2020版新一线高考文科数学（北师大版）一轮复习教学案：第8章第5节 椭 圆
展开第五节 椭 圆
[考纲传真] 1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质．
1．椭圆的定义
(1)我们把平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合叫作椭圆．这两定点F1，F2叫作椭圆的焦点，两个焦点F1，F2间的距离叫作椭圆的焦距．
(2)集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a＞0，c＞0.
①当2a＞|F1F2|时，M点的轨迹为椭圆；
②当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹为线段F1F2；
③当2a＜|F1F2|时，M点的轨迹不存在．
2．椭圆的标准方程和几何性质
标准方程 | ＋＝1(a>b>0) | ＋＝1(a>b>0) | |
图形 | |||
性质 | 范围 | －a≤x≤a， －b≤y≤b | －b≤x≤b， －a≤y≤a |
对称性 | 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 | ||
顶点 | A1(－a,0)，A2(a,0)， B1(0，－b)，B2(0，b) | A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b,0)，B2(b,0) | |
离心率 | e＝，且e∈(0,1) | ||
a，b，c 的关系 | c2＝a2－b2 | ||
与椭圆定义有关的结论
以椭圆＋＝1(a>b>0)上一点P(x0，y0)(y0≠0)和焦点F1(－c,0)，F2(c,0)为顶点的△PF1F2中，若∠F1PF2＝θ，则
(1)|PF1|＋|PF2|＝2a.
(2)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos θ.
(3)S＝|PF1||PF2|·sin θ，当|y0|＝b，即P为短轴端点时，S取最大值，为bc.
(4)焦点三角形的周长为2(a＋c)．
(5)已知过焦点F1的弦AB，则△ABF2的周长为4a.
[基础自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆． ( )
(2)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成△PF1F2的周长为2a＋2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距)． ( )
(3)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆． ( )
(4)方程mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)表示的曲线是椭圆． ( )
[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√
2．(教材改编)设P是椭圆＋＝1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于( )
A．4 B．5 C．8 D．10
D [依椭圆的定义知：|PF1|＋|PF2|＝2×5＝10.]
3．若方程＋＝1表示椭圆，则m的取值范围是( )
A．(－3,5) B．(－5,3)
C．(－3,1)∪(1,5) D．(－5,1)∪(1,3)
C [由方程表示椭圆知
解得－3<m<5且m≠1.]
4．已知椭圆＋＝1(m>0)的左焦点为F1(－4,0)，则m＝( )
A．2 B．3 C．4 D．9
B [由左焦点为F1(－4,0)知c＝4.又a＝5，∴25－m2＝16，解得m＝3或－3.又m>0，故m＝3.]
5．(教材改编)已知椭圆的一个焦点为F(1,0)，离心率为，则椭圆的标准方程为________．
＋＝1 [设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．因为椭圆的一个焦点为F(1,0)，离心率e＝，所以解得故椭圆的标准方程为＋＝1.]
椭圆的定义与标准方程 |
1．已知△ABC的顶点B，C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是( )
A．2 B．6 C．4 D．12
C [由椭圆的方程得a＝.设椭圆的另一个焦点为F，则由椭圆的定义得|BA|＋|BF|＝|CA|＋|CF|＝2a，所以△ABC的周长为|BA|＋|BC|＋|CA|＝|BA|＋|BF|＋|CF|＋|CA|＝(|BA|＋|BF|)＋(|CF|＋|CA|)＝2a＋2a＝4a＝4.]
2．(2019·济南调研)已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为( )
A.－＝1 B.＋＝1
C．－＝1 D．＋＝1
D [设圆M的半径为r，则|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16>8＝|C1C2|，所以M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，且 2a＝16,2c＝8，故所求的轨迹方程为＋＝1.]
3．(2019·徐州模拟)已知F1、F2是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且PF1⊥PF2，若△PF1F2的面积为9，则b＝________.
3 [设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，则 所以2r1r2＝(r1＋r2)2－(r＋r)＝4a2－4c2＝4b2，所以S＝r1r2＝b2＝9，所以b＝3.]
4．已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点，(，)，则椭圆方程为________．
＋＝1 [设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m，n>0，m≠n)．由解得m＝，n＝.
∴椭圆方程为＋＝1.]
[规律方法] 1.椭圆定义的应用技巧
(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等．
(2)通常定义和余弦定理结合使用，求解关于焦点三角形的周长和面积问题．
2．求椭圆标准方程的常用方法
(1)求椭圆的标准方程多采用定义法和待定系数法．
(2)利用定义法求椭圆方程，要注意条件2a>|F1F2|；利用待定系数法要先定形(焦点位置)，再定量，也可把椭圆方程设为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)的形式．
椭圆的几何性质 |
►考法1 求离心率的值或取值范围
【例1】 (1)(2017·浙江高考)椭圆＋＝1的离心率是( )
A. B. C． D．
(2)若椭圆上存在点P，使得点P到两个焦点的距离之比为2∶1，则此椭圆离心率的取值范围是( )
A. B. C． D．
(1)B (2)D [(1)∵椭圆方程为＋＝1，
∴a＝3，c＝＝＝.
∴e＝＝.
故选B.
(2)设P到两个焦点的距离分别为2k，k，根据椭圆定义可知：3k＝2a，又结合椭圆的性质可知，椭圆上的点到两个焦点距离之差的最大值为2c，即k≤2c，∴2a≤6c，即e≥.又∵0<e<1，∴≤e<1.]
►考法2 根据椭圆的性质求参数的取值范围问题
【例2】 (1)已知椭圆＋＝1的长轴在x轴上，焦距为4，则m等于( )
A．8 B．7 C．6 D．5
(2)(2019·合肥质检)如图，焦点在x轴上的椭圆＋＝1的离心率e＝，F，A分别是椭圆的一个焦点和顶点，P是椭圆上任意一点，则·的最大值为________．
(1)A (2)4 [(1)∵椭圆＋＝1的长轴在x轴上，∴解得6＜m＜10.∵焦距为4，
∴c2＝m－2－10＋m＝4，解得m＝8.
(2)由题意知a＝2，因为e＝＝，所以c＝1，b2＝a2－c2＝3.故椭圆方程为＋＝1.设P点坐标为(x0，y0)．所以－2≤x0≤2，－≤y0≤.因为F(－1,0)，A(2,0)，＝(－1－x0，－y0)，＝(2－x0，－y0)，所以·＝x－x0－2＋y＝x－x0＋1＝(x0－2)2. 当x0＝－2时，·取得最大值4.]
[规律方法] 1.求椭圆离心率的方法
(1)直接求出a，c的值，利用离心率公式直接求解．
(2)列出含有a，b，c的齐次方程或不等式，借助于b2＝a2－c2消去b，转化为含有e的方程或不等式求解．
2．利用椭圆几何性质求参数的值或范围的思路
求解与椭圆几何性质有关的参数问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系．建立关于a、b、c的方程或不等式．
(1) 已知F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，若椭圆C上存在点P，使得线段PF1的中垂线恰好经过焦点F2，则椭圆C离心率的取值范围是( )
A. B. C． D．
(2)已知焦点在x轴上的椭圆C：＋y2＝1(a>0)，过右焦点作垂直于x轴的直线交椭圆于A，B两点，且|AB|＝1，则该椭圆的离心率为________．
(1)C (2) [(1)如图所示，∵线段PF1的中垂线经过F2，∴|PF2|＝|F1F2|＝2c，
即椭圆上存在一点P，使得|PF2|＝2c，∴a－c≤2c≤a＋c.∴e＝∈.
(2)因为椭圆＋y2＝1(a>0)的焦点在x轴上，所以c＝，又过右焦点且垂直于x轴的直线为x＝c，将其代入椭圆方程中，得＋y2＝1，则y＝± ，又|AB|＝1，所以2＝1，得＝，所以该椭圆的离心率e＝＝(负值舍去)．]
直线与椭圆的位置关系 |
【例3】 已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＋＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：
(1)有两个不重合的公共点；
(2)有且只有一个公共点；
(3)没有公共点．
[解] 将直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组将①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0.③
方程③根的判别式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.
(1)当Δ>0，即－3<m<3时，方程③有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个不重合的公共点．
(2)当Δ＝0，即m＝±3时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点，即直线l与椭圆C有且只有一个公共点．
(3)当Δ<0，即m<－3或m>3时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解．这时直线l与椭圆C没有公共点．
[规律方法] 直线与椭圆的位置关系的类型及解题方法
(1)类型：一是判断位置关系；二是根据位置关系确定参数的取值范围．
(2)解题方法：一是联立方程，借助一元二次方程的判别式Δ来判断，二是借助几何性质来判断，如下面的跟踪训练．
直线y＝kx－1与椭圆＋＝1相切，则k，a的取值范围分别是( )
A．a∈(0,1)，k∈
B．a∈(0,1]，k∈
C．a∈(0,1)，k∈∪
D．a∈(0,1]，k∈
B [∵直线y＝kx－1是椭圆的切线，且过点(0，－1)，
∴点(0，－1)必在椭圆上或其外部，∴a∈(0,1]．
由方程组消去x，得
(a＋4k2)y2＋2ay＋a－4ak2＝0.
∵直线和椭圆相切，
∴Δ＝(2a)2－4(a＋4k2)(a－4ak2)
＝16ak2(a－1＋4k2)＝0，
∴k＝0或a＝1－4k2.
∵0＜a≤1，∴0＜1－4k2≤1，
∴k2＜，∴k∈]
1．(2018·全国卷Ⅰ)已知椭圆C：＋＝1的一个焦点为(2,0)，则C的离心率为( )
A. B. C． D．
C [不妨设a>0，因为椭圆C的一个焦点为(2,0)，所以c＝2，所以a2＝4＋4＝8，所以a＝2，所以椭圆C的离心率e＝＝.]
2．(2018·全国卷Ⅱ)已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点．若PF1⊥PF2，且∠PF2F1＝60°，则C的离心率为( )
A．1－ B．2－
C． D．－1
D [由题设知∠F1PF2＝90°，∠PF2F1＝60°，|F1F2|＝2c，所以|PF2|＝c，|PF1|＝c.由椭圆的定义得|PF1|＋|PF2|＝2a，即c＋c＝2a，所以(＋1)c＝2a，故椭圆C的离心率e＝＝＝－1.故选D．]
3．(2016·全国卷Ⅰ)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为( )
A. B. C． D．
B [不妨设直线l经过椭圆的一个顶点B(0，b)和一个焦点F(c,0)，则直线l的方程为＋＝1，即bx＋cy－bc＝0.由题意知＝×2b，解得＝，即e＝.故选B.]
4．(2017·全国卷Ⅰ)设A，B是椭圆C：＋＝1长轴的两个端点．若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取值范围是( )
A．(0,1]∪[9，＋∞) B．(0，]∪[9，＋∞)
C．(0,1]∪[4，＋∞) D．(0，]∪[4，＋∞)
A [法一：设焦点在x轴上，点M(x，y)．
过点M作x轴的垂线，交x轴于点N，
则N(x,0)．
故tan∠AMB＝tan(∠AMN＋∠BMN)
＝＝.
又tan∠AMB＝tan 120°＝－，
且由＋＝1可得x2＝3－，
则＝＝－.
解得|y|＝.
又0<|y|≤，即0＜≤，结合0＜m＜3解得0＜m≤1.
对于焦点在y轴上的情况，同理亦可得m≥9.
则m的取值范围是(0,1]∪[9，＋∞)．
故选A.
法二：当0<m<3时，焦点在x轴上，
要使C上存在点M满足∠AMB＝120°，
则≥tan 60°＝，即≥，
解得0<m≤1.
当m>3时，焦点在y轴上，
要使C上存在点M满足∠AMB＝120°，
则≥tan 60°＝，即≥，解得m≥9.
故m的取值范围为(0,1]∪[9，＋∞)．
故选A.]
