2021高考数学一轮复习学案：第八章8.5圆与圆的位置关系及圆的应用

§8.5　圆与圆的位置关系及圆的应用

圆与圆的位置关系

设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r(r1>0)，

圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2>0)．

概念方法微思考

1．两圆的公切线条数有几种情况．

提示　有5种情况．①内含：0条；②内切：1条；③相交：2条；④外切：3条；⑤外离：4条．

2．怎样得到两圆公共弦所在直线的方程？

提示　当两圆相交时，两圆方程(x2，y2项系数相同)相减便可得公共弦所在直线的方程．

题组一　思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．(　×　)

(2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．(　×　)

(3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．

(　×　)

题组二　教材改编

2．圆C1：x2＋y2＋2x＝0，圆C2：x2＋y2＋4y＝0，则两圆的位置关系是________．

答案　相交

解析　圆C1：(x＋1)2＋y2＝1，

圆C2：x2＋(y＋2)2＝22，

所以C1C2＝，且2－1<<2＋1，

所以两圆相交．

3．若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2＋6x－8y＋m＝0相切，则实数m的值为________．

答案　－11或9

解析　圆C2：x2＋y2＋6x－8y＋m＝0即(x＋3)2＋(y－4)2＝25－m，

表示以(－3,4)为圆心，以为半径的圆．

由题意知，若两圆内切，则两圆的圆心距等于半径之差的绝对值，

可得5＝|－1|，解得m＝－11.

若两圆外切，则两圆的圆心距等于半径之和，

可得5＝ ＋1，解得m＝9.

所以m＝9或－11.

题组三　易错自纠

4．圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦长为________．

答案　2

解析　由

得两圆公共弦所在的直线方程为x－y＋2＝0.

又圆x2＋y2＝4的圆心到直线x－y＋2＝0的距离为＝，由勾股定理得弦长的一半为＝，

所以所求弦长为2.

5．两圆相交于两点A(1,3)和B(m，－1)，两圆圆心都在直线x－y＋c＝0上，则m＋c的值为________．

答案　3

解析　由题意知直线AB与直线x－y＋c＝0垂直，

∴kAB×1＝－1，

即＝－1，得m＝5，

∴AB的中点坐标为(3,1)．

又AB的中点在直线x－y＋c＝0上，

∴3－1＋c＝0，∴c＝－2，

∴m＋c＝5－2＝3.

6．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：(x－4)2＋(y－8)2＝1，圆C2：(x－6)2＋(y＋6)2＝9，若圆心在x轴上的圆C同时平分圆C1和圆C2的圆周，则圆C的方程是________．

答案　x2＋y2＝81

解析　设圆C的圆心为C(a,0)，半径为r，

则r2＝CC＋1且r2＝CC＋9，

即解得

所以圆C的方程为x2＋y2＝81.

两圆位置关系的判定

例1 (2020·南京模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知圆M：(x－a)2＋(y＋a－3)2＝1(a>0)，点N为圆M上任意一点．若以N为圆心、ON为半径的圆与圆M至多有一个公共点，则a的最小值为________．

答案　3

解析　由题意，得圆N与圆M内切或内含，

即MN≤ON－1⇒ON≥2，

又ON的最小值为OM－1，

所以OM≥3，≥3⇒a≥3或a≤0(舍)，

因此a的最小值为3.

思维升华 判断圆与圆的位置关系时，一般用几何法，其步骤为

(1)确定两圆的圆心坐标和半径长．

(2)利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d，求r1＋r2，|r1－r2|.

(3)比较d，r1＋r2，|r1－r2|的大小，写出结论．

跟踪训练1 (1)圆C1：(x＋2)2＋(y－2)2＝4和圆C2：(x－2)2＋(y－5)2＝16的位置关系是(　　)

A．外离  B．相交  C．内切  D．外切

答案　B

解析　易得圆C1的圆心为C1(－2,2)，半径r1＝2，圆C2的圆心为C2(2,5)，半径r2＝4，圆心距|C1C2|＝＝5<2＋4＝r1＋r2且5>r2－r1，所以两圆相交．

(2)圆x2＋y2＋4x－4y＋7＝0与圆x2＋y2－4x＋10y＋13＝0的公切线有________条．

答案　4

解析　两圆的标准方程分别为(x＋2)2＋(y－2)2＝1，

(x－2)2＋(y＋5)2＝16.

两圆圆心分别为(－2,2)，(2，－5)．

两圆的圆心距d＝＝，半径分别为r1＝1，r2＝4，则d>r1＋r2，即两圆外离，因此它们有4条公切线．

两圆的公共弦问题

例2 已知圆C：x2＋y2－10x－10y＝0与圆M：x2＋y2＋6x＋2y－40＝0相交于A，B两点．

(1)求圆C与圆M的公共弦所在直线的方程；

(2)求AB的长．

解　(1)直线AB的方程为x2＋y2－10x－10y－(x2＋y2＋6x＋2y－40)＝0，即4x＋3y－10＝0.

(2)由题意知，圆C的标准方程为(x－5)2＋(y－5)2＝50，

因为C(5,5)，所以圆C到直线AB的距离为d＝＝5，圆C的半径r＝5，所以AB＝2＝10.

思维升华 当两圆相交时，从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程就是两圆的公共弦所在直线的方程．

跟踪训练2 (1)圆C1：x2＋y2－2x－8＝0与圆C2：x2＋y2＋2x－4y－4＝0的公共弦长为________．

答案　2

解析　由圆C1与圆C2的公共弦所在的直线l的方程为x－y＋1＝0，得圆心C1(1,0)到直线l的距离为d＝＝，圆C1的半径为r1＝3，所以圆C1与圆C2的公共弦长为2＝2＝2.

(2)已知圆C1：x2＋y2－6x－6＝0，圆C2：x2＋y2－4y－6＝0，请判断两圆的位置关系，并说明两圆是否存在公共弦．若存在，求出公共弦所在直线的方程，若不存在，请说明理由．

解　圆C1：x2＋y2－6x－6＝0，

即(x－3)2＋y2＝15，圆心坐标为(3,0)，半径r1＝；

圆C2：x2＋y2－4y－6＝0，

即x2＋(y－2)2＝10，圆心坐标为(0,2)，半径r2＝.

∵C1C2＝＝

∈(－，＋)，

∴圆C1与圆C2相交，两圆存在公共弦．

由圆C1：x2＋y2－6x－6＝0，①

圆C2：x2＋y2－4y－6＝0，②

①－②得－6x＋4y＝0，即3x－2y＝0.

∴两圆公共弦所在直线的方程为3x－2y＝0.

圆的应用

命题点1　利用两圆位置关系求参数

例3 (1)如果圆C：x2＋y2－2ax－2ay＋2a2－4＝0与圆O：x2＋y2＝4总相交，那么实数a的取值范围是______________________．

答案　(－2，0)∪(0,2)

解析　圆C的标准方程为(x－a)2＋(y－a)2＝4，圆心坐标为(a，a)，半径为2.

依题意得0<<2＋2，∴0<|a|<2.

∴a∈(－2，0)∪(0,2)．

(2)已知圆C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝4与圆C2：(x＋b)2＋(y＋2)2＝1外切，则ab的最大值为________．

答案　

解析　由圆C1与圆C2外切，

可得＝2＋1＝3，即(a＋b)2＝9，根据基本不等式可知ab≤2＝，当且仅当a＝b时等号成立，ab的最大值为.

若将本例(2)中的“外切”变为“内切”，求ab的最大值．

解　由C1与C2内切得＝1.

即(a＋b)2＝1，又ab≤2＝，当且仅当a＝b时等号成立，故ab的最大值为.

命题点2　圆的实际应用

例4 (2019·江苏如东高级中学期中)如图，地面上有一竖直放置的圆形标志物，圆心为C，与地面的接触点为G.与圆形标志物在同一平面内的地面上点P处有一个观测点，且PG＝

50 m．在观测点正前方10 m处(即PD＝10 m)有一个高为10 m(即ED＝10 m)的广告牌遮住了视线，因此在观测点所能看到的圆形标志的最大部分即为图中从A到F的圆弧．

(1)若圆形标志物半径为25 m，以PG所在直线为x轴，G为坐标原点，建立直角坐标系，求圆C和直线PF的方程；

(2)若在点P处观测该圆形标志的最大视角(即∠APF)的正切值为，求该圆形标志物的半径．

解　(1)建系后，圆C的方程为x2＋(y－25)2＝252.

设直线PF的方程为y＝k(x＋50)(k>0)，

因为直线PF与圆C相切，所以＝25，

解得k＝(k＝0舍去)．

所以直线PF的方程为y＝(x＋50)，即4x－3y＋200＝0.

(2)以PG所在直线为x轴，G为坐标原点建立直角坐标系，

设直线PF的方程为y＝k(x＋50)(k>0)，圆C的方程为x2＋(y－r)2＝r2(r>0)．

由已知得直线PE的倾斜角为.

因为tan∠APF＝tan(∠GPF－∠GPA)＝＝，

所以k＝，

所以直线PF的方程为y＝(x＋50)，

即40x－9y＋2 000＝0.

因为直线PF与圆C相切，所以＝r，

解得r＝40或－62.5(舍)．

故该圆形标志物的半径为40 m.

思维升华 (1)利用两圆位置关系求参数的关键是抓住两圆圆心距和两圆半径和r1±r2的关系．

(2)日常生活中和圆有关的物体以及可转化为和圆有关的位置关系问题求解时可建立坐标系，利用圆的方程或直线与圆、圆与圆的位置关系解决．

跟踪训练3 (2014·江苏)如图，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC与河岸AB垂直，保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80 m．经测量，点A位于点O正北方向60 m处，点C位于点O正东方向170 m处(OC为河岸)，tan∠BCO＝.

(1)求新桥BC的长；

(2)当OM多长时，圆形保护区的面积最大？

解　(1)如图，过点B作BE⊥OC于点E，过点A作AF⊥BE于点F.

∵∠ABC＝90°，∠BEC＝90°，

∴∠ABF＝∠BCE，

∴tan∠ABF＝tan∠BCO＝.

设AF＝4x(m)，则BF＝3x(m)，

∵∠AOE＝∠AFE＝∠OEF＝90°，

∴OE＝AF＝4x(m)，EF＝AO＝60(m)，

∴BE＝(3x＋60)m.

∵tan∠BCO＝，

∴CE＝BE＝ m，

∴OC＝ m，

∴4x＋x＋45＝170，解得x＝20.

∴BE＝120 m，CE＝90 m.

综上所述，BC＝150 m.

(2)如图，设BC与⊙M切于点Q，延长QM，CO交于点P，

∵∠POM＝∠PQC＝90°.

∴∠PMO＝∠BCO.

设OM＝x m，则OP＝x m，

PM＝x m.

∴PC＝m，PQ＝m.

设⊙M的半径为R，

∴R＝MQ＝＝m，

∵A，O到⊙M上任一点的距离不少于80 m，

则

即

解得10≤x≤35.

当且仅当x＝10时R取到最大值．

∴当OM＝10 m时，保护区面积最大，

综上所述，当OM＝10 m时，保护区面积最大．