2020版高考数学（理）新创新一轮复习通用版讲义：第四章第六节简单的三角恒等变换

第六节简单的三角恒等变换
考点一三角函数式的化简[师生共研过关]
[典例精析]
化简：(1).
(2)sin2αsin2β＋cos2αcos2β－cos 2αcos 2β.
[解析]　(1)＝
＝＝4sin α.
(2)原式＝·＋·－cos 2αcos 2β＝＋－cos 2αcos 2β＝＋cos 2αcos 2β－cos 2αcos 2β＝.
[答案]　(1)4sin α　(2)
[解题技法]
1．三角函数式的化简要遵循“3看”原则

2．三角函数式化简的方法
弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．
在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函数式时，一般需要升次．

[过关训练]
1.·等于(　　)
A．－sin α　　　　　　 B．－cos α
C．sin α D．cos α
解析：选D　原式＝＝＝cos α.
2．化简：＝__________.
解析：原式＝
＝
＝＝＝cos 2x.
答案：cos 2x
考点二三角函数的求值[全析考法过关]
[考法全析]
考法(一)　给角求值
[例1]　[2sin 50°＋sin 10°(1＋tan 10°)]·＝________.
[解析]　原式＝·
sin 80°＝·cos 10°＝2[sin 50°·cos 10°＋sin 10°·cos(60°－10°)]
＝2sin(50°＋10°)＝2×＝.
[答案]　
考法(二)　给值求值
[例2]　已知cos＝，若＜x＜，则的值为________．
[解析]　由＜x＜，得＜x＋＜2π.
又cos＝，所以sin＝－，
所以cos x＝cos＝coscos＋sinsin＝×－×＝－，
从而sin x＝－，tan x＝7.
则＝
＝＝－.
[答案]　－
考法(三)　给值求角
[例3]　若sin 2α＝，sin(β－α)＝，且α∈，β∈，则α＋β的值是________．
[解析]　∵α∈，∴2α∈，
又sin 2α＝，∴2α∈，
∴cos 2α＝－且α∈，
又∵sin(β－α)＝，β∈，
∴β－α∈，∴cos(β－α)＝－，
∴cos(α＋β)＝cos[(β－α)＋2α]
＝cos(β－α)cos 2α－sin(β－α)sin 2α
＝×－×＝，
又α＋β∈，∴α＋β＝.
[答案]　
[规律探求]
看个性
考法(一)“给角求值”一般给出的角是非特殊角，要观察所给角与特殊角的关系，利用三角变换转化为求特殊角的三角函数值问题.
考法(二)“给值求值”即给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使相关角相同或具有某种关系.
考法(三)“给值求角”实质上可转化为“给值求值”，即通过求角的某个三角函数值来求角(注意角的范围)，在选取函数时，遵循以下原则：
(1)已知正切函数值，选正切函数．
(2)已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数．若角的范围是，选正、余弦函数皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦函数；若角的范围为，选正弦函数．
(3)谨记“给值求角”问题口诀

找共性
研究三角函数式的求值问题，解题的关键都是找出条件中的角与结论中的角的联系，依据函数名称的变换特点，选择合适的公式求解

[过关训练]
1．已知α为第二象限角，且tan α＋tan＝2tan αtan－2，则sin＝________.
解析：由已知可得tan＝－2，
∵α为第二象限角，
∴sin＝，cos＝－，
则sin＝－sin
＝－sin
＝cossin－sincos
＝－.
答案：－
2.＝________.(用数字作答)
解析：＝
＝＝＝.
答案：
3．已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tan β＝－，则2α－β的值为________．
解析：∵tan α＝tan[(α－β)＋β]
＝＝＝＞0，∴0＜α＜.
又∵tan 2α＝＝＝＞0，∴0＜2α＜，
∴tan(2α－β)＝＝＝1.
∵tan β＝－＜0，∴＜β＜π，－π＜2α－β＜0，
∴2α－β＝－.
答案：－
考点三三角恒等变换与三角函数的综合应用[师生共研过关]
[典例精析]
已知函数f(x)＝(2cos2x－1)sin 2x＋cos 4x.
(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递减区间；
(2)若α∈(0，π)，且f＝，求tan的值．
[解]　(1)∵f(x)＝(2cos2x－1)sin 2x＋cos 4x
＝cos 2xsin 2x＋cos 4x
＝(sin 4x＋cos 4x)
＝sin，
∴函数f(x)的最小正周期T＝.
令2kπ＋≤4x＋≤2kπ＋，k∈Z，
得＋≤x≤＋，k∈Z.
∴函数f(x)的单调递减区间为，k∈Z.
(2)∵f＝，∴sin＝1.
又α∈(0，π)，∴－＜α－＜，
∴α－＝，故α＝.
因此tan＝＝＝2－.
[解题技法]
解决三角恒等变换与三角函数综合问题的一般步骤
第一步：将f(x)化为asin x＋bcos x的形式；
第二步：构造f(x)＝·；
第三步：和角公式逆用，得f(x)＝sin(x＋φ)(其中φ为辅助角)；
第四步：利用f(x)＝sin(x＋φ)研究三角函数的性质；
第五步：反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范．
[过关训练]
已知函数f(x)＝sin＋cos.
(1)求函数f(x)在区间上的最值；
(2)若cos θ＝，θ∈，求f的值．
解：(1)由题意得f(x)＝sin＋cos
＝×
＝－sin.
因为x∈，所以x－∈，
所以sin∈，
所以－sin∈，
即函数f(x)在区间上的最大值为，
最小值为－.
(2)因为cos θ＝，θ∈，
所以sin θ＝－，所以sin 2θ＝2sin θcos θ＝－，
cos 2θ＝cos2θ－sin2θ＝－＝，
所以f＝－sin
＝－sin
＝－(sin 2θ－cos 2θ)
＝(cos 2θ－sin 2θ)
＝
＝.

一、题点全面练
1.的值为(　　)
A．1　　　　　　　　　　 B．－1
C. D．－
解析：选D　原式＝＝＝－.
2．(2019·成都模拟)已知tan α＝，tan＝，则m＝(　　)
A．－6或1 B．－1或6
C．6 D．1
解析：选A　由题意知，tan α＝，tan＝＝，则＝，∴m＝－6或1，故选A.
3．已知2tan αsin α＝3，α∈，则cos的值是(　　)
A．0 B.
C．1 D.
解析：选A　由2tan αsin α＝3，得＝3，
即2cos2α＋3cos α－2＝0，
∴cos α＝或cos α＝－2(舍去)．
∵－＜α＜0，∴α＝－，
∴cos＝cos＝0.
4．已知锐角α，β满足sin α＝，cos β＝，则α＋β等于(　　)
A. B.或
C. D．2kπ＋(k∈Z)
解析：选C　由sin α＝，cos β＝，且α，β为锐角，可知cos α＝，sin β＝，
故cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝，又0＜α＋β＜π，故α＋β＝.
5．已知sin α＝－，若＝2，则tan(α＋β)＝(　　)
A. B.
C．－ D．－
解析：选A　∵sin α＝－，α∈，∴cos α＝.
由＝2，得sin(α＋β)＝2cos[(α＋β)－α]，
即cos(α＋β)＝sin(α＋β)，故tan(α＋β)＝.
6．若α∈，且3cos 2α＝sin，则sin 2α的值为________．
解析：由3cos 2α＝sin，
得3(cos2α－sin2α)＝(cos α－sin α)，
又由α∈，可知cos α－sin α≠0，
于是3(cos α＋sin α)＝，
所以1＋2sin αcos α＝，
故sin 2α＝－.
答案：－
7．已知α∈，且2sin2α－sin αcos α－3cos2α＝0，则＝________.
解析：∵2sin2α－sin αcos α－3cos2α＝0，
∴(2sin α－3cos α)(sin α＋cos α)＝0，
又α∈，sin α＋cos α＞0，
∴2sin α＝3cos α，
又sin2α＋cos2α＝1，
∴cos α＝，sin α＝，
∴
＝
＝＝.
答案：
8．设α是第四象限角，若＝，则tan 2α＝__________.
解析：＝＝
＝cos 2α＋2cos2α＝4cos2α－1＝，
解得cos2α＝.
因为α是第四象限角，所以cos α＝，sin α＝－，
∴tan α＝－，tan 2α＝＝－.
答案：－
9．已知函数f(x)＝cos2x＋sin xcos x，x∈R.
(1)求f的值；
(2)若sin α＝，且α∈，求f.
解：(1)f＝cos2＋sincos
＝2＋×＝.
(2)因为f(x)＝cos2x＋sin xcos x＝＋sin 2x
＝＋(sin 2x＋cos 2x)＝＋sin，
所以f＝＋sin
＝＋sin＝＋.
又因为sin α＝，且α∈，
所以cos α＝－，
所以f＝＋
＝.
10．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点P(－3，)．
(1)求sin 2α－tan α的值；
(2)若函数f(x)＝cos(x－α)cos α－sin(x－α)sin α，求函数g(x)＝f－2f 2(x)在区间上的值域．
解：(1)∵角α的终边经过点P(－3，)，
∴sin α＝，cos α＝－，tan α＝－.
∴sin 2α－tan α＝2sin αcos α－tan α＝－＋＝－.
(2)∵f(x)＝cos(x－α)cos α－sin(x－α)sin α＝cos x，
∴g(x)＝cos－2cos2x＝sin 2x－1－cos 2x＝2sin－1.
∵0≤x≤，
∴－≤2x－≤.
∴－≤sin≤1，
∴－2≤2sin－1≤1，
故函数g(x)＝f－2f2(x)在区间上的值域是[－2,1]．
二、专项培优练
(一)易错专练——不丢怨枉分
1．(2019·武汉八校联考)已知3π≤θ≤4π，且 ＋＝，则θ＝(　　)
A.或 B.或
C.或 D.或
解析：选D　∵3π≤θ≤4π，∴≤≤2π，∴cos ≥0，sin≤0，则 ＋ ＝ ＋ ＝cos－sin ＝cos＝，∴cos＝，∴＋＝＋2kπ，k∈Z或＋＝－＋2kπ，k∈Z，即θ＝－＋4kπ，k∈Z或θ＝－＋4kπ，k∈Z.∵3π≤θ≤4π，∴θ＝或，故选D.
2．若tan(α＋80°)＝4sin 420°，则tan(α＋20°)的值为(　　)
A．－ B.
C. D.
解析：选D　由tan(α＋80°)＝4sin 420°＝4sin 60°＝2，得tan(α＋20°)＝tan[(α＋80°)－60°]＝＝＝.
3．若sin αcos β＝，则cos αsin β的取值范围为________．
解析：因为sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β
＝＋cos αsin β，且－1≤sin(α＋β)≤1，
所以－≤cos αsin β≤.
同理sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝－cos αsin β，
且－1≤sin(α－β)≤1，所以－≤cos αsin β≤.
综上可得－≤cos αsin β≤.
答案：
(二)交汇专练——融会巧迁移
4．[与不等式交汇]已知tan 2α＝，α∈，函数f(x)＝sin(x＋α)－sin(x－α)－2sin α，且对任意的实数x，不等式f(x)≥0恒成立，则sin的值为(　　)
A．－ B．－
C．－ D．－
解析：选A　由tan 2α＝，即＝，得tan α＝或tan α＝－3.又f(x)＝sin(x＋α)－sin(x－α)－2sin α＝2cos xsin α－2sin α≥0恒成立，所以sin α≤0，tan α＝－3，sin α＝－，cos α＝，所以sin＝sin αcos－cos αsin＝－，故选A.
5．[与向量交汇]设向量a＝(cos α，－1)，b＝(2，sin α)，若a⊥b，则tan＝________.
解析：∵a＝(cos α，－1)，b＝(2，sin α)，a⊥b，∴2cos α－sin α＝0，∴tan α＝2，∴tan＝＝＝.
答案：
6．[与三角形交汇]在△ABC中，已知sin A＝13sin Bsin C，cos A＝13cos Bcos C，则tan A＋tan B＋tan C的值为_______________________________________________．
解析：由题意知cos A，cos B，cos C均不为0，由sin A＝13sin Bsin C，cos A＝13cos Bcos C，得tan A＝tan Btan C．又因为cos A＝13cos Bcos C，且cos A＝－cos(B＋C)＝sin Bsin C－cos Bcos C，所以sin Bsin C＝14cos Bcos C，所以tan Btan C＝14.又tan B＋tan C＝tan(B＋C)(1－tan Btan C)＝－tan A(1－tan Btan C)，所以tan A＋tan B＋tan C＝tan Atan Btan C＝196.
答案：196
7．[与函数零点交汇]函数f(x)＝4cos2cos－2sin x－|ln(x＋1)|的零点个数为________．
解析：因为f(x)＝4cos2cos－2sin x－|ln(x＋1)|＝2(1＋cos x)sin x－2sin x－|ln(x＋1)|＝sin 2x－|ln(x＋1)|，所以函数f(x)的零点个数为函数y＝sin 2x与y＝|ln(x＋1)|

图象的交点的个数，作出函数y＝sin 2x与y＝|ln(x＋1)|图象如图，由图知，两函数图象有2个交点，所以函数f(x)有2个零点．
答案：2
(三)素养专练——学会更学通
8．[数学建模]如图，在矩形OABC中，AB＝1，OA＝2，以B为圆心，BA为半径在矩形内部作弧，点P是弧上一动点，PM⊥OA，垂足为M，PN⊥OC，垂足为N，求四边形OMPN的周长的最小值．
解：如图，连接BP，设∠CBP＝α，其中0≤α＜，
则PM＝1－sin α，PN＝2－cos α，

则周长C＝6－2(sin α＋cos α)＝6－2sin，
因为0≤α＜，所以≤α＋＜，
故当α＋＝，即α＝时，周长C有最小值6－2.
9．[数学运算]已知函数f(x)＝2cos2ωx－1＋2sin ωxcos ωx(0＜ω＜1)，直线x＝是函数f(x)的图象的一条对称轴．
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)已知函数y＝g(x)的图象是由y＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，然后再向左平移个单位长度得到的，若g＝，α∈，求sin α的值．
解：(1)f(x)＝cos 2ωx＋sin 2ωx＝2sin，
由于直线x＝是函数f(x)＝2sin的图象的一条对称轴，
所以ω＋＝kπ＋(k∈Z)，
解得ω＝k＋(k∈Z)，
又0＜ω＜1，所以ω＝，
所以f(x)＝2sin.
由2kπ－≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
得2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)，
所以函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
(2)由题意可得g(x)＝2sin，
即g(x)＝2cos，
由g＝2cos＝2cos＝，得cos＝，
又α∈，故＜α＋＜，
所以sin＝，
所以sin α＝sin
＝sin·cos－cos·sin
＝×－×＝.