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2021高考数学一轮复习学案：第八章8.7双曲线
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§8.7 双曲线
1．双曲线的概念
平面内到两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
集合P＝{M||MF1－MF2|＝2a}，F1F2＝2c>2a，其中a，c为常数且a>0，c>0.
2．双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
－＝1
(a>0，b>0)
－＝1
(a>0，b>0)
图形
性
质
范围
x≥a或x≤－a，y∈R
x∈R，y≤－a或y≥a
对称性
对称轴：坐标轴 对称中心：原点
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线
y＝±x
y＝±x
离心率
e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝
实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长A1A2＝2a，线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长B1B2＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
a，b，c
的关系
c2＝a2＋b2 (c>a>0，c>b>0)
3.等轴双曲线
实轴与虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，离心率e＝ ，渐近线方程为y＝±x.
4．双曲线的第二定义
平面内动点P到定点F的距离和它到定直线l(点F不在直线l上)的距离的比是常数e(e>1)的点的轨迹是双曲线．定点F是焦点，定直线l是准线，常数e是离心率．双曲线－＝1(a>0，b>0)的准线方程为x＝±，双曲线－＝1(a>0，b>0)的准线方程为y＝±.
概念方法微思考
1．平面内与两定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数2a的动点的轨迹一定为双曲线吗？为什么？
提示 不一定．当2a＝F1F2时，动点的轨迹是两条射线；
当2a>F1F2时，动点的轨迹不存在；
当2a＝0时，动点的轨迹是线段F1F2的中垂线．
2．与椭圆标准方程相比较，双曲线标准方程中，a，b只限制a>0，b>0，二者没有大小要求，若a>b>0，a＝b>0,00时，e＝(亦称等轴双曲线)；当0.
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．( × )
(2)方程－＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线．( × )
(3)双曲线方程－＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是－＝0，即±＝0.( √ )
(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.( √ )
题组二 教材改编
2．若双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为( )
A. B．5 C. D．2
答案 A
解析 由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴长，双曲线的渐近线方程为±＝0，即bx±ay＝0，
∴2a＝＝b.又a2＋b2＝c2，∴5a2＝c2.
∴e2＝＝5，∴e＝.
3．已知a>b>0，椭圆C1的方程为＋＝1，双曲线C2的方程为－＝1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为( )
A．x±y＝0 B.x±y＝0
C．x±2y＝0 D．2x±y＝0
答案 A
解析 椭圆C1的离心率为，双曲线C2的离心率为，所以·＝，即a4＝4b4，所以a＝b，所以双曲线C2的渐近线方程是y＝±x，即x±y＝0.
4．经过点A(4,1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________．
答案 －＝1
解析 设双曲线的方程为－＝±1(a>0)，
把点A(4,1)代入，得a2＝15(舍负)，
故所求方程为－＝1.
题组三 易错自纠
5．(多选)(2020·辽宁六校协作体月考)若方程＋＝1所表示的曲线为C，则下面四个命题中错误的是( )
A．若C为椭圆，则1
C．曲线C可能是圆
D．若C为椭圆，且长轴在y轴上，则1
解析 若t>3，则方程可变形为－＝1，它表示焦点在y轴上的双曲线；若t<1，则方程可变形为－＝1，它表示焦点在x轴上的双曲线；若2
答案 －＝1或－＝1
解析 由题意知a＝4，e＝＝2，∴c＝8，
∴b2＝c2－a2＝64－16＝48.
∵双曲线的焦点位置不确定，故所求双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.
7．P是双曲线－＝1上任意一点，F1，F2分别是它的左、右焦点，且PF1＝9，则PF2＝________.
答案 17
解析 由题意知a＝4，b＝9，
c＝＝，
由于PF1＝9
双曲线的定义
例1 (1)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为________________．
答案 x2－＝1(x≤－1)
解析 如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B.
根据两圆外切的条件，
根据两圆外切的条件，
得MC1－AC1＝MA，
MC2－BC2＝MB，
因为MA＝MB，
所以MC1－AC1＝MC2－BC2，
即MC2－MC1＝BC2－AC1＝2，
所以点M到两定点C2，C1的距离的差是常数且小于C1C2＝6.
又根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与C1的距离小)，
其中a＝1，c＝3，则b2＝8.
故点M的轨迹方程为x2－＝1(x≤－1)．
(2)已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为______．
答案 2
解析 不妨设点P在双曲线的右支上，
则PF1－PF2＝2a＝2，
在△F1PF2中，由余弦定理，得
cos∠F1PF2＝＝，
∴PF1·PF2＝8，
∴＝PF1·PF2·sin 60°＝2.
本例(2)中，“∠F1PF2＝60°”改为“·＝0”，则△F1PF2的面积为________．
答案 2
解析 不妨设点P在双曲线的右支上，
则PF1－PF2＝2a＝2，
∵·＝0，∴⊥，
∴在△F1PF2中，有PF＋PF＝F1F，
即PF＋PF＝16，
∴PF1·PF2＝4，
∴＝PF1·PF2＝2.
思维升华 在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合|PF1－PF2|＝2a，运用平方的方法，建立与PF1·PF2的联系．
跟踪训练1 (1)(2020·广东普宁华侨中学期末)过双曲线x2－＝1的左焦点F1作一条直线l交双曲线左支于P，Q两点，若PQ＝4，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长是________．
答案 12
解析 由题意，得PF2－PF1＝2，QF2－QF1＝2.
∵PF1＋QF1＝PQ＝4，
∴PF2＋QF2－4＝4，
∴PF2＋QF2＝8.
∴△PF2Q的周长是PF2＋QF2＋PQ＝8＋4＝12.
(2)已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，PF1＝2PF2，则cos∠F1PF2＝________.
答案
解析 ∵由双曲线的定义得
PF1－PF2＝PF2＝2a＝2，
∴PF1＝2PF2＝4，
则cos∠F1PF2＝
＝＝.
双曲线的标准方程
1．(2020·合肥调研)已知双曲线的渐近线为y＝±x，实轴长为4，则该双曲线的方程为( )
A.－＝1
B.－＝1或－＝1
C.－＝1
D.－＝1或－＝1
答案 D
解析 设双曲线方程为－＝1(m≠0)，
又2a＝4，∴a2＝4，
当m>0时，2m＝4，m＝2；
当m<0时，－m＝4，m＝－4.
故所求双曲线方程为－＝1或－＝1.
2．(2017·全国Ⅲ)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝x，且与椭圆＋＝1有公共焦点，则C的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
答案 B
解析 由y＝x，可得＝.①
由椭圆＋＝1的焦点为(3,0)，(－3,0)，
可得a2＋b2＝9.②
由①②可得a2＝4，b2＝5.
所以C的方程为－＝1.故选B.
3．过双曲线C：－＝1(a>b>0)的右顶点作x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A.若以C的右焦点F为圆心、半径为4的圆经过A，O两点(O为坐标原点)，则双曲线C的标准方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
答案 A
解析 因为渐近线y＝x与直线x＝a交于点A(a，b)，c＝4且＝4，解得a2＝4，b2＝12，因此双曲线的标准方程为－＝1.
4．经过点P(－3,2)和点Q(－6，－7)的双曲线方程为________．
答案 －＝1
解析 设双曲线方程为mx2－ny2＝1(mn>0)，
∴解得
∴双曲线方程为－＝1.
思维升华 求双曲线的标准方程的方法
(1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，由双曲线定义，确定2a，2b或2c，从而求出a2，b2，写出双曲线方程．
(2)待定系数法：先确定焦点在x轴还是y轴，设出标准方程，再由条件确定a2，b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为－＝λ(λ≠0)，再根据条件求λ的值．
注意 ①双曲线与椭圆标准方程均可记为mx2＋ny2＝1(mn≠0)，其中当m>0，n>0，且m≠n时表示椭圆；当mn<0时表示双曲线，合理使用这种形式可避免讨论．
②常见双曲线设法
(i)已知a＝b的双曲线可设为x2－y2＝λ(λ≠0)；
(ii)已知过两点的双曲线可设为Ax2－By2＝1(AB>0)；
(iii)已知渐近线为±＝0的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)．
双曲线的几何性质
命题点1 渐近线
例2 (1)已知双曲线9y2－m2x2＝1(m>0)的一个顶点到它的一条渐近线的距离为，则m等于( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 D
解析 由已知，取顶点，渐近线3y－mx＝0，则顶点到渐近线的距离为＝，解得m＝4.
(2)(2019·江苏)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2－＝1(b>0)经过点(3,4)，则该双曲线的渐近线方程是____________．
答案 y＝±x
解析 因为双曲线x2－＝1(b>0)经过点(3,4)，所以9－＝1，得b＝，所以该双曲线的渐近线方程是y＝±x.
命题点2 离心率
例3 (1)(2019·浙江)渐近线方程为x±y＝0的双曲线的离心率是( )
A. B．1 C. D．2
答案 C
解析 因为双曲线的渐近线方程为x±y＝0，所以无论双曲线的焦点在x轴上还是在y轴上，都满足a＝b，所以c＝a，所以双曲线的离心率e＝＝.
(2)(2019·唐山模拟)设双曲线C：－＝1(a>b>0)的两条渐近线的夹角为α，且cos α＝，则C的离心率为( )
A. B. C. D．2
答案 B
解析 ∵a>b>0，∴渐近线y＝x的斜率小于1，
∵两条渐近线的夹角为α，cos α＝.
∴cos2＝，sin2＝，tan2＝，
∴＝，∴＝，
∴e2＝，∴e＝.
(3)(2019·全国Ⅰ)双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为( )
A．2sin 40° B．2cos 40°
C. D.
答案 D
解析 由题意可得－＝tan 130°，
所以e＝＝＝
＝＝.
(4)(2019·全国Ⅱ)设F为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点．若PQ＝OF，则C的离心率为( )
A. B. C．2 D.
答案 A
解析 如图，由题意知，以OF为直径的圆的方程为2＋y2＝，①
将x2＋y2＝a2，②
①－②得x＝，
则以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2的相交弦所在直线的方程为x＝，所以PQ＝2.
由PQ＝OF，得2＝c，
整理得c4－4a2c2＋4a4＝0，即e4－4e2＋4＝0，
解得e＝，故选A.
思维升华 求双曲线的离心率
(1)求双曲线的离心率或其范围的方法
①求a，b，c的值，由＝＝1＋直接求e.
②列出含有a，b，c的等式(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解．
(2)焦点在x轴上的双曲线的渐近线的斜率k与离心率e的关系：k＝＝＝＝.
跟踪训练2 (1)(2019·汉中模拟)若双曲线x2－＝1(m>0)的焦点到渐近线的距离是4，则m的值是( )
A．2 B. C．1 D．4
答案 D
解析 双曲线x2－＝1(m>0)的焦点设为(c,0)，
当双曲线方程为－＝1时，
渐近线方程设为bx－ay＝0，可得焦点到渐近线的距离
d＝＝b，
故由题意可得b＝m＝4.
(2)(2019·安徽江淮十校模拟)已知点(1,2)是双曲线－＝1(a>0，b>0)上一点，则其离心率的取值范围是( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 已知点(1,2)是双曲线－＝1(a>0，b>0)上一点，得－＝1，
即＝b2＋4，
所以e＝＝＝>，所以e>.
(3)(2019·天津)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.若l与双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于点A和点B，且AB＝4OF(O为原点)，则双曲线的离心率为( )
A. B. C．2 D.
答案 D
解析 由题意，可得F(1,0)，直线l的方程为x＝－1，双曲线的渐近线方程为y＝±x.将x＝－1代入y＝±x，得y＝±，所以点A，B的纵坐标的绝对值均为.由AB＝4OF可得＝4，即b＝2a，b2＝4a2，故双曲线的离心率e＝＝＝.
1．双曲线的概念
平面内到两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
集合P＝{M||MF1－MF2|＝2a}，F1F2＝2c>2a，其中a，c为常数且a>0，c>0.
2．双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
－＝1
(a>0，b>0)
－＝1
(a>0，b>0)
图形
性
质
范围
x≥a或x≤－a，y∈R
x∈R，y≤－a或y≥a
对称性
对称轴：坐标轴 对称中心：原点
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线
y＝±x
y＝±x
离心率
e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝
实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长A1A2＝2a，线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长B1B2＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
a，b，c
的关系
c2＝a2＋b2 (c>a>0，c>b>0)
3.等轴双曲线
实轴与虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，离心率e＝ ，渐近线方程为y＝±x.
4．双曲线的第二定义
平面内动点P到定点F的距离和它到定直线l(点F不在直线l上)的距离的比是常数e(e>1)的点的轨迹是双曲线．定点F是焦点，定直线l是准线，常数e是离心率．双曲线－＝1(a>0，b>0)的准线方程为x＝±，双曲线－＝1(a>0，b>0)的准线方程为y＝±.
概念方法微思考
1．平面内与两定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数2a的动点的轨迹一定为双曲线吗？为什么？
提示 不一定．当2a＝F1F2时，动点的轨迹是两条射线；
当2a>F1F2时，动点的轨迹不存在；
当2a＝0时，动点的轨迹是线段F1F2的中垂线．
2．与椭圆标准方程相比较，双曲线标准方程中，a，b只限制a>0，b>0，二者没有大小要求，若a>b>0，a＝b>0,0
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．( × )
(2)方程－＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线．( × )
(3)双曲线方程－＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是－＝0，即±＝0.( √ )
(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.( √ )
题组二 教材改编
2．若双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为( )
A. B．5 C. D．2
答案 A
解析 由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴长，双曲线的渐近线方程为±＝0，即bx±ay＝0，
∴2a＝＝b.又a2＋b2＝c2，∴5a2＝c2.
∴e2＝＝5，∴e＝.
3．已知a>b>0，椭圆C1的方程为＋＝1，双曲线C2的方程为－＝1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为( )
A．x±y＝0 B.x±y＝0
C．x±2y＝0 D．2x±y＝0
答案 A
解析 椭圆C1的离心率为，双曲线C2的离心率为，所以·＝，即a4＝4b4，所以a＝b，所以双曲线C2的渐近线方程是y＝±x，即x±y＝0.
4．经过点A(4,1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________．
答案 －＝1
解析 设双曲线的方程为－＝±1(a>0)，
把点A(4,1)代入，得a2＝15(舍负)，
故所求方程为－＝1.
题组三 易错自纠
5．(多选)(2020·辽宁六校协作体月考)若方程＋＝1所表示的曲线为C，则下面四个命题中错误的是( )
A．若C为椭圆，则1
C．曲线C可能是圆
D．若C为椭圆，且长轴在y轴上，则1
解析 若t>3，则方程可变形为－＝1，它表示焦点在y轴上的双曲线；若t<1，则方程可变形为－＝1，它表示焦点在x轴上的双曲线；若2
答案 －＝1或－＝1
解析 由题意知a＝4，e＝＝2，∴c＝8，
∴b2＝c2－a2＝64－16＝48.
∵双曲线的焦点位置不确定，故所求双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.
7．P是双曲线－＝1上任意一点，F1，F2分别是它的左、右焦点，且PF1＝9，则PF2＝________.
答案 17
解析 由题意知a＝4，b＝9，
c＝＝，
由于PF1＝9
双曲线的定义
例1 (1)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为________________．
答案 x2－＝1(x≤－1)
解析 如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B.
根据两圆外切的条件，
根据两圆外切的条件，
得MC1－AC1＝MA，
MC2－BC2＝MB，
因为MA＝MB，
所以MC1－AC1＝MC2－BC2，
即MC2－MC1＝BC2－AC1＝2，
所以点M到两定点C2，C1的距离的差是常数且小于C1C2＝6.
又根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与C1的距离小)，
其中a＝1，c＝3，则b2＝8.
故点M的轨迹方程为x2－＝1(x≤－1)．
(2)已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为______．
答案 2
解析 不妨设点P在双曲线的右支上，
则PF1－PF2＝2a＝2，
在△F1PF2中，由余弦定理，得
cos∠F1PF2＝＝，
∴PF1·PF2＝8，
∴＝PF1·PF2·sin 60°＝2.
本例(2)中，“∠F1PF2＝60°”改为“·＝0”，则△F1PF2的面积为________．
答案 2
解析 不妨设点P在双曲线的右支上，
则PF1－PF2＝2a＝2，
∵·＝0，∴⊥，
∴在△F1PF2中，有PF＋PF＝F1F，
即PF＋PF＝16，
∴PF1·PF2＝4，
∴＝PF1·PF2＝2.
思维升华 在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合|PF1－PF2|＝2a，运用平方的方法，建立与PF1·PF2的联系．
跟踪训练1 (1)(2020·广东普宁华侨中学期末)过双曲线x2－＝1的左焦点F1作一条直线l交双曲线左支于P，Q两点，若PQ＝4，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长是________．
答案 12
解析 由题意，得PF2－PF1＝2，QF2－QF1＝2.
∵PF1＋QF1＝PQ＝4，
∴PF2＋QF2－4＝4，
∴PF2＋QF2＝8.
∴△PF2Q的周长是PF2＋QF2＋PQ＝8＋4＝12.
(2)已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，PF1＝2PF2，则cos∠F1PF2＝________.
答案
解析 ∵由双曲线的定义得
PF1－PF2＝PF2＝2a＝2，
∴PF1＝2PF2＝4，
则cos∠F1PF2＝
＝＝.
双曲线的标准方程
1．(2020·合肥调研)已知双曲线的渐近线为y＝±x，实轴长为4，则该双曲线的方程为( )
A.－＝1
B.－＝1或－＝1
C.－＝1
D.－＝1或－＝1
答案 D
解析 设双曲线方程为－＝1(m≠0)，
又2a＝4，∴a2＝4，
当m>0时，2m＝4，m＝2；
当m<0时，－m＝4，m＝－4.
故所求双曲线方程为－＝1或－＝1.
2．(2017·全国Ⅲ)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝x，且与椭圆＋＝1有公共焦点，则C的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
答案 B
解析 由y＝x，可得＝.①
由椭圆＋＝1的焦点为(3,0)，(－3,0)，
可得a2＋b2＝9.②
由①②可得a2＝4，b2＝5.
所以C的方程为－＝1.故选B.
3．过双曲线C：－＝1(a>b>0)的右顶点作x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A.若以C的右焦点F为圆心、半径为4的圆经过A，O两点(O为坐标原点)，则双曲线C的标准方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
答案 A
解析 因为渐近线y＝x与直线x＝a交于点A(a，b)，c＝4且＝4，解得a2＝4，b2＝12，因此双曲线的标准方程为－＝1.
4．经过点P(－3,2)和点Q(－6，－7)的双曲线方程为________．
答案 －＝1
解析 设双曲线方程为mx2－ny2＝1(mn>0)，
∴解得
∴双曲线方程为－＝1.
思维升华 求双曲线的标准方程的方法
(1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，由双曲线定义，确定2a，2b或2c，从而求出a2，b2，写出双曲线方程．
(2)待定系数法：先确定焦点在x轴还是y轴，设出标准方程，再由条件确定a2，b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为－＝λ(λ≠0)，再根据条件求λ的值．
注意 ①双曲线与椭圆标准方程均可记为mx2＋ny2＝1(mn≠0)，其中当m>0，n>0，且m≠n时表示椭圆；当mn<0时表示双曲线，合理使用这种形式可避免讨论．
②常见双曲线设法
(i)已知a＝b的双曲线可设为x2－y2＝λ(λ≠0)；
(ii)已知过两点的双曲线可设为Ax2－By2＝1(AB>0)；
(iii)已知渐近线为±＝0的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)．
双曲线的几何性质
命题点1 渐近线
例2 (1)已知双曲线9y2－m2x2＝1(m>0)的一个顶点到它的一条渐近线的距离为，则m等于( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 D
解析 由已知，取顶点，渐近线3y－mx＝0，则顶点到渐近线的距离为＝，解得m＝4.
(2)(2019·江苏)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2－＝1(b>0)经过点(3,4)，则该双曲线的渐近线方程是____________．
答案 y＝±x
解析 因为双曲线x2－＝1(b>0)经过点(3,4)，所以9－＝1，得b＝，所以该双曲线的渐近线方程是y＝±x.
命题点2 离心率
例3 (1)(2019·浙江)渐近线方程为x±y＝0的双曲线的离心率是( )
A. B．1 C. D．2
答案 C
解析 因为双曲线的渐近线方程为x±y＝0，所以无论双曲线的焦点在x轴上还是在y轴上，都满足a＝b，所以c＝a，所以双曲线的离心率e＝＝.
(2)(2019·唐山模拟)设双曲线C：－＝1(a>b>0)的两条渐近线的夹角为α，且cos α＝，则C的离心率为( )
A. B. C. D．2
答案 B
解析 ∵a>b>0，∴渐近线y＝x的斜率小于1，
∵两条渐近线的夹角为α，cos α＝.
∴cos2＝，sin2＝，tan2＝，
∴＝，∴＝，
∴e2＝，∴e＝.
(3)(2019·全国Ⅰ)双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为( )
A．2sin 40° B．2cos 40°
C. D.
答案 D
解析 由题意可得－＝tan 130°，
所以e＝＝＝
＝＝.
(4)(2019·全国Ⅱ)设F为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点．若PQ＝OF，则C的离心率为( )
A. B. C．2 D.
答案 A
解析 如图，由题意知，以OF为直径的圆的方程为2＋y2＝，①
将x2＋y2＝a2，②
①－②得x＝，
则以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2的相交弦所在直线的方程为x＝，所以PQ＝2.
由PQ＝OF，得2＝c，
整理得c4－4a2c2＋4a4＝0，即e4－4e2＋4＝0，
解得e＝，故选A.
思维升华 求双曲线的离心率
(1)求双曲线的离心率或其范围的方法
①求a，b，c的值，由＝＝1＋直接求e.
②列出含有a，b，c的等式(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解．
(2)焦点在x轴上的双曲线的渐近线的斜率k与离心率e的关系：k＝＝＝＝.
跟踪训练2 (1)(2019·汉中模拟)若双曲线x2－＝1(m>0)的焦点到渐近线的距离是4，则m的值是( )
A．2 B. C．1 D．4
答案 D
解析 双曲线x2－＝1(m>0)的焦点设为(c,0)，
当双曲线方程为－＝1时，
渐近线方程设为bx－ay＝0，可得焦点到渐近线的距离
d＝＝b，
故由题意可得b＝m＝4.
(2)(2019·安徽江淮十校模拟)已知点(1,2)是双曲线－＝1(a>0，b>0)上一点，则其离心率的取值范围是( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 已知点(1,2)是双曲线－＝1(a>0，b>0)上一点，得－＝1，
即＝b2＋4，
所以e＝＝＝>，所以e>.
(3)(2019·天津)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.若l与双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于点A和点B，且AB＝4OF(O为原点)，则双曲线的离心率为( )
A. B. C．2 D.
答案 D
解析 由题意，可得F(1,0)，直线l的方程为x＝－1，双曲线的渐近线方程为y＝±x.将x＝－1代入y＝±x，得y＝±，所以点A，B的纵坐标的绝对值均为.由AB＝4OF可得＝4，即b＝2a，b2＝4a2，故双曲线的离心率e＝＝＝.
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