2021高考数学一轮复习学案：第八章8.6椭圆

§8.6　椭　圆


1．椭圆的概念
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
集合P＝{M|MF1＋MF2＝2a}，F1F2＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：
(1)若a>c，则集合P为椭圆；
(2)若a＝c，则集合P为线段；
(3)若a 2．椭圆的标准方程和几何性质
标准方程
＋＝1
(a>b>0)
＋＝1
(a>b>0)
图形


性
质
范围
－a≤x≤a
－b≤y≤b
－b≤x≤b
－a≤y≤a
对称性
对称轴：坐标轴　　对称中心：原点
顶点
坐标
A1(－a,0)，A2(a,0)
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)
B1(－b,0)，B2(b,0)
轴
长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b
焦距
F1F2＝2c
离心率
e＝∈(0,1)
a，b，c
的关系
a2＝b2＋c2

3.椭圆的第二定义
平面内动点P到定点F的距离和它到定直线l(点F不在直线l上)的距离的比是常数e(0 概念方法微思考
1．在椭圆的定义中，若2a＝F1F2或2a 提示　当2a＝F1F2时动点P的轨迹是线段F1F2；当2a 2．椭圆的离心率的大小与椭圆的扁平程度有怎样的关系？
提示　由e＝＝知，当a不变时，e越大，b越小，椭圆越扁；e越小，b越大，椭圆越圆．

题组一　思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)椭圆是轴对称图形，也是中心对称图形．(　√　)
(2)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成△PF1F2的周长为2a＋2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距)．(　√　)
(3)方程mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)表示的曲线是椭圆．(　√　)
(4)＋＝1(a>b>0)与＋＝1(a>b>0)的焦距相等．(　√　)
题组二　教材改编
2．椭圆＋＝1的焦距为4，则m等于(　　)
A．4 B．8
C．4或8 D．12
答案　C
解析　当焦点在x轴上时，10－m>m－2>0，
10－m－(m－2)＝4，∴m＝4.
当焦点在y轴上时，m－2>10－m>0，m－2－(10－m)＝4，∴m＝8.
∴m＝4或8.
3．过点A(3，－2)且与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆的方程为(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
答案　A
解析　由题意知c2＝5，可设椭圆方程为＋＝1(λ>0)，则＋＝1，解得λ＝10或λ＝－2(舍去)，
∴所求椭圆的方程为＋＝1.
4．已知点P是椭圆＋＝1上y轴右侧的一点，且以点P及焦点F1，F2为顶点的三角形的面积等于1，则点P的坐标为__________________．
答案　或
解析　设P(x，y)，由题意知c2＝a2－b2＝5－4＝1，
所以c＝1，则F1(－1,0)，F2(1,0)．
由题意可得点P到x轴的距离为1，
所以y＝±1，把y＝±1代入＋＝1，
得x＝±，又x>0，所以x＝，
所以P点坐标为或.
题组三　易错自纠
5．若方程＋＝1表示椭圆，则m的取值范围是(　　)
A．(－3,5) B．(－5,3)
C．(－3,1)∪(1,5) D．(－5,1)∪(1,3)
答案　C
解析　由方程表示椭圆知
解得－3 6．已知椭圆＋＝1(m>0)的离心率e＝，则m的值为________．
答案　3或
解析　若a2＝5，b2＝m，则c＝，
由＝，即＝，解得m＝3.
若a2＝m，b2＝5，则c＝.
由＝，即＝，解得m＝.

7．设点P(x，y)在椭圆4x2＋y2＝4上，则5x2＋y2－6x的最大值为________，最小值为________．
答案　11　－1
解析　由椭圆的几何性质知－1≤x≤1，由y2＝－4x2＋4，得5x2＋y2－6x＝x2－6x＋4＝(x－3)2－5，所以当x＝－1时，5x2＋y2－6x取得最大值11；当x＝1时5x2＋y2－6x取得最小值－1.

第1课时　椭圆及其性质
椭圆的定义及其应用
1．(2019·保定模拟)与圆C1：(x＋3)2＋y2＝1外切，且与圆C2：(x－3)2＋y2＝81内切的动圆圆心P的轨迹方程为________．
答案　＋＝1
解析　设动圆的半径为r，圆心为P(x，y)，则有PC1＝r＋1，PC2＝9－r.所以PC1＋PC2＝10>C1C2＝6，即P在以C1(－3,0)，C2(3,0)为焦点，长轴长为10的椭圆上，得点P的轨迹方程为＋＝1.
2.如图，△ABC的顶点B，C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是________．

答案　4
解析　∵a2＝3，∴a＝.
△ABC的周长为AC＋AB＋BC＝AC＋CF2＋AB＋BF2＝2a＋2a＝4a＝4.
3．设点P为椭圆C：＋＝1(a>2)上一点，F1，F2分别为C的左、右焦点，且∠F1PF2＝60°，则△PF1F2的面积为________．
答案　
解析　由题意知，c＝.又∠F1PF2＝60°，F1P＋PF2＝2a，F1F2＝2，∴F1F＝(F1P＋PF2)2－2F1P·PF2－2F1P·PF2·cos 60°＝4a2－3F1P·PF2＝4a2－16，
∴F1P·PF2＝，
∴＝F1P·PF2sin 60°＝××＝.
4．已知F是椭圆5x2＋9y2＝45的左焦点，P是此椭圆上的动点，A(1,1)是一定点，则PA＋PF的最大值为________，最小值为________．
答案　6＋　6－
解析　椭圆方程化为＋＝1，
设F1是椭圆的右焦点，则F1(2,0)，
∴AF1＝，∴PA＋PF＝PA－PF1＋6，
又－AF1≤PA－PF1≤AF1(当P，A，F1共线时等号成立)，
∴PA＋PF≤6＋，PA＋PF≥6－.
思维升华　椭圆定义的应用技巧
(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等．
(2)通常定义和余弦定理结合使用，求解关于焦点三角形的周长和面积问题．
椭圆的标准方程
命题点1　定义法
例1　(1)(2020·湖北“荆、荆、襄、宜”四地七校联考)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，过F2的直线与椭圆C交于A，B两点，若△F1AB的周长为8，则椭圆方程为(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋y2＝1 D.＋＝1
答案　A
解析　如图，由椭圆的定义可知，△F1AB的周长为4a，

∴4a＝8，a＝2，又离心率为，
∴c＝1，
b2＝3，所以椭圆方程为＋＝1.
(2)(2019·全国Ⅰ)已知椭圆C的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若AF2＝2F2B，AB＝BF1，则C的方程为(　　)
A.＋y2＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
答案　B
解析　由题意设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，连接F1A，

令F2B＝m，则AF2＝2m，BF1＝3m.
由椭圆的定义知，4m＝2a，得m＝，
故F2A＝a＝F1A，
则点A为椭圆C的上顶点或下顶点．
令∠OAF2＝θ(O为坐标原点)，则sin θ＝＝.
在等腰三角形ABF1中，cos 2θ＝＝，
因为cos 2θ＝1－2sin2θ，所以＝1－22，得a2＝3.
又c2＝1，所以b2＝a2－c2＝2，
椭圆C的方程为＋＝1，故选B.
命题点2　待定系数法
例2　(1)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点，(，)，则椭圆方程为__________．
答案　＋＝1
解析　设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m，n>0，m≠n)．
由
解得m＝，n＝.
∴椭圆方程为＋＝1.
(2)过点(，－)，且与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为________．
答案　＋＝1
解析　方法一　(待定系数法)：设所求椭圆方程为＋＝1(k<9)，将点(，－)的坐标代入可得＋＝1，解得k＝5(k＝21 舍去)，所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
方法二　(定义法)：椭圆＋＝1的焦点为(0，－4)，(0,4)，即c＝4.
由椭圆的定义知，2a＝＋，解得a＝2.
由c2＝a2－b2可得b2＝4.
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
思维升华　(1)利用定义法求椭圆方程，要注意条件2a>F1F2；利用待定系数法要先定形(焦点位置)，再定量，也可把椭圆方程设为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)的形式．
(2)椭圆的标准方程的两个应用
①方程＋＝1与＋＝λ(λ>0)有相同的离心率．
②与椭圆＋＝1(a>b>0)共焦点的椭圆系方程为＋＝1(a>b>0，k＋b2>0)恰当运用椭圆系方程，可使运算简便．
跟踪训练1　(1)(2019·福建泉州模拟)已知椭圆的两个焦点为F1(－，0)，F2(，0)，M是椭圆上一点，若MF1⊥MF2，MF1·MF2＝8，则该椭圆的方程是(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
答案　C
解析　设MF1＝m，MF2＝n，∵MF1⊥MF2，MF1·MF2＝8，F1F2＝2，∴m2＋n2＝20，mn＝8，
∴(m＋n)2＝36，∴m＋n＝2a＝6，∴a＝3.∵c＝，∴b＝＝2.∴椭圆的方程是＋＝1.
(2)与椭圆＋＝1有相同离心率且经过点(2，－)的椭圆标准方程为________．
答案　＋＝1或＋＝1
解析　方法一　∵e＝＝＝＝＝，若焦点在x轴上，设所求椭圆方程为＋＝1(m>n>0)，则1－2＝.从而2＝，＝.
又＋＝1，∴m2＝8，n2＝6.
∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.
若焦点在y轴上，设椭圆的方程为＋＝1(m>n>0)，
则＋＝1，且＝，解得m2＝，n2＝.
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
方法二　若焦点在x轴上，设所求椭圆方程为
＋＝t(t>0)，将点(2，－)代入，得
t＝＋＝2.
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
若焦点在y轴上，设方程为＋＝λ(λ>0)代入点(2，－)，得λ＝，
∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.
椭圆的几何性质
命题点1　离心率
例3　(1)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　如图，作PB⊥x轴于点B.

由题意可设F1F2＝PF2＝2，则c＝1，
由∠F1F2P＝120°，
可得PB＝，BF2＝1，
故AB＝a＋1＋1＝a＋2，
tan∠PAB＝＝＝，
解得a＝4，所以e＝＝.
(2)若椭圆上存在三点，使得这三点与椭圆中心恰好是一个正方形的四个顶点，则该椭圆的离心率为(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，根据椭圆与正方形的对称性，可画出满足题意的图形，如图所示，

因为OB＝a，所以OA＝a，
所以点A的坐标为，
又点A在椭圆上，所以＋＝1，所以a2＝3b2，
所以a2＝3(a2－c2)，所以3c2＝2a2，
所以椭圆的离心率e＝＝.
(3)已知F1，F2是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，若椭圆上存在点P，使∠F1PF2＝90°，则椭圆的离心率的取值范围是________．
答案　
解析　若存在点P，则圆x2＋y2＝c2与椭圆有公共点，
则∠F1BF2≥90°(B为短轴端点)，
即b≤c ∴a2－c2≤c2，∴a2≤2c2，
∴≤e<1.
命题点2　与椭圆有关的范围(最值)
例4　(1)已知椭圆＋＝1(0 答案　
解析　由椭圆的方程可知a＝2，
由椭圆的定义可知，AF2＋BF2＋AB＝4a＝8，
所以AB＝8－(AF2＋BF2)≥3，
当AB垂直于x轴时AB有最小值，则＝3.
所以b2＝3，即b＝.
(2)设A，B是椭圆C：＋＝1长轴的两个端点．若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取值范围是(　　)
A．(0,1]∪[9，＋∞) B．(0，]∪[9，＋∞)
C．(0,1]∪[4，＋∞) D．(0，]∪[4，＋∞)
答案　A
解析　方法一　设焦点在x轴上，点M(x，y)．
过点M作x轴的垂线，交x轴于点N，
则N(x,0)．
故tan∠AMB＝tan(∠AMN＋∠BMN)
＝＝.
又tan∠AMB＝tan 120°＝－，
且由＋＝1，可得x2＝3－，
则＝＝－.
解得|y|＝.
又0<|y|≤，即0<≤，
结合0 对于焦点在y轴上的情况，同理亦可得m≥9.
则m的取值范围是(0,1]∪[9，＋∞)．
故选A.
方法二　当0 要使C上存在点M满足∠AMB＝120°，
则≥tan 60°＝，即≥，
解得0 当m>3时，焦点在y轴上，
要使C上存在点M满足∠AMB＝120°，
则≥tan 60°＝，即≥，解得m≥9.
故m的取值范围为(0,1]∪[9，＋∞)．
故选A.
思维升华　(1)求椭圆离心率或其范围的方法
解题的关键是借助图形建立关于a，b，c的关系式(等式或不等式)，转化为e的关系式，常用方法如下：
①直接求出a，c，利用离心率公式e＝求解．
②由a与b的关系求离心率，利用变形公式e＝求解．
③构造a，c的齐次式．离心率e的求解中可以不求出a，c的具体值，而是得出a与c的关系，从而求得e.
(2)利用椭圆几何性质求值或范围的思路
①将所求问题用椭圆上点的坐标表示，利用坐标范围构造函数或不等关系．
②将所求范围用a，b，c表示，利用a，b，c自身的范围、关系求范围．

跟踪训练2　(1)正方形ABCD的四个顶点都在椭圆＋＝1(a>b>0)上，若椭圆的焦点在正方形的内部，则椭圆的离心率的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　设正方形的边长为2m，
∵椭圆的焦点在正方形的内部，∴m>c.
又正方形ABCD的四个顶点都在椭圆＋＝1(a>b>0)上，
∴＋＝1>＋＝e2＋，
整理得e4－3e2＋1>0，e2<＝，
∴0 (2)已知点P(0,1)，椭圆＋y2＝m(m>1)上两点A，B满足＝2，则当m＝________时，点B横坐标的绝对值最大．
答案　5
解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由＝2，
得即x1＝－2x2，y1＝3－2y2，
因为点A，B在椭圆上，
所以得y2＝m＋，
所以x＝m－(3－2y2)2＝－m2＋m－
＝－(m－5)2＋4≤4，
所以当m＝5时，点B横坐标的绝对值最大，最大值为2.