2021届山东高考数学一轮创新教学案：第2章　第2讲　函数的单调性与最值

第2讲　函数的单调性与最值[考纲解读]　1.掌握求函数单调性与单调区间的求解方法，并能利用函数的单调性求最值．(重点)2．理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义．(重点)3．能够运用函数图象理解和研究函数的性质．(难点)[考向预测]　从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个热点．预测2021年高考将主要考查函数单调性的应用、比较大小、函数最值的求解、根据函数的单调性求参数的取值范围等问题．  对应学生用书P0131.函数的单调性(1)增函数、减函数 增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的 (2)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性．区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间．2.函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件①对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；②存在x0∈I，使得f(x0)＝M①对于任意x∈I，都有f(x)≥M；②存在x0∈I，使得f(x0)＝M结论M为函数y＝f(x)的最大值M为函数y＝f(x)的最小值 1.概念辨析(1)函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．(　　)(2)设任意x1，x2∈[a，b]且x1≠x2，那么f(x)在[a，b]上是增函数⇔>0⇔(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0.(　　)(3)若函数y＝f(x)，x∈D的最大值为M，最小值为m(M＞m)，则此函数的值域为[m，M]．(　　)(4)闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点取到．(　　)答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√2.小题热身(1)设定义在[－1,7]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的增区间为________．答案　[－1,1]，[5,7]解析　由图可知函数的单调递增区间为[－1,1]和[5,7]．(2)函数y＝4x－x2＋3，x∈[0,3]的单调递增区间是________，最小值是________，最大值是________．答案　[0,2]　3　7解析　因为y＝4x－x2＋3＝－(x－2)2＋7，所以函数y＝4x－x2＋3，x∈[0,3]的单调递增区间是[0,2]．当x＝2时，ymax＝7；当x＝0时，ymin＝3.(3)函数f(x)＝(2a－1)x－3是R上的减函数，则a的取值范围是________．答案　解析　因为函数f(x)＝(2a－1)x－3是R上的减函数，所以2a－1＜0，解得a＜.(4)函数f(x)＝(x∈[2,5])的最大值与最小值之和等于________．答案　解析　因为函数f(x)＝在[2,5]上单调递减，所以f(x)max＝f(2)＝1，f(x)min＝f(5)＝，f(x)max＋f(x)min＝. 对应学生用书P014题型 一　确定函数的单调性(区间)　1.函数f(x)＝ln (x2－2x－8)的单调递增区间是(　　)A.(－∞，－2)  B．(－∞，1)C.(1，＋∞)  D．(4，＋∞)答案　D解析　由x2－2x－8>0，得x>4或x<－2.设t＝x2－2x－8，则y＝ln t为增函数．要求函数f(x)的单调递增区间，即求函数t＝x2－2x－8在定义域内的单调递增区间．∵函数t＝x2－2x－8在(－∞，－2)上单调递减，在(4，＋∞)上单调递增，∴函数f(x)的单调递增区间为(4，＋∞).2.函数f(x)＝|x－2|x的单调递减区间是(　　)A.[1,2]  B．[－1,0]C.[0,2]  D．[2，＋∞)答案　A解析　f(x)＝|x－2|x＝作出此函数的图象如下．观察图象可知，f(x)＝|x－2|x的单调递减区间是[1,2]．条件探究　将本例中“f(x)＝|x－2|x”改为“f(x)＝x2－2|x|”，则f(x)的单调递减区间是________，单调递增区间是________．答案　(－∞，－1]和(0,1]　(－1,0]和(1，＋∞)解析　f(x)＝x2－2|x|＝作出此函数的图象如图，观察图象可知，此函数的单调递减区间是(－∞，－1]和(0,1]；单调递增区间是(－1,0]和(1，＋∞).3.试讨论函数f(x)＝(a≠0)在(－1,1)上的单调性．解　解法一：设－1<x1<x2<1，f(x)＝a·＝a，则f(x1)－f(x2)＝a－a＝.由于－1<x1<x2<1，所以x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0，故当a>0时，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，函数f(x)在(－1,1)上单调递减；当a<0时，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，函数f(x)在(－1,1)上单调递增．解法二：f′(x)＝＝＝－.当a>0时，f′(x)<0，函数f(x)在(－1,1)上单调递减；当a<0时，f′(x)>0，函数f(x)在(－1,1)上单调递增.1.确定函数单调性(区间)的三种常用方法(1)定义法：一般步骤：①任取x1，x2∈D，且x1<x2；②作差f(x1)－f(x2)；③变形(通常是因式分解和配方)；④定号(即判断f(x1)－f(x2)的正负)；⑤下结论(即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性)．如举例说明3可用此法．(2)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，则可由图象的直观性确定它的单调性．如举例说明2.(3)导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调性．如举例说明3可用此法.2.熟记函数单调性的三个常用结论(1)若f(x)，g(x)均是区间A上的增(减)函数，则f(x)＋g(x)也是区间A上的增(减)函数；(2)若k>0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k<0，则kf(x)与f(x)单调性相反；(3)复合函数单调性的确定方法：若两个简单函数的单调性相同，则这两个函数的复合函数为增函数；若两个简单函数的单调性相反，则这两个函数的复合函数为减函数，简称“同增异减”．如举例说明1. 1.若函数f(x)＝ax＋1在R上递减，则函数g(x)＝a(x2－4x＋3)的增区间是(　　)A.(2，＋∞)  B．(－∞，2)C.(4，＋∞)  D．(－∞，4)答案　B解析　因为函数f(x)＝ax＋1在R上递减，所以a<0，所以g(x)＝a(x2－4x＋3)＝a[(x－2)2－1]的增区间是(－∞，2).2.函数f(x)＝的单调递减区间是________．答案　[3,6]解析　由6x－x2≥0得0≤x≤6，故函数f(x)的定义域为[0,6]，再利用二次函数的性质可得函数f(x)的单调递减区间是[3,6].3.用定义法证明：f(x)＝log2(x－2)在(2，＋∞)上单调递增．证明　∀x1，x2∈(2，＋∞)且x1＜x2，f(x1)－f(x2)＝log2(x1－2)－log2(x2－2)＝log2.又由2＜x1＜x2，得0＜＜1.所以log2＜0，即f(x1)－f(x2)＜0.所以f(x1)＜f(x2)．所以函数f(x)在区间(2，＋∞)上单调递增.题型 二　求函数的最值(值域)　1.函数f(x)＝－x＋在上的最大值是(　　)A.  B．－  C．－2  D．2答案　A解析　因为函数f(x)＝－x＋在上是减函数，所以f(x)max＝f(－2)＝2－＝.2.函数y＝x－的最小值为________．答案　解析　令t＝，则t≥0且x＝t2＋1，所以y＝t2＋1－t＝2＋，t≥0，所以当t＝时，ymin＝.条件探究　将本例中“y＝x－”改为“y＝x＋”，则函数y＝x＋的最小值为________．答案　－1解析　由1－x2≥0可得－1≤x≤1.可令x＝cosθ，θ∈[0，π]，则y＝cosθ＋sinθ＝sin，θ∈[0，π]，所以－1≤y≤，故所求函数的最小值是－1.3.对a，b∈R，记max{a，b}＝函数f(x)＝max{|x＋1|，|x－2|}(x∈R)的最小值是________．答案　解析　由|x＋1|≥|x－2|，得(x＋1)2≥(x－2)2.所以x≥.所以f(x)＝其图象如图所示．由图象易知，当x＝时，函数有最小值，所以f(x)min＝f＝＝.4.函数f(x)＝的值域为________．答案　(－2020,2)解析　解法一：f(x)＝＝＝2－，因为ax＞0，所以ax＋1＞1，所以0＜＜2022，所以－2020＜2－＜2，故函数f(x)的值域为(－2020,2)．解法二：令y＝f(x)＝，得y·ax＋y＝2ax－2020，所以(y－2)ax＝－y－2020，ax＝－，由ax＞0得＜0，故－2020＜y＜2，所以函数f(x)＝的值域为(－2020,2).求函数的最值(值域)的常用方法(1)单调性法：若所给函数为单调函数，可根据函数的单调性求最值．如举例说明1.(2)换元法：求形如y＝＋(cx＋d)(ac≠0)的函数的值域或最值，常用代数换元法、三角换元法结合题目条件将原函数转化为熟悉的函数，再利用函数的相关性质求解．如举例说明2.(3)数形结合法：若函数解析式的几何意义较明显(如距离、斜率等)或函数图象易作出，可用数形结合法求函数的值域或最值．如举例说明3.(4)有界性法：利用代数式的有界性(如x2≥0，≥0，2x>0，－1≤sinx≤1等)确定函数的值域．如举例说明4可用此法．(5)分离常数法：形如求y＝(ac≠0)的函数的值域或最值常用分离常数法求解．如举例说明4可用此法．另外，基本不等式法、导数法求函数值域或最值也是常用方法，在后面章节中有重点讲述．1.(2019·厦门质检)函数f(x)＝x－log2(x＋2)在区间[－1,1]上的最大值为________．答案　3解析　由于y＝x在R上单调递减，y＝log2(x＋2)在[－1,1]上单调递增，所以f(x)在[－1,1]上单调递减，故f(x)在[－1,1]上的最大值为f(－1)＝3.2.函数y＝的值域为________．答案　{y|y∈R且y≠3}解析　y＝＝＝3＋，因为≠0，所以3＋≠3，所以函数y＝的值域为{y|y∈R且y≠3}.3.函数y＝|x＋1|＋|x－2|的值域为________．答案　[3，＋∞)解析　函数y＝作出函数的图象如图所示．根据图象可知，函数y＝|x＋1|＋|x－2|的值域为[3，＋∞).题型 三　函数单调性的应用　角度1　比较函数值的大小1.(2019·郑州模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，且函数f(x)在(－∞，0)上是减函数，若a＝f(－1)，b＝f，c＝f(20.3)，则a，b，c的大小关系为(　　)A.c＜b＜a  B．a＜c＜b  C．b＜c＜a  D．a＜b＜c答案　B解析　∵函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，∴c＝f(20.3)＝f(－20.3)．∵1＜20.3＜2，∴－1＞－20.3＞－2，即－1＞－20.3＞log2.∵函数f(x)在(－∞，0)上是减函数，∴f(－1)＜f(－20.3)＜f，即a＜c＜b.角度2　解不等式2.已知函数f(x)＝则不等式f(1－x2)>f(2x)的x的取值范围是(　　)A.(0，－1)  B．(－1，＋1)C.(0，＋1)  D．(－1，－1)答案　D解析　作出函数f(x)的图象如图所示．则不等式f(1－x2)>f(2x)等价于或解得－1<x<－1.角度3　求参数的值或取值范围3.已知函数f(x)＝对于任意x1≠x2都有<0成立，则实数a的取值范围是(　　)A.(1,3]  B．(1,3)  C．(1,2]  D．(1,2)答案　C解析　根据题意，由<0，易知函数f(x)为R上的单调递减函数，则解得1<a≤2.故选C.函数单调性应用问题的常见类型及解题策略(1)比较大小．如举例说明1.(2)解不等式．利用函数的单调性将“f”符号脱掉，转化为具体的不等式求解，应注意函数的定义域．如举例说明2.(3)利用单调性求参数①依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较；②需注意：若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的；③分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．如举例说明3.1.(2019·广州模拟)已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，且当x∈[－2,1]时，f(x)＝x2－2x－4，则关于x的不等式f(x)<－1的解集为(　　)A.(－∞，－1)  B．(－∞，3)C.(－1,3)  D．(－1，＋∞)答案　D解析　因为f(－1)＝－1，所以f(x)＜－1，等价于f(x)＜f(－1)．又函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减．所以x＞－1，所以关于x的不等式f(x)＜－1的解集为(－1，＋∞).2.(2020·贵阳市高三摸底)函数y＝在(－1，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是(　　)A.a＝－3  B．a<3C.a≤－3  D．a≥－3答案　C解析　y＝＝＝1＋，所以当a－3<0时，y＝的单调递增区间是(－∞，a＋2)，(a＋2，＋∞)；当a－3≥0时不符合题意．又y＝在(－1，＋∞)上单调递增，所以(－1，＋∞)⊆(a＋2，＋∞)，所以a＋2≤－1，即a≤－3，综上知，a的取值范围是(－∞，－3].3.已知f(x)＝2x－2－x，a＝－，b＝，c＝log2，则f(a)，f(b)，f(c)的大小顺序为(　　)A.f(b)<f(a)<f(c)  B．f(c)<f(b)<f(a)C.f(c)<f(a)<f(b)  D．f(b)<f(c)<f(a)答案　B解析　a＝－＝>>1，c＝log2<0，所以c<b<a.因为f(x)＝2x－2－x＝2x－x在R上单调递增，所以f(c)<f(b)<f(a).  对应学生用书P223　组　基础关1.(2020·河北大名一中月考)下列函数中，满足“f(x＋y)＝f(x)f(y)”的单调递增函数是(　　)A.f(x)＝x  B．f(x)＝x3C.f(x)＝x  D．f(x)＝3x答案　D解析　f(x)＝x，f(y)＝y，f(x＋y)＝(x＋y)，不满足f(x＋y)＝f(x)f(y)，故A错误；f(x)＝x3，f(y)＝y3，f(x＋y)＝(x＋y)3，不满足f(x＋y)＝f(x)f(y)，故B错误；f(x)＝x在R上是单调递减函数，故C错误；f(x)＝3x，f(y)＝3y，f(x＋y)＝3x＋y，满足f(x＋y)＝f(x)f(y)，且f(x)在R上是单调递增函数，故D正确．故选D.2.函数y＝2x2－3x＋1的单调递增区间为(　　)A.(1，＋∞)  B.C.  D.答案　B解析　令μ＝2x2－3x＋1＝22－，因为μ＝22－在上单调递减，函数y＝μ在R上单调递减．所以y＝2x2－3x＋1在上单调递增.3.已知f(x)在R上是减函数，a，b∈R且a＋b≤0，则下列结论正确的是(　　)A.f(a)＋f(b)≤－[f(a)＋f(b)]B.f(a)＋f(b)≤f(－a)＋f(－b)C.f(a)＋f(b)≥－[f(a)＋f(b)]D.f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)答案　D解析　a＋b≤0可转化为a≤－b或b≤－a，由于函数f(x)在R上是减函数，所以f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)，两式相加得f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b).4.已知函数f(x)的图象向左平移1个单位后关于y轴对称，当x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0恒成立，设a＝f，b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为(　　)A.c>a>b  B．c>b>aC.a>c>b  D．b>a>c答案　D解析　根据已知可得函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，且在(1，＋∞)上是减函数，所以a＝f＝f，且2<<3，所以b>a>c.5.(2020·河南鹤壁高中月考)若函数y＝ax与y＝－在(0，＋∞)上都是减函数，则y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上是 (　　)A.增函数  B．减函数C.先增后减  D．先减后增答案　B解析　∵y＝ax与y＝－在(0，＋∞)上都是减函数，∴a<0，b<0，∴y＝ax2＋bx的对称轴方程x＝－<0，∴y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上为减函数.6.(2019·兰州模拟)函数f(x)＝2|x－a|＋3在区间[1，＋∞)上不单调，则a的取值范围是(　　)A.[1，＋∞)  B．(1，＋∞)C.(－∞，1)  D．(－∞，1]答案　B解析　函数f(x)＝2|x－a|＋3的增区间为[a，＋∞)，减区间为(－∞，a]，若函数f(x)＝2|x－a|＋3在区间[1，＋∞)上不单调，则a>1.7.(2019·广东茂名二联)设函数f(x)在R上为增函数，则下列结论一定正确的是(　　)A.y＝在R上为减函数B.y＝|f(x)|在R上为增函数C.y＝2－f(x)在R上为减函数D.y＝－[f(x)]3在R上为增函数答案　C解析　A错误，比如f(x)＝x在R上为增函数，但y＝＝在R上不具有单调性；B错误，比如f(x)＝x在R上为增函数，但y＝|f(x)|＝|x|在(0，＋∞)上为增函数，在(－∞，0)上为减函数；D错误，比如f(x)＝x在R上为增函数，但y＝－[f(x)]3＝－x3在R上为减函数；C正确，由复合函数同增异减，得y＝2－f(x)在R上为减函数．故选C.8.已知函数f(x)＝－(a＞0，x＞0)，若f(x)在上的值域为，则a＝________.答案　解析　由反比例函数的性质知函数f(x)＝－(a＞0，x＞0)在上单调递增，所以即解得a＝.9.已知函数f(x)＝ln x＋x，若f(a2－a)>f(a＋3)，则正数a的取值范围是________．答案　(3，＋∞)解析　∵函数f(x)＝ln x＋x的定义域为(0，＋∞)，且为单调递增函数，∴f(a2－a)>f(a＋3)同解于解得a>3.所以正数a的取值范围是(3，＋∞).10.已知函数f(x)＝(m≠1)在区间(0,1]上是减函数，则实数m的取值范围是________．答案　(－∞，0)∪(1,4]解析　由题意可得4－mx≥0，x∈(0,1]恒成立，所以m≤min＝4.当0<m≤4时，4－mx单调递减，所以m－1>0，解得1<m≤4.当m<0时，4－mx单调递增，所以m－1<0，解得m<1，所以m<0.故实数m的取值范围是(－∞，0)∪(1,4].　组　能力关1.(2019·安徽合肥模拟)若2x＋5y≤2－y＋5－x，则有(　　)A.x＋y≥0  B．x＋y≤0  C．x－y≤0  D．x－y≥0答案　B解析　原不等式可化为2x－5－x≤2－y－5y，记函数f(x)＝2x－5－x，则原不等式可化为f(x)≤f(－y)．又函数f(x)在R上单调递增，所以x≤－y，即x＋y≤0.2.已知函数f(x)＝若f(2)＝4，且函数f(x)存在最小值，则实数a的取值范围为(　　)A.(1，]  B．(1,2]C.  D．[，＋∞)答案　A解析　因为f(2)＝2m＋8＝4，所以m＝－2，所以当x≤3时，f(x)＝－2x＋8.此时f(x)≥f(3)＝2.因为函数f(x)存在最小值，所以当x>3时，f(x)单调递增，且loga3≥2，所以即解得a∈(1，].3.(2019·郑州模拟)设函数f(x)＝g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的单调递减区间是________．答案　[0,1)解析　∵函数f(x)＝g(x)＝x2f(x－1)，∴当x＞1时，即x－1＞0，g(x)＝x2；当x＝1时，x－1＝0，g(x)＝0；当x＜1时，x－1＜0，g(x)＝－x2；∴g(x)＝画出函数g(x)的图象，如图所示．根据图象得出，函数g(x)的单调递减区间是[0,1).4.(2020·河北模拟调研)已知函数f(x)＝loga(－x＋1)(a>0，且a≠1)在[－2,0]上的值域是[－1,0]，则实数a＝________；若函数g(x)＝ax＋m－3的图象不经过第一象限，则实数m的取值范围为________．答案　　[－1，＋∞)解析　函数f(x)＝loga(－x＋1)(a>0，且a≠1)在[－2，0]上的值域是[－1,0]．当a>1时，f(x)＝loga(－x＋1)在[－2,0]上单调递减，∴无解；当0<a<1时，f(x)＝loga(－x＋1)在[－2,0]上单调递增，∴解得a＝.∵g(x)＝x＋m－3的图象不经过第一象限，∴g(0)＝m－3≤0，解得m≥－1，即实数m的取值范围是[－1，＋∞).5.已知f(x)＝(x≠a)．(1)若a＝－2，证明：f(x)在(－∞，－2)上单调递增；(2)若a>0且f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求a的取值范围．解　(1)证明：当a＝－2时，f(x)＝.设x1<x2<－2，则f(x1)－f(x2)＝－＝.因为(x1＋2)(x2＋2)>0，x1－x2<0，所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，所以f(x)在(－∞，－2)上单调递增．(2)设1<x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝－＝.因为a>0，x2－x1>0，所以要使f(x1)－f(x2)>0，只需(x1－a)(x2－a)>0恒成立，所以a≤1.综上所述，0<a≤1.6.已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足f＝f(x1)－f(x2)，且当x>1时，f(x)<0.(1)证明：f(x)为单调递减函数；(2)若f(3)＝－1，求f(x)在[2,9]上的最小值．解　(1)证明：任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1>x2，则>1，由于当x>1时，f(x)<0，所以f<0，即f(x1)－f(x2)<0，因此f(x1)<f(x2)，所以函数f(x)在区间(0，＋∞)上是单调递减函数．(2)因为f(x)在(0，＋∞)上是单调递减函数，所以f(x)在[2,9]上的最小值为f(9)．由f＝f(x1)－f(x2)得，f＝f(9)－f(3)，而f(3)＝－1，所以f(9)＝－2.所以f(x)在[2,9]上的最小值为－2.