2020版新一线高考理科数学（北师大版）一轮复习教学案：第8章第2节两条直线的位置关

第二节　两条直线的位置关系

[考纲传真]　1.能根据两条直线的斜率判断这两条直线平行或垂直.2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两平行直线间的距离．

1．两条直线平行与垂直的判定

(1)两条直线平行

①对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2.

②当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2.

(2)两条直线垂直

①如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.

②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2.

2．两条直线的交点的求法

直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)，则l1与l2的交点坐标就是方程组的解．

3．三种距离公式

(1)平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝.

(2)点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝.

(3)两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离为d＝.

1．与直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)垂直或平行的直线系方程可分别设为：

(1)垂直：Bx－Ay＋m＝0；

(2)平行：Ax＋By＋n＝0.

2．与对称问题相关的两个结论

(1)点P(x0，y0)关于点A(a，b)的对称点为P′(2a－x0,2b－y0)．

(2)设点P(x0，y0)关于直线y＝kx＋b的对称点为P′(x′，y′)，则有可求出x′，y′.

[基础自测]

1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2. (　　)

(2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1. (　　)

(3)点P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离为. (　　)

(4)已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)，若直线l1⊥l2，则A1A2＋B1B2＝0. (　　)

[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√

2．(教材改编)直线l过点(－1,2)且与直线2x－3y＋4＝0垂直，则直线l的方程是(　　)

A．3x＋2y－1＝0

B．3x＋2y＋7＝0

C．2x－3y＋5＝0

D．2x－3y＋8＝0

A　[设l的方程为3x＋2y＋m＝0，

又直线l过点(－1,2)，则

－3＋4＋m＝0，∴m＝－1.

∴l的方程为3x＋2y－1＝0，故选A.]

3．(教材改编)已知点(a,2)(a>0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a等于(　　)

A.　　　　　　　 B．2－

C.－1   D．＋1

C　[由题意得＝1，即|a＋1|＝，

又a>0，∴a＝－1.]

4．(教材改编)过两直线l1：x－3y＋4＝0和l2：2x＋y＋5＝0的交点和原点的直线方程为________．

3x＋19y＝0　[由得

故过点(0,0)和的直线方程为3x＋19y＝0.]

5．已知直线3x＋4y－3＝0与直线6x＋my＋14＝0平行，则它们之间的距离是________．

2　[由两直线平行可知＝，即m＝8.

∴两直线方程分别为3x＋4y－3＝0和3x＋4y＋7＝0，

则它们之间的距离d＝＝2.]

两条直线的位置关系

1．设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的(　　)

A．充分不必要条件　　　 B．必要不充分条件

C．充要条件   D．既不充分也不必要条件

A　[当a＝1时，显然l1∥l2，

若l1∥l2，则a(a＋1)－2×1＝0，

所以a＝1或a＝－2.

所以a＝1是直线l1与直线l2平行的充分不必要条件．]

2．若直线l1：(a－1)x＋y－1＝0和直线l2：3x＋ay＋2＝0垂直，则实数a的值为(　　)

A.   B．

C.   D．

D　[由已知得3(a－1)＋a＝0，解得a＝.]

3．已知三条直线l1：2x－3y＋1＝0，l2：4x＋3y＋5＝0，l3：mx－y－1＝0不能构成三角形，则实数m的取值集合为(　　)

A.   B．

C.   D．

D　[∵三条直线不能围成一个三角形，

∴①当l1∥l3时，m＝；

②当l2∥l3时，m＝－；

③当l1，l2，l3交于一点时，也不能围成一个三角形，

由得交点为，代入mx－y－1＝0，得m＝－.故选D．]

两条直线的交点与距离问题

【例1】　 (1)若点P是曲线y＝x2－ln x上任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小距离为(　　)

A.   B．1

C.   D．2

 (2)直线l过点P(－1,2)且到点A(2,3)和点B(－4,5)的距离相等，则直线l的方程为________．

(1)C　(2)x＋3y－5＝0或x＝－1　[(1)因为点P是曲线y＝x2－ln x上任意一点，所以当点P处的切线和直线y＝x－2平行时，点P到直线y＝x－2的距离最小．因为直线y＝x－2的斜率等于1，曲线y＝x2－ln x的导数y′＝2x－，令y′＝1，可得x＝1或x＝－(舍去)，所以在曲线y＝x2－ln x上与直线y＝x－2平行的切线经过的切点坐标为(1,1)，所以点P到直线y＝x－2的最小距离为，故选C.

(2)法一：当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0.

由题意知＝，

即|3k－1|＝|－3k－3|，∴k＝－，

∴直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，即x＋3y－5＝0.

当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－1，也符合题意．

法二：当AB∥l时，有k＝kAB＝－，直线l的方程为

y－2＝－(x＋1)，即x＋3y－5＝0.

当l过AB中点时，AB的中点为(－1,4)，

∴直线l的方程为x＝－1.

故所求直线l的方程为x＋3y－5＝0或x＝－1.]

(1)经过两条直线l1：x＋y－4＝0和l2：x－y＋2＝0的交点，且与直线2x－y－1＝0垂直的直线方程为________．

(2)若动点A，B分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为(　　)

A．3   B．2

C．3   D．4

(1)x＋2y－7＝0　(2)A　[(1)由得

∴l1与l2的交点坐标为(1,3)．

设与直线2x－y－1＝0垂直的直线方程为x＋2y＋c＝0，

则1＋2×3＋c＝0，∴c＝－7.

∴所求直线方程为x＋2y－7＝0.

(2)依题意知AB的中点M的集合为与直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0距离都相等的直线，则M到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离．设点M所在直线的方程为l：x＋y＋m＝0，根据平行线间的距离公式得＝⇒|m＋7|＝|m＋5|⇒m＝－6，即l：x＋y－6＝0.根据点到直线的距离公式，得M到原点的距离的最小值为＝3.]

对称问题

【例2】　已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．求：

(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标；

(2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程；

(3)直线l关于点A对称的直线l′的方程．

[解]　(1)设A′(x，y)，

则解得即A′.

(2)在直线m上取一点，如M(2,0)，则M(2,0)关于直线l的对称点必在m′上．

设对称点为M′(a，b)，则

解得即M′.

设m与l的交点为N，则由得N(4,3)．

又m′经过点N(4,3)，

∴由两点式得直线m′的方程为9x－46y＋102＝0.

(3)法一：在l：2x－3y＋1＝0上任取两点，如P(1,1)，N(4,3)，则P，N关于点A的对称点P′，N′均在直线l′上．

易知P′(－3，－5)，N′(－6，－7)，由两点式可得l′的方程为2x－3y－9＝0.

法二：设Q(x，y)为l′上任意一点，

则Q(x，y)关于点A(－1，－2)的对称点为Q′(－2－x，－4－y)，

∵Q′在直线l上，∴2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，

即2x－3y－9＝0.

(1)已知直线y＝2x是△ABC中角C的平分线所在的直线，若点A，B的坐标分别是(－4,2)，(3,1)，则点C的坐标为(　　)

A．(－2,4)   B．(－2，－4)

C．(2,4)   D．(2，－4)

(2)已知入射光线经过点M(－3,4)，被直线l：x－y＋3＝0反射，反射光线经过点N(2,6)，则反射光线所在直线的方程为________．

(1)C　(2)6x－y－6＝0　[(1)设A(－4,2)关于直线y＝2x的对称点为(x，y)，则

解得∴BC所在直线方程为y－1＝(x－3)，即3x＋y－10＝0.联立解得则C(2,4)．

(2)设点M(－3,4)关于直线l：x－y＋3＝0的对称点为M′(a，b)，则反射光线所在直线过点M′，

所以解得a＝1，b＝0.即M ′(1,0)．

又反射光线经过点N(2,6)，

所以所求直线的方程为＝，

即6x－y－6＝0.]