2021届高考数学人教版一轮创新教学案：第2章第2讲　函数的单调性与最值


第2讲　函数的单调性与最值

[考纲解读]　1.掌握求函数单调性与单调区间的求解方法，并能利用函数的单调性求最值．(重点)
2．理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义．(重点)
3．能够运用函数图象理解和研究函数的性质．(难点)
[考向预测]　从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个热点．预测2021年高考将主要考查函数单调性的应用、比较大小、函数最值的求解、根据函数的单调性求参数的取值范围等问题.


1.函数的单调性
(1)增函数、减函数


增函数
减函数
一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2
定义
当x10.(　　)
(3)若函数y＝f(x)，x∈D的最大值为M，最小值为m(M＞m)，则此函数的值域为[m，M]．(　　)
(4)闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点取到．(　　)
答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√
　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　

2．小题热身
(1)设定义在[－1,7]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的增区间为________．

答案　[－1,1]，[5,7]
解析　由图可知函数的单调递增区间为[－1,1]和[5,7]．
(2)函数y＝4x－x2＋3，x∈[0,3]的单调递增区间是________，最小值是________，最大值是________．
答案　[0,2]　3　7
解析　因为y＝4x－x2＋3＝－(x－2)2＋7，
所以函数y＝4x－x2＋3，x∈[0,3]的单调递增区间是[0,2]．
当x＝2时，ymax＝7；当x＝0时，ymin＝3.
(3)函数f(x)＝(2a－1)x－3是R上的减函数，则a的取值范围是________．
答案　
解析　因为函数f(x)＝(2a－1)x－3是R上的减函数，所以2a－1＜0，解得a＜.
(4)函数f(x)＝(x∈[2,5])的最大值与最小值之和等于________．
答案　
解析　因为函数f(x)＝在[2,5]上单调递减，所以f(x)max＝f(2)＝1，f(x)min＝f(5)＝，f(x)max＋f(x)min＝.


题型 一　确定函数的单调性(区间)　
　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　


1．函数f(x)＝ln (x2－2x－8)的单调递增区间是(　　)
A．(－∞，－2) B．(－∞，1)
C．(1，＋∞) D．(4，＋∞)
答案　D
解析　由x2－2x－8>0，得x>4或x