2021届高考数学（文）一轮复习学案：平面解析几何第7节双曲线


第七节　双曲线
[最新考纲]　1.了解双曲线的实际背景，了解双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).3.理解数形结合思想.4.了解双曲线的简单应用．

1．双曲线的定义
(1)平面内到两定点F1、F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|的点的集合叫作双曲线，定点F1，F2叫作双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫作双曲线的焦距．
(2)集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，
其中a，c为常数且a＞0，c＞0.
①当2a＜|F1F2|时，M点的轨迹是双曲线；
②当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹是两条射线；
③当2a＞|F1F2|时，M点不存在．
2．双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
－＝1
(a＞0，b＞0)
－＝1
(a＞0，b＞0)
图形


性质
范围
x≥a或x≤－a，
y∈R
x∈R，
y≤－a或y≥a
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点坐标
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线
y＝±x
y＝±x
离心率
e＝＝∈(1，＋∞)
实、虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；
线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；
a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
a，b，c的关系
c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0)
3.等轴双曲线
实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为y＝±x，离心率为e＝.

1．过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为，也叫通径．
2．双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.
3．若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.
4．与双曲线－＝1(a＞0，b＞0)有共同渐近线的方程可表示为－＝t(t≠0)．
5．当已知双曲线的渐近线方程为bx±ay＝0，求双曲线方程时，可设双曲线方程为b2x2－a2y2＝λ(λ≠0)．

一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线． (　　)
(2)方程－＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线． (　　)
(3)双曲线－＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是－＝0，即±＝0. (　　)
(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于. (　　)
[答案](1)×　(2)×　(3)√　(4)√
二、教材改编
1．双曲线－＝1的焦距为(　　)
A．5　　　　B.　　　　C．2　　　　D．1
C　[由双曲线－＝1，易知c2＝3＋2＝5，所以c＝，所以双曲线－＝1的焦距为2.]
2．以椭圆＋＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为(　　)
A．x2－＝1 B.－y2＝1
C．x2－＝1 D.－＝1
A　[设要求的双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)，
由椭圆＋＝1，得椭圆焦点为(±1,0)，在x轴上的顶点为(±2,0)．
所以双曲线的顶点为(±1,0)，焦点为(±2,0)．
所以a＝1，c＝2，
所以b2＝c2－a2＝3，
所以双曲线的标准方程为x2－＝1.]
3．已知双曲线－＝1(a>0)的离心率为2，则a＝(　　)
A．2 B.
C. D．1
D　[依题意，e＝＝＝2，∴＝2a，则a2＝1，a＝1.]
4．经过点A(5，－3)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________．
－＝1　[设双曲线的方程为x2－y2＝λ，把点A(5，－3)代入，得λ＝16，
故所求方程为－＝1.]
⊙考点1　双曲线的定义及应用
　双曲线定义的两个应用
(1)判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出双曲线方程．
(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的关系．
(1)设P是双曲线－＝1上一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|＝9，则|PF2|等于(　　)
A．1　　　　　 B．17
C．1或17 D．以上均不对
(2)已知动圆M与圆C1：(x＋4)2＋y2＝2外切，与圆C2：(x－4)2＋y2＝2内切，则动圆圆心M的轨迹方程为(　　)
A.－＝1(x≥) B.－＝1(x≤－)
C.＋＝1(x≥) D.＋＝1(x≤－)
(3)已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|等于(　　)
A．2 B．4
C．6　　　　 D．8
(1)B　(2)A　(3)B　[(1)根据双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝8⇒|PF2|＝1或17.
又|PF2|≥c－a＝2，故|PF2|＝17，故选B.
(2)设动圆的半径为r，由题意可得|MC1|＝r＋，|MC2|＝r－，所以|MC1|－|MC2|＝2，故由双曲线的定义可知动点M在以C1(－4,0)，C2(4,0)为焦点，实轴长为2a＝2的双曲线的右支上，即a＝，c＝4⇒b2＝16－2＝14，故动圆圆心M的轨迹方程为－＝1(x≥)，故选A.
(3)由双曲线的方程得a＝1，c＝，
由双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝2.
在△PF1F2中，由余弦定理得
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos 60°，
即(2)2＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|＝22＋|PF1|·|PF2|，
解得|PF1|·|PF2|＝4，故选B.]
[母题探究]
1．本例(3)中，若将条件“∠F1PF2＝60°”改为|PF1|＝2|PF2|，试求cos∠F1PF2的值．
[解]　根据双曲线的定义知，|PF1|－|PF2|＝|PF2|＝2，则|PF1|＝2|PF2|＝4，又|F1F2|＝2
∴cos∠F1PF2＝＝＝.
2．本例(3)中，若将条件“∠F1PF2＝60°”，改为·＝0，则△F1PF2的面积是多少？
[解]　不妨设点P在双曲线的右支上．
则|PF1|－|PF2|＝2a＝2，
由·＝0，得⊥.
在△F1PF2中，|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，
即(|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1||PF2|＝8，
∴|PF1||PF2|＝2.
∴S△F1PF2＝|PF1||PF2|＝1.
(1)求双曲线上的点到焦点的距离时，要注意取舍，如本例T(1)；(2)利用定义求双曲线方程时，要注意所求是双曲线一支，还是整个双曲线，如本例T(2)．
　1.已知点F1(－3,0)和F2(3,0)，动点P到F1，F2的距离之差为4，则点P的轨迹方程为(　　)
A.－＝1(y＞0)　　　 B.－＝1(x＞0)
C.－＝1(y＞0) D.－＝1(x＞0)
B　[由题设知点P的轨迹方程是焦点在x轴上的双曲线的右支，设其方程为－＝1(x＞0，a＞0，b＞0)，由题设知c＝3，a＝2，b2＝9－4＝5，所以点P的轨迹方程为－＝1(x＞0)．]
2．已知双曲线x2－＝1的两个焦点为F1，F2，P为双曲线右支上一点．若|PF1|＝|PF2|，则△F1PF2的面积为(　　)
A．48　　　B．24　　　C．12　　　D．6
B　[由双曲线的定义可得
|PF1|－|PF2|＝|PF2|＝2a＝2，
解得|PF2|＝6，故|PF1|＝8，
又|F1F2|＝10，
由勾股定理可知三角形PF1F2为直角三角形，因此S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|＝24.]
3．若双曲线－＝1的左焦点为F，点P是双曲线右支上的动点，A(1,4)，则|PF|＋|PA|的最小值是(　　)
A．8 B．9
C．10 D．12
B　[由题意知，双曲线－＝1的左焦点F的坐标为(－4,0)，设双曲线的右焦点为B，则B(4,0)，由双曲线的定义知|PF|＋|PA|＝4＋|PB|＋|PA|≥4＋|AB|＝4＋＝4＋5＝9，当且仅当A，P，B三点共线且P在A，B之间时取等号．]
⊙考点2　双曲线的标准方程
　求双曲线方程的思路
(1)如果已知双曲线的中心在原点，且确定了焦点在x轴上或y轴上，则设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a，b，c的方程组，解出a2，b2，从而写出双曲线的标准方程(求得的方程可能是一个，也有可能是两个，注意合理取舍，但不要漏解)．
(2)当焦点位置不确定时，有两种方法来解决：一种是分类讨论，注意考虑要全面；另一种是设双曲线的一般方程为mx2＋ny2＝1(mn＜0)求解．
(1)(2019·荆门模拟)方程＋＝1表示双曲线的一个充分不必要条件是(　　)
A．－3＜m＜0 B．－1＜m＜3
C．－3＜m＜4 D．－2＜m＜3
(2)[一题多解]已知双曲线过点(2,3)，渐近线方程为y＝±x，则该双曲线的标准方程是(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C．x2－＝1 D.－＝1
(3)(2018·天津高考)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1＋d2＝6，则双曲线的方程为(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
(1)B　(2)C　(3)C　[(1)方程＋＝1表示双曲线，则(m＋2)(m－3)＜0，解得－2＜m＜3.∵要求充分不必要条件，∴选项范围是－2＜m＜3的真子集，只有选项B符合题意．故选B.
(2)法一：当其中的一条渐近线方程y＝x中的x＝2时，y＝2＞3，又点(2,3)在第一象限，所以双曲线的焦点在x轴上，设双曲线的标准方程是－＝1(a＞0，b＞0)，由题意得解得所以该双曲线的标准方程为x2－＝1，故选C.
法二：因为双曲线的渐近线方程为y＝±x，即＝±x，所以可设双曲线的方程是x2－＝λ(λ≠0)，将点(2,3)代入，得λ＝1，所以该双曲线的标准方程为x2－＝1，故选C.
(3)如图，不妨设A在B的上方，则A，B.
其中的一条渐近线为bx－ay＝0，则d1＋d2＝＝＝2b＝6，∴b＝3. 又由e＝＝2，知a2＋b2＝4a2，∴a＝.
∴双曲线的方程为－＝1. 故选C.]
　已知双曲线的渐近线方程，用渐近线方程设出双曲线方程，运算过程较为简单．
[教师备选例题]
设双曲线与椭圆＋＝1有共同的焦点，且与椭圆相交，其中一个交点的坐标为(，4)，则此双曲线的标准方程是________．
－＝1 　[法一：椭圆＋＝1的焦点坐标是(0，±3)，设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，根据双曲线的定义知2a＝|－|
＝4，故a＝2.
又b2＝32－22＝5，故所求双曲线的标准方程为－＝1.
　法二：椭圆＋＝1的焦点坐标是(0，±3)．设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，则a2＋b2＝9， ①
又点(，4)在双曲线上，所以－＝1， ②
联立①②解得a2＝4，b2＝5.故所求双曲线的标准方程为－＝1.
　1.(2019·湘潭模拟)以双曲线－＝1的焦点为顶点，且渐近线互相垂直的双曲线的标准方程为(　　)
A．x2－y2＝1 B.－y2＝1
C.－＝1 D.－＝1
D　[由题可知，所求双曲线的顶点坐标为(±3,0)．又因为双曲线的渐近线互相垂直，所以a＝b＝3，则该双曲线的方程为－＝1.故选D.]
2．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，若|PF1|－|PF2|＝4b，且双曲线的焦距为2，则该双曲线的标准方程为(　　)
A.－y2＝1 B.－＝1
C．x2－＝1 D.－＝1
A　[由题意可得
解得
则该双曲线的标准方程为－y2＝1.]
3．经过点P(3,2)，Q(－6，7)的双曲线的标准方程为________．
－＝1　[设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn＜0)，
因为所求双曲线经过点P(3,2)，Q(－6，7)，
所以解得
故所求双曲线方程为－＝1.]
⊙考点3　双曲线的几何性质
　求双曲线的离心率(或其范围)
　求双曲线的离心率或其范围的方法
(1)求a，b，c的值，由＝＝1＋直接求e.
(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解．
(1)(2019·全国卷Ⅱ)设F为双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为(　　)
A. B.
C．2 D.
(2)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，则双曲线离心率的取值范围是(　　)
A. B.
C．(1,2] D.
(1)A　(2)B　[(1)令双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点F的坐标为(c,0)，则c＝.
如图所示，由圆的对称性及条件|PQ|＝|OF|可知，PQ是以OF为直径的圆的直径，且PQ⊥OF.设垂足为M，连接OP，则|OP|＝a，|OM|＝|MP|＝，

由|OM|2＋|MP|2＝|OP|2，
得＋＝a2，
∴＝，即离心率e＝.
故选A.
(2)由双曲线的定义可知|PF1|－|PF2|＝2a，又|PF1|＝4|PF2|，所以|PF2|＝，由双曲线上的点到焦点的最短距离为c－a，可得≥c－a，解得≤，即e≤，又双曲线的离心率e＞1，故该双曲线离心率的取值范围为，故选B.]
　本例T(2)利用双曲线右支上的点到右焦点的距离不小于c－a建立不等式求解，同时应注意双曲线的离心率e＞1.
[教师备选例题]
(2019·沈阳模拟)设F1，F2分别为双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，P是双曲线C上一点，若|PF1|＋|PF2|＝4a，且△PF1F2的最小内角的正弦值为，则双曲线C的离心率为(　　)
A．2 B．3　　　　
C.　　　　 D.
C　[不妨设P是双曲线右支上的一点，由双曲线的定义可知|PF1|－|PF2|＝2a，|F1F2|＝2c，所以|PF1|＝3a，|PF2|＝a.△PF1F2的最小内角的正弦值为，其余弦值为，因为|PF1|＞|PF2|，|F1F2|＞|PF2|，所以∠PF1F2为△PF1F2的最小内角．由余弦定理可得|PF2|2＝|F1F2|2＋|PF1|2－2|F1F2||PF1|cos∠PF1F2，即a2＝4c2＋9a2－2×2c×3a×，所以离心率e＝＝.故选C.]
　与渐近线有关的问题
　与渐近线有关的结论
(1)双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝±x，双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝±x.
(2)e2＝1＋⇒＝e2－1⇒＝.
(1)(2019·武汉模拟)已知双曲线C：－＝1(m＞0，n＞0)的离心率与椭圆＋＝1的离心率互为倒数，则双曲线C的渐近线方程为(　　)
A．4x±3y＝0
B．3x±4y＝0
C．4x±3y＝0或3x±4y＝0
D．4x±5y＝0或5x±4y＝0
(2)(2019·张掖模拟)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的顶点到其一条渐近线的距离为1，焦点到其一条渐近线的距离为，则其一条渐近线的倾斜角为(　　)
A．30° B．45°
C．60° D．120°
(1)A　(2)B　[(1)由题意知，椭圆中a＝5，b＝4，∴椭圆的离心率e＝＝，∴双曲线的离心率为＝，∴＝，∴双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x，即4x±3y＝0.故选A.
(2)设双曲线－＝1的右顶点A(a,0)，右焦点F2(c,0)到渐近线y＝x的距离分别为1和，则有即＝.
则＝＝－1＝2－1＝1，即＝1.
设渐近线y＝x的倾斜角为θ，则tan θ＝＝1.
所以θ＝45°，故选B.]
　双曲线中，焦点到一条渐近线的距离等于b是常用的结论．
[教师备选例题]
　(2019·衡水模拟)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1作圆x2＋y2＝a2的切线，交双曲线右支于点M.若∠F1MF2＝45°，则双曲线的渐近线方程为(　　)
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±2x
A　[如图，作OA⊥F1M于点A，F2B⊥F1M于点B.因为F1M与圆x2＋y2＝a2相切，∠F1MF2＝45°，所以|OA|＝a，|F2B|＝|BM|＝2a，|F2M|＝2a，|F1B|＝2b.又点M在双曲线上，所以|F1M|－|F2M|＝2a＋2b－2a＝2a，整理得b＝a.所以＝.所以双曲线的渐近线方程为y＝±x.故选A.]
　1.已知双曲线－＝1(m＞0)的一个焦点在直线x＋y＝5上，则双曲线的渐近线方程为(　　)
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
B　[由双曲线－＝1(m＞0)的焦点在y轴上，且在直线x＋y＝5上，直线x＋y＝5与y轴的交点为(0,5)，
有c＝5，则m＋9＝25，得m＝16，
所以双曲线的方程为－＝1，
故双曲线的渐近线方程为y＝±x.故选B.]
2．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点A(2，)在双曲线C上，若AF2⊥F1F2，则双曲线C的渐近线方程为(　　)
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±2x D．y＝±x
A　[因为AF2⊥F1F2，A(2，)，所以F1(－2,0)，F2(2,0)，由双曲线的定义可知2a＝|AF1|－|AF2|＝－＝2，即a＝，所以b＝＝，故双曲线C的渐近线方程为y＝±x，故选A.]