2020版新一线高考理科数学（北师大版）一轮复习教学案：第8章第5节第2课时直线与椭圆的位置关系

第2课时　直线与椭圆的位置关系

直线与椭圆的位置关系

1．若直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1总有公共点，则m的取值范围是(　　)

A．m＞1　　　　　　　 B．m＞0

C．0＜m＜5且m≠1   D．m≥1且m≠5

D　[∵直线y＝kx＋1恒过定点(0,1)，

∴要使直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1总有公共点，

只需＋≤1，即m≥1，又m≠5，故m的取值范围为m≥1且m≠5，故选D．]

2．已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＋＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：

(1)有两个不重合的公共点；

(2)有且只有一个公共点；

(3)没有公共点．

[解]　将直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组

将①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0.③

方程③根的判别式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.

(1)当Δ＞0，即－3＜m＜3时，方程③有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个不重合的公共点．

(2)当Δ＝0，即m＝±3时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点，即直线l与椭圆C有且只有一个公共点．

(3)当Δ＜0，即m＜－3或m＞3时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解．这时直线l与椭圆C没有公共点．

弦长及中点弦问题

►考法1　中点弦问题

【例1】　(1)过椭圆＋＝1内一点P(3,1)，且被点P平分的弦所在直线的方程是(　　)

A．4x＋3y－13＝0   B．3x＋4y－13＝0

C．4x－3y＋5＝0   D．3x－4y＋5＝0

(2)已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为(　　)

A.＋＝1   B．＋＝1

C.＋＝1   D．＋＝1

(1)B　(2)D　[(1)设所求直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，

由题意得

①－②得＋＝0，

又P(3,1)是A，B的中点．

∴x1＋x2＝6，y1＋y2＝2，

∴kAB＝＝－.

故直线AB的方程为y－1＝－(x－3)，

即3x＋4y－13＝0，故选B．

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意可得

①－②得＋＝0.

又AB的中点为(1，－1)，∴x1＋x2＝2，y1＋y2＝－2，

∴＝＝＝，

又右焦点为F(3,0)，∴a2－b2＝9，∴a2＝18，b2＝9，

即所求椭圆方程为＋＝1，故选D．]

►考法2　弦长问题

【例2】　如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，过椭圆右焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD．当直线AB斜率为0时，|AB|＝4.

(1)求椭圆的方程；

(2)若|AB|＋|CD|＝，求直线AB的方程．

[解]　(1)由题意知e＝＝，2a＝4.

又a2＝b2＋c2，解得a＝2，b＝，

所以椭圆方程为＋＝1.

(2)①当两条弦中一条弦所在直线的斜率为0时，另一条弦所在直线的斜率不存在，由题意知|AB|＋|CD|＝7，不满足条件．

②当两弦所在直线的斜率均存在且不为0时，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则直线CD的方程为y＝－(x－1)．

将直线AB方程代入椭圆方程中并整理得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，则x1＋x2＝，x1·x2＝，

所以|AB|＝|x1－x2|

＝·＝.

同理，|CD|＝＝.

所以|AB|＋|CD|＝＋

＝＝，

解得k＝±1，

所以直线AB的方程为x－y－1＝0或x＋y－1＝0.

设F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N.

(1)若直线MN的斜率为，求C的离心率；

(2)若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|＝5|F1N|，求a，B．

[解]　(1)根据c＝及题设知M，2b2＝3ac.

将b2＝a2－c2代入2b2＝3ac，解得＝或＝－2(舍去)．故C的离心率为.

(2)由题意，原点O为F1F2的中点，MF2∥y轴，

所以直线MF1与y轴的交点D(0,2)是线段MF1的中点，故＝4，即b2＝4a.①

由|MN|＝5|F1N|得|DF1|＝2|F1N|.

设N(x1，y1)，由题意知y1＜0，

则即

代入C的方程，得＋＝1.②

将①及c＝代入②得＋＝1.

解得a＝7，b2＝4a＝28，

故a＝7，b＝2.

　(2016·全国卷Ⅱ)已知椭圆E：＋＝1的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为k(k>0)的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA.

(1)当t＝4，|AM|＝|AN|时，求△AMN的面积；

(2)当2|AM|＝|AN|时，求k的取值范围．

[解]　(1)设M(x1，y1)，则由题意知y1>0.

当t＝4时，E的方程为＋＝1，A(－2,0)．

由已知及椭圆的对称性知，直线AM的倾斜角为.

因此直线AM的方程为y＝x＋2.

将x＝y－2代入＋＝1得7y2－12y＝0.

解得y＝0或y＝，所以y1＝.

因此△AMN的面积S△AMN＝2×××＝.

(2)由题意知t＞3，k＞0，A(－，0)．

将直线AM的方程y＝k(x＋)代入＋＝1得

(3＋tk2)x2＋2·tk2x＋t2k2－3t＝0.

由x1·(－)＝得x1＝，

故|AM|＝|x1＋|＝.

由题设知，直线AN的方程为y＝－(x＋)，

故同理可得|AN|＝.

由2|AM|＝|AN|得＝，

即(k3－2)t＝3k(2k－1)．

当k＝时上式不成立，因此t＝.

t＞3等价于＝＜0，

即＜0.

由此得或解得＜k＜2.

因此k的取值范围是(，2)．