2021届高考数学人教版一轮创新教学案：第2章第1讲　函数及其表示



第二章　函数、导数及其应用
第1讲　函数及其表示
[考纲解读]　1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念．(重点)
2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．(重点)
3．了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段)．(难点)
[考向预测]　从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个热点．预测2021年会考查函数的解析式与分段函数的应用，可能涉及函数的求值、函数图象的判断及最值的求解.


1.函数与映射

函数
映射
两个集合
A，B
设A，B是两个非空数集
设A，B是两个非空集合
对应关系
f：A→B
如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应
如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应
名称
称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
称f：A→B为从集合A到集合B的一个映射
函数记法
函数y＝f(x)，x∈A
映射：f：A→B

2．函数的有关概念
(1)函数的定义域、值域
在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．
(2)函数的三要素：定义域、对应关系和值域．
(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．
3．函数的表示法
表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．
4．分段函数
(1)定义：若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．
(2)分段函数的相关结论
①分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．
②分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集．

1．概念辨析
(1)对于函数f：A→B，其值域就是集合B.(　　)
(2)A＝{1,4,9}，B＝{－3，－2，－1,1,2,3}．
f：x→x的平方根是A到B的映射．(　　)
(3)与x轴垂直的直线和一个函数的图象至多有一个交点．(　　)
(4)函数y＝1与y＝x0是同一个函数．(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×
　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　

2．小题热身
(1)函数y＝＋的定义域为(　　)
A. B．(－∞，3)∪(3，＋∞)
C.∪(3，＋∞) D．(3，＋∞)
答案　C
解析　由解得x≥且x≠3，所以已知函数的定义域为∪(3，＋∞)．
(2)下列函数中，与函数y＝x＋1是相等函数的是(　　)
A．y＝()2 B．y＝＋1
C．y＝＋1 D．y＝＋1
答案　B
解析　对于A，函数y＝()2的定义域为{x|x≥－1}，与函数y＝x＋1的定义域不同，不是相等函数；对于B，定义域和对应关系都相同，是相等函数；对于C，函数y＝＋1的定义域为{x|x≠0}，与函数y＝x＋1的定义域不同，不是相等函数；对于D，定义域相同，但对应关系不同，不是相等函数．
(3)若函数f(x)＝则f[f(1)]的值为(　　)
A．－10 B．10
C．－2 D．2
答案　C
解析　f(1)＝21－4＝－2，f[f(1)]＝f(－2)＝2×(－2)＋2＝－2.

(4)函数y＝f(x)的图象如图所示，那么，f(x)的定义域是________，值域是________，其中只有唯一的x值与之对应的y值的范围是________．(图中，曲线l与直线m无限接近，但永不相交)
答案　[－3,0]∪[1,4)　[1，＋∞)　[1,2)∪(5，＋∞)
解析　观察函数y＝f(x)的图象可知，f(x)的定义域为[－3,0]∪[1,4)，值域是[1，＋∞)，当y∈[1,2)∪(5，＋∞)时，只有唯一的x值与之对应．
(5)已知f＝x2＋5x，则f(x)＝________.
答案　(x≠0)
解析　令t＝，则t≠0，x＝，f(t)＝2＋5·＝.所以f(x)＝(x≠0)．


题型 一　函数的定义域
　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　


1．函数y＝＋(x－1)0的定义域是(　　)
A．{x|－3＜x＜1} B．{x|－3＜x＜2且x≠1}
C．{x|0＜x＜2} D．{x|1＜x＜2}
答案　B
解析　要使函数解析式有意义，须有解得所以－3＜x＜2且x≠1.故已知函数的定义域为{x|－3＜x＜2且x≠1}．
2．函数f(x)的定义域是[2，＋∞)，则函数y＝的定义域是(　　)
A．[1，＋∞) B．(－∞，1]
C．[1,2)∪(2，＋∞) D．[2，＋∞)
答案　C
解析　依题意得解得x≥1且x≠2，所以函数y＝的定义域是[1,2)∪(2，＋∞)．
3．(2020·安阳三校联考)若函数f(x)＝的定义域为一切实数，则实数m的取值范围是(　　)
A．[0,4) B．(0,4)
C．[4，＋∞) D．[0,4]
答案　D
解析　由题意可得mx2＋mx＋1≥0恒成立．
当m＝0时，1≥0恒成立；
当m≠0时，则解得0－1)
解析　令t＝－1，则由x>0知－1>－1，x＝，所以由f＝lg x，得f(t)＝lg (t>－1)，所以f(x)＝lg (x>－1)．
2．已知f＝x2＋x－2，则f(x)＝________.
答案　x2－2(x≥2或x≤－2)
解析　因为f＝x2＋x－2＝2－2，
且当x>0时，x＋≥2；当x