2021版新高考数学（山东专用）一轮学案：第八章第七讲　抛物线


第七讲　抛物线

ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE
知识梳理·双基自测

知识点一　抛物线的定义
抛物线需要满足以下三个条件：
(1)在平面内；
(2)动点到定点F的距离与到定直线l的距离__相等__；
(3)定点F与定直线l的关系为__点F∉l__．
知识点二　抛物线的标准方程与几何性质
标准
方程
y2＝2px
(p＞0)
y2＝－2px
(p＞0)
x2＝2py
(p＞0)
x2＝－2py
(p＞0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
图形




顶点
O(0,0)
对称轴
y＝0
x＝0
焦点
F　(，0)　
F　(－，0)　
F　(0，)　
F　(0，－)　
离心率
e＝__1__
准线
方程
　x＝－　
　x＝　
　y＝－　
　y＝　
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
开口方向
向右
向左
向上
向下
焦半径
(其中P(x0，y0))
|PF|＝
　x0＋　
|PF|＝
　－x0＋　
|PF|＝
　y0＋　
|PF|＝
　－y0＋　


抛物线焦点弦的处理规律
直线AB过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F，交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如图．

(1)y1y2＝－p2，x1x2＝．
(2)|AB|＝x1＋x2＋p，x1＋x2≥2＝p，即当x1＝x2时，弦长最短为2p．
(3)＋＝．
(4)弦长AB＝(α为AB的倾斜角)．
(5)以AB为直径的圆与准线相切．
(6)焦点F对A，B在准线上射影的张角为90°．
(7)A、O、D三点共线；B、O、C三点共线．

题组一　走出误区
1．(多选题)下列结论正确的是(　CD　)
A．平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线
B．方程y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是(，0)，准线方程是x＝－
C．AB为抛物线y2＝2px(p>0)的过焦点F(，0)的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝，y1y2＝－p2，弦长|AB|＝x1＋x2＋p
D．过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x2＝－2ay(a>0)的通径长为2a
题组二　走进教材
2．(必修2P69例4)(2019·甘肃张掖诊断)过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|PQ|等于(　B　)
A．9 B．8
C．7 D．6
[解析]　抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.根据题意可得，|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8．
3．抛物线y＝4x2上的一点M到焦点F的距离为1，则点M的纵坐标是(　B　)
A． B．
C． D．0
[解析]　y＝4x2⇒x2＝y⇒抛物线准线方程为y＝－.设M点坐标为(x0，y0)，则由抛物线定义可知y0＋＝1，∴y0＝.故选B．
题组三　考题再现
4．(2019·课标全国Ⅱ)若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点是椭圆＋＝1的一个焦点，则p＝(　D　)
A．2 B．3
C．4 D．8
[解析]　∵抛物线y2＝2px(p>0)的焦点坐标为(，0)，
∴椭圆＋＝1的一个焦点为(，0)，
∴3p－p＝，∴p＝8.故选D．
5．(2019·广东广州天河综合测试)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，直线y＝(x－2)与C交于A，B(A在x轴上方)两点，若＝m，则实数m的值为(　B　)
A． B．3
C．2 D．
[解析]　由得3x2－20x＋12＝0，
∴xA＝6，xB＝，又＝m且F(2,0)，
∴2－6＝m(－2)，∴m＝3，故选B．

KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU
考点突破·互动探究
考点一　抛物线的定义及应用——多维探究
角度1　到焦点与到定点距离之和最小问题
例1　(2019·江西赣州模拟)若点A的坐标为(3,2)，F是抛物线y2＝2x的焦点，点M在抛物线上移动时，使|MF|＋|MA|取得最小值的M的坐标为(　D　)
A．(0,0) B．(，1)
C．(1，) D．(2,2)
[解析]　如图，过M点作准线的垂线，垂足是N，则|MF|＋|MA|＝|MN|＋|MA|，所以当A，M，N三点共线时，|MF|＋|MA|取得最小值，此时M(2,2)．

角度2　到准线与到定点距离之和最小问题
例2　已知圆C：x2＋y2＋6x＋8y＋21＝0，抛物线y2＝8x的准线为l，设抛物线上任意一点P到直线l的距离为d，则d＋|PC|的最小值为(　A　)
A． B．7　
C．6 D．9
[解析]　由题意得圆的方程为(x＋3)2＋(y＋4)2＝4，圆心C的坐标为(－3，－4)．由抛物线定义知，当d＋|PC|最小时为圆心与抛物线焦点间的距离，即d＋|PC|＝＝．
角度3　到两定直线的距离之和最小问题
例3　(2019·湖南省三湘名校联考)已知直线l1：x＝－1，l2：x－y＋1＝0，点P为抛物线y2＝4x上的任一点，则P到直线l1，l2的距离之和的最小值为(　B　)
A．2 B．
C．1 D．
[解析]　抛物线y2＝4x，其焦点坐标F(1，0)，准线为x＝－1也就是直线l1，故P到直线l1的距离就是P到F的距离，如图所示，P到l1，l2的距离之和的最小值等于焦点F到直线l2的距离．设P到直线l2的距离为d，则d＋|PF|≥＝，当且仅当P，E，F三点共线时等号成立，故选B．

名师点拨 ☞
求解与抛物线有关的最值问题的两大转换方法
(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解．
(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决．
〔变式训练1〕
(1)(角度1)(2020·吉林省吉林市调研)已知抛物线y2＝4x的焦点F，点A(4,3)，P为抛物线上一点，且P不在直线AF上，则△PAF周长取最小值时，线段PF的长为(　B　)
A．1 B．
C．5 D．
(2)(角度3)(2019·上海虹口区二模)已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和l2的距离之和的最小值为(　D　)
A． B．
C．2 D．
[解析]　(1)求△PAF周长的最小值，即求|PA|＋|PF|的最小值，设点P在准线上的射影为D，根据抛物线的定义，可知|PF|＝|PD|，因此，|PA|＋|PF|的最小值，即|PA|＋|PD|的最小值．根据平面几何知识，可得当D，P，A三点共线时|PA|＋|PD|最小，此时P(，3)，且|PF|＝＋1＝，故选B．

(2)直线l2：x＝－1是抛物线y2＝4x的准线，抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，则点P到直线l2：x＝－1的距离等于PF，过点F作直线l1：4x－3y＋6＝0的垂线，和抛物线的交点就是点P，所以点P到直线l1：4x－3y＋6＝0的距离和到直线l2：x＝－1的距离之和的最小值就是点F(1,0)到直线l1：4x－3y＋6＝0的距离，所以最小值为＝2，故选C．
考点二　抛物线的方程及几何性质——自主练透
例4　(1)(2019·安徽蚌埠一中期中)已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，其上的点P(m，－3)到焦点的距离为5，则抛物线方程为(　D　)
A．x2＝8y B．x2＝4y
C．x2＝－4y D．x2＝－8y
(2)(2019·江西省九校联考)抛物线y＝ax2的焦点是直线x＋y－1＝0与坐标轴交点，则抛物线的准线方程为(　D　)
A．x＝－ B．x＝－1
C．y＝－ D．y＝－1
(3)(2019·山东菏泽期末)已知等边△AOB(O为坐标原点)的三个顶点在抛物线Γ：y2＝2px(p>0)上，且△AOB的面积为9，则p＝(　C　)
A． B．3
C． D．2
(4)已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F与双曲线－＝1的一个焦点重合，直线y＝x－4与抛物线交于A，B两点，则|AB|等于(　B　)
A．28 B．32
C．20 D．40

(5)如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则抛物线的方程为(　B　)
A．y2＝x B．y2＝3x
C．y2＝x D．y2＝9x
[解析]　(1)由题意可知抛物线的焦点在y轴负半轴上，故设其方程为x2＝－2py(p>0)，所以3＋＝5，即p＝4，所以所求抛物线方程为x2＝－8y，故选D．
(2)抛物线焦点在y轴上，即直线x＋y－1＝0与y轴的交点F(0,1)，∴＝1，∴抛物线方程为x2＝4y，准线方程为y＝－1，故选D．
(3)根据抛物线和等边三角形的对称性，可知A，B两点关于x轴对称，不妨设直线OB：y＝x，与y2＝2px联立，解得B(6p，2p)，故|AB|＝4p.因为△AOB的面积为9，所以×(4p)2＝9，解得p＝.故选C．
(4)双曲线－＝1的焦点坐标为(±4,0)，故抛物线的焦点F的坐标为(4,0)．因此p＝8，故抛物线方程为y2＝16x，易知直线y＝x－4过抛物线的焦点．设A、B两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)．
由可得x2－24x＋16＝0，故x1＋x2＝24．
故|AB|＝x1＋x2＋p＝24＋8＝32．
(5)如图，分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，

设|BF|＝a，则由已知得|BC|＝2a，由定义得|BD|＝a，故∠BCD＝30°．
在直角三角形ACE中，∵|AE|＝|AF|＝3，|AC|＝3＋3a，2|AE|＝|AC|，
∴3＋3a＝6，从而得a＝1．
∵BD∥FG，∴＝，即＝，求得p＝，因此抛物线的方程为y2＝3x．
名师点拨 ☞
1．求抛物线的标准方程的方法
(1)求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有p，所以只需一个条件确定p值即可．
(2)因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量．
2．确定及应用抛物线性质的技巧
(1)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化为标准方程．(抛物线焦点在其标准方程中一次项所对应的坐标轴上)
(2)要结合图形分析，灵活运用平面几何的性质以图助解．
〔变式训练2〕
(1)(2020·福建漳州质检)已知抛物线y2＝2px(p>0)上的点M到其焦点F的距离比点M到y轴的距离大，则抛物线的标准方程为(　B　)
A．y2＝x B．y2＝2x
C．y2＝4x D．y2＝8x
(2)(2019·吉林市五地六校适应性考试)已知抛物线C：x2＝2py(p>0)的准线l与圆M：(x－1)2＋(y－2)2＝16相切，则p＝(　D　)
A．6 B．8
C．3 D．4
[解析]　(1)由抛物线的定义可知＝，∴p＝1，∴抛物线方程为y2＝2x，故选B．
(2)因为抛物线C：x2＝2py的准线为y＝－，又准线l与圆M：(x－1)2＋(y－2)2＝16相切，所以＋2＝4，则p＝4.故选D．
考点三　直线与抛物线的综合问题——师生共研
例5　(1)(2019·黑龙江省大庆市模拟)已知F是抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，过点R(2,1)的直线l与抛物线C交于A，B两点，R为线段AB的中点，若|FA|＋|FB|＝5，则直线l的斜率为(　B　)
A．3 B．1
C．2 D．
(2)(2019·陕西省汉中市模拟)已知抛物线y2＝8x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A、B两点，交准线于点C，若|BC|＝|BF|，则|AB|等于(　C　)
A．12 B．14
C．16 D．28
(3)(2019·金华模拟)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)在第一象限内的点P(2，t)到焦点F的距离为．
①若N(－，0)，过点N，P的直线l1与抛物线相交于另一点Q，求的值；
②若直线l2与抛物线C相交于A，B两点，与圆M：(x－a)2＋y2＝1相交于D，E两点，O为坐标原点，OA⊥OB，试问：是否存在实数a，使得|DE|为定值？若存在，求出a的值；若不存在，请说明由．
[解析]　(1)由于R(2,1)为AB中点，根据抛物线的定义|FA|＋|FB|＝xA＋xB＋p＝2×2＋p＝5，解得p＝1，抛物线方程为y2＝2x.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y＝2x1，y＝2x2，两式相减并化简得＝＝＝1，即直线l的斜率为1，故选B．
(2)抛物线y2＝8x，p＝4，分别过A，B作准线的垂线，垂足为M，N，如下图：

则|BN|＝|BF|，∵|BC|＝|BF|，∴|BC|＝|BN|，
∴∠NCB＝，∴kAB＝1，
∴直线AB的方程为y＝x－2，
由得x2－12x＋4＝0，
∴xA＋xB＝12，∴|AB|＝xA＋xB＋p＝16.故选C．
(3)①∵点P(2，t)到焦点F的距离为，
∴2＋＝，解得p＝1，
故抛物线C的方程为y2＝2x，P(2,2)，
∴l1的方程为y＝x＋，
联立得可解得xQ＝，
又|QF|＝xQ＋＝，|PF|＝，
∴＝＝．
②设直线l2的方程为x＝ny＋m(m≠0)，代入抛物线方程可得y2－2ny－2m＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝2n，y1y2＝－2m，①
由OA⊥OB得，(ny1＋m)(ny2＋m)＋y1y2＝0，
整理得(n2＋1)y1y2＋nm(y1＋y2)＋m2＝0，②
将①代入②解得m＝2或m＝0(舍去)，满足Δ＝4n2＋8m>0，
∴直线l2：x＝ny＋2，
∵圆心M(a,0)到直线l2的距离d＝，
∴|DE|＝2，
显然当a＝2时，|DE|＝2，∴存在实数a＝2，使得|DE|为定值．
名师点拨 ☞
(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要将两方程联立，消元，用到根与系数的关系．
(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点．若过抛物线的焦点(设焦点在x轴的正半轴上)，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．
(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．
提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解．
〔变式训练3〕
(1)(2020·甘肃诊断)直线l过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，且交抛物线于A，B两点，交其准线于C点，已知|AF|＝4，＝3，则p＝(　C　)
A．2 B．
C． D．4
(2)(2019·合肥模拟)已知抛物线C1：y2＝4x和C2：x2＝2py(p>0)的焦点分别为F1，F2，点P(－1，－1)，且F1F2⊥OP(O为坐标原点)．
①求抛物线C2的方程；
②过点O的直线交C1的下半部分于点M，交C2的左半部分于点N，求△PMN面积的最小值．
[解析]　(1)过A，B分别作准线的垂线交准线于E，D两点，
设|BF|＝a，根据抛物线的性质可知，|BD|＝a，
|AE|＝4，根据平行线段比例可知＝，
即＝，解得a＝2，
又＝，即＝，
解得p＝a＝，故选C．

(2)①F1(1,0)，F2(0，)，∴＝(－1，)．
·＝(－1，)·(－1，－1)＝1－＝0，
∴p＝2，
∴C2的方程为x2＝4y．
②设过点O的直线为y＝kx(k0)的焦点坐标为(0，)，双曲线－y2＝1的右焦点坐标为(2,0)，两点连线的方程为y＝－(x－2)，联立得2x2＋p2x－2p2＝0．
设点M的横坐标为m，易知在M点处切线的斜率存在，则在点M处切线的斜率为y′|x＝m＝(x2)′|x＝m＝．
又双曲线－y2＝1的渐近线方程为±y＝0，其与切线平行，所以＝，即m＝p，代入2x2＋p2x－2p2＝0，得p＝或p＝0(舍去)．
名师点拨 ☞
利用导数工具解决抛物线的切线问题，使问题变得巧妙而简单，若用判别式解决抛物线的切线问题，计算量大，易出错．
〔变式训练4〕
已知抛物线x2＝8y，过点P(b,4)作该抛物线的切线PA，PB，切点为A，B，若直线AB恒过定点，则该定点为(　C　)
A．(4,0) B．(3,2)
C．(0，－4) D．(4,1)
[解析]　设A，B的坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，
∵y＝，y′＝，
∴PA，PB的方程y－y1＝(x－x1)，y－y2＝(x－x2)，
由y1＝，y2＝，可得y＝x－y1，y＝x－y2，
∵切线PA，PB都过点P(b,4)，
∴4＝×b－y1,4＝×b－y2，
故可知过A，B两点的直线方程为4＝x－y，
当x＝0时，y＝－4，
∴直线AB恒过定点(0，－4)．故选C．