时抛物线的标准方程为y2＝16x.
故所求抛物线的标准方程为x2＝－12y或y2＝16x.
(2)设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在C上，MF＝5，若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的标准方程为(　　)
A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8x
C．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x
答案　C
解析　由题意知，F，抛物线的准线方程为x＝－，则由抛物线的定义知，xM＝5－，设以MF为直径的圆的圆心为，所以圆的方程为2＋2＝，又因为圆过点(0,2)，所以yM＝4，又因为点M在C上，所以16＝2p，解得p＝2或p＝8，所以抛物线C的标准方程为y2＝4x或y2＝16x，
故选C.
思维升华　(1)与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关．“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决与过抛物线焦点的弦有关问题的重要途径．
(2)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程．
跟踪训练1　(1)设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，则点P到点A(－1，1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值为________．
答案　
解析　如图，易知抛物线的焦点为F(1,0)，准线是x＝－1，

由抛物线的定义知点P到直线x＝－1的距离等于点P到F的距离．
于是，问题转化为在抛物线上求一点P，使点P到点A(－1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小，
显然，连接AF与抛物线相交的点即为满足题意的点，
此时最小值为＝.
(2)(2019·衡水中学调研)若抛物线y2＝2px(p>0)上一点到焦点和到抛物线对称轴的距离分别为10和6，则抛物线的方程为(　　)
A．y2＝4x
B．y2＝36x
C．y2＝4x或y2＝36x
D．y2＝8x或y2＝32x
答案　C
解析　因为抛物线y2＝2px(p>0)上一点到抛物线的对称轴的距离为6，所以若设该点为P，则P(x0，±6)．
因为P到抛物线的焦点F的距离为10，所以由抛物线的定义得x0＋＝10.①
因为P在抛物线上，所以36＝2px0.②
由①②解得p＝2，x0＝9或p＝18，x0＝1，则抛物线的方程为y2＝4x或y2＝36x.
抛物线的几何性质
例3　(1)(2019·广西四校联考)已知抛物线y2＝2px(p>0)上横坐标为4的点到此抛物线焦点的距离为9，则该抛物线的焦点到准线的距离为(　　)
A．4 B．9 C．10 D．18
答案　C
解析　抛物线y2＝2px的焦点为，准线方程为x＝－.
由题意可得4＋＝9，解得p＝10，
所以该抛物线的焦点到准线的距离为10.
(2)设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　由已知得焦点坐标为F，
因此直线AB的方程为y＝，
即4x－4y－3＝0.
方法一　联立直线方程与抛物线方程化简得
4y2－12y－9＝0，
则yA＋yB＝3，yAyB＝－，
故|yA－yB|＝＝6.
因此S△OAB＝OF·|yA－yB|＝××6＝.
方法二　联立直线方程与抛物线方程得x2－x＋＝0，
故xA＋xB＝.
根据抛物线的定义有AB＝xA＋xB＋p＝＋
＝12，
同时原点到直线AB的距离为d＝＝，
因此S△OAB＝AB·d＝.
(3)(2020·华中师大附中月考)如图，点F是抛物线y2＝8x的焦点，点A，B分别在抛物线y2＝8x及圆(x－2)2＋y2＝16的实线部分上运动，且AB始终平行于x轴，则△ABF的周长的取值范围是________．

答案　(8,12)
解析　设A(xA，yA)，B(xB，yB)．
抛物线的准线l：x＝－2，焦点F(2,0)，
由抛物线定义可得AF＝xA＋2，
圆(x－2)2＋y2＝16的圆心为点(2,0)，半径为4，
∴△FAB的周长为
AF＋AB＋BF＝xA＋2＋(xB－xA)＋4＝6＋xB，
由抛物线y2＝8x及圆(x－2)2＋y2＝16可得交点的横坐标为2，∴xB∈(2,6)，∴6＋xB∈(8,12)．
∴△ABF的周长的取值范围是(8,12)．
思维升华　在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此．
跟踪训练2　(1)从抛物线y2＝4x在第一象限内的一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且PM＝9，设抛物线的焦点为F，则直线PF的斜率为(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　设P(x0，y0)，由抛物线y2＝4x，可知其焦点F的坐标为(1,0)，故PM＝x0＋1＝9，解得x0＝8，故P点坐标为(8,4)，所以kPF＝＝.
(2)(2020·湖北龙泉中学、钟祥一中、京山一中、沙洋中学四校联考)已知点A是抛物线y＝x2的对称轴与准线的交点，点F为该抛物线的焦点，点P在抛物线上且满足PF＝m·PA，则m的最小值为________．
答案　
解析　过P作准线的垂线，垂足为N，

则由抛物线的定义可得PN＝PF，
∵PF＝m·PA，∴PN＝m·PA，则＝m，
设PA的倾斜角为α，则sin α＝m，
当m取得最小值时，sin α最小，此时直线PA与抛物线相切，
设直线PA的方程为y＝kx－1，代入x2＝4y，
可得x2＝4(kx－1)，即x2－4kx＋4＝0，
∴Δ＝16k2－16＝0，∴k＝±1，
∴m的最小值为.
直线与抛物线
例4　(2019·全国Ⅰ)已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P.
(1)若AF＋BF＝4，求l的方程；
(2)若＝3，求AB.
解　设直线l：y＝x＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
(1)由题设可得F，
故AF＋BF＝x1＋x2＋，
又AF＋BF＝4，所以x1＋x2＝.
由可得9x2＋12(t－1)x＋4t2＝0，
令Δ>0，得t<，
则x1＋x2＝－.
从而－＝，得t＝－.
所以l的方程为y＝x－，即12x－8y－7＝0.
(2)由＝3可得y1＝－3y2，
由可得y2－2y＋2t＝0，
所以y1＋y2＝2，从而－3y2＋y2＝2，故y2＝－1，y1＝3，
代入C的方程得x1＝3，x2＝，
即A(3,3)，B，故AB＝.
思维升华 (1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．
(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点．若过抛物线的焦点(设焦点在x轴的正半轴上)，可直接使用公式AB＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．
(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．
提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解．
(4)设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的弦，
若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
①x1x2＝，y1y2＝－p2.
②弦长AB＝x1＋x2＋p＝(α为弦AB的倾斜角)．
③以弦AB为直径的圆与准线相切．
④通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p，通径是过焦点最短的弦．
跟踪训练3　(2020·汉中模拟)已知点M为直线l1：x＝－1上的动点，N(1,0)，过M作直线l1的垂线l，l交MN的中垂线于点P，记点P的轨迹为C.
(1)求曲线C的方程；
(2)若直线l2：y＝kx＋m(k≠0)与圆E：(x－3)2＋y2＝6相切于点D，与曲线C交于A，B两点，且D为线段AB的中点，求直线l2的方程．
解　(1)由已知可得，PN＝PM，
即点P到定点N的距离等于它到直线l1的距离，故点P的轨迹是以N为焦点，l1为准线的抛物线，
∴曲线C的方程为y2＝4x.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)，
由得k2x2＋(2km－4)x＋m2＝0，
∴x1＋x2＝，∴x0＝＝，
y0＝kx0＋m＝，即D，
∵直线l2与圆E：(x－3)2＋y2＝6相切于点D，
∴DE2＝6，且DE⊥l2，
从而2＋2＝6，kDE·k＝－1，
即
整理可得2＝2，即k＝±，∴m＝0，
故直线l2的方程为x－y＝0或x＋y＝0.