2020版高考数学（理）新创新一轮复习通用版讲义：第四章第五节两角和与差的正弦、余弦和正切公式

第五节两角和与差的正弦、余弦和正切公式

1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式
(1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β(异名相乘、加减一致)；
(2)cos(α∓β)＝cos αcos β±sin αsin β(同名相乘、加减相反)；
(3)tan(α±β)＝(两式相除、上同下异)．
(1)二倍角公式就是两角和的正弦、余弦、正切中α＝β的特殊情况．
(2)二倍角是相对的，如：是的2倍，3α是的2倍.2.二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)sin 2α＝2sin αcos α；
(2)cos 2α＝cos2α－sin2α
＝2cos2α－1＝1－2sin2α；
(3)tan 2α＝.
[熟记常用结论]
1．公式的常用变式：tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)；tan α·tan β＝1－＝－1.
2．降幂公式：sin2α＝；cos2α＝；sin αcos α＝sin 2α.
3．升幂公式：1＋cos α＝2cos2；1－cos α＝2sin2；1＋sin α＝2；1－sin α＝2.
4．常用拆角、拼角技巧：例如，2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β；β＝－＝(α＋2β)－(α＋β)；α－β＝(α－γ)＋(γ－β)；15°＝45°－30°；＋α＝－等．
5．辅助角公式：一般地，函数f(α)＝asin α＋bcos α(a，b为常数)可以化为f(α)＝sin(α＋φ)或f(α)＝cos(α－φ).
[小题查验基础]
一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)
(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．(　　)
(2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．(　　)
(3)公式tan(α＋β)＝可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．(　　)
(4)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.(　　)
答案：(1)√　(2)√　(3)×　(4)√
二、选填题
1．cos 18°cos 42°－cos 72°sin 42°＝(　　)
A．－　　　　　　　　 B.
C．－ D.
解析：选D　原式＝cos 18°cos 42°－sin 18°sin 42°＝cos(18°＋42°)＝cos 60°＝.
2．若cos α＝－，α是第三象限的角，则sin等于(　　)
A．－ B.
C．－ D.
解析：选C　∵α是第三象限角，
∴sin α＝－＝－，
∴sin＝－×＋×＝－.
3．已知tan α＝2，所以tan＝(　　)
A. B.
C. D．－3
解析：选B　∵tan α＝2，∴tan＝＝.
4．已知cos x＝，则cos 2x＝________.
解析：∵cos x＝，∴cos 2x＝2cos2x－1＝.
答案：
5．若tan α＝，tan(α＋β)＝，则tan β＝________.
解析：tan β＝tan[(α＋β)－α]＝
＝＝.
答案：

考点一公式的直接应用[基础自学过关]
[题组练透]
1．已知sin α＝，α∈，tan(π－β)＝，则tan(α－β)的值为(　　)
A．－　　　　　　　　　 B.
C. D．－
解析：选A　因为sin α＝，α∈，
所以cos α＝－＝－，
所以tan α＝＝－.
因为tan(π－β)＝＝－tan β，所以tan β＝－，
则tan(α－β)＝＝－.
2．已知sin α＝＋cos α，且α∈，则的值为(　　)
A．－ B.
C．－ D.
解析：选A　因为sin α＝＋cos α，即sin α－cos α＝，
所以＝
＝＝＝－，故选A.
3．设sin 2α＝－sin α，α∈，则tan 2α的值是________．
解析：∵sin 2α＝2sin αcos α＝－sin α，α∈，
∴cos α＝－，∴sin α＝，tan α＝－，
∴tan 2α＝＝＝.
答案：
4．已知cos＝，x∈.
(1)求sin x的值；
(2)求cos的值．
解：(1)因为x∈，
所以x－∈，
sin＝ ＝.
sin x＝sin＝sincos＋cos·sin＝×＋×＝.
(2)因为x∈，
故cos x＝－＝－ ＝－，
sin 2x＝2sin xcos x＝－，cos 2x＝2cos2x－1＝－.
所以cos＝cos 2xcos－sin 2xsin＝－×＋×＝.
[名师微点]
三角函数公式的应用策略
(1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征．
(2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值．
考点二三角函数公式的逆用与变形用[师生共研过关]
[典例精析]
(1)在△ABC中，若tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，则cos C＝________.
(2)＝________.
(3)化简＝________.
[解析]　(1)由tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，
可得＝－1，
即tan(A＋B)＝－1，又因为A＋B∈(0，π)，
所以A＋B＝，则C＝，cos C＝.
(2)＝
＝＝＝.
(3)＝
＝＝－1.
[答案]　(1)　(2)　(3)－1
[解题技法]
两角和、差及倍角公式的逆用和变形用的应用技巧
(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式．
(2)和差角公式变形：
sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β，
cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β，
tan α±tan β＝tan(α±β)·(1∓tan α·tan β)．
(3)倍角公式变形：降幂公式．
[提醒]　tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一，且常与一元二次方程根与系数的关系结合命题．
[过关训练]
1．(2019·西安模拟)已知sin 2α＝，则cos2＝(　　)
A.　　　　　　　　　 B．－
C. D.
解析：选A　cos2＝＝，∵sin 2α＝，∴cos2＝＝.
2．(2018·益阳模拟)已知cos＋sin α＝，则sin＝________.
解析：由cos＋sin α＝，
可得cos α＋sin α＋sin α＝，
即sin α＋cos α＝，
∴sin＝，即sin＝，
∴sin＝－sin＝－.
答案：－
考点三公式的灵活应用[全析考法过关]
[考法全析]
考法(一)　角的变换
[例1]　(1)(2019·开封模拟)已知cos＝，则cos x＋cos＝(　　)
A. B.
C. D.
(2)(2019·南昌模拟)设α为锐角，若cos＝－，则sin的值为(　　)
A. B.
C．－ D.
[解析]　(1)cos x＋cos＝cos＋cos＝2coscos＝.
(2)∵α为锐角，∴0＜α＜，＜α＋＜，设β＝α＋，由cos＝－，得sin β＝，sin 2β＝2sin βcos β＝－，cos 2β＝2cos2β－1＝－，
∴sin＝sin＝sin＝sin 2βcos－cos 2βsin＝×－×＝.
[答案]　(1)D　(2)B
考法(二)　三角函数式的变化
[例2]　(1)化简：(0＜θ＜π)．
(2)求值：－sin 10°.
[解]　(1)由θ∈(0，π)，得0＜＜，∴cos＞0，
∴＝ ＝2cos.
又(1＋sin θ＋cos θ)
＝
＝2cos
＝－2coscos θ，
故原式＝＝－cos θ.
(2)原式＝－sin 10°
＝－sin 10°·
＝－sin 10°·
＝－2cos 10°
＝
＝
＝
＝＝.
[规律探求]
看个性
考法(一)是考查角的变换，解决此类问题应明确各个角之间的关系(包括非特殊角与特殊角、已知角与未知角)，熟悉角的变换技巧，及半角与倍角的相互转化，如：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，40°＝60°－20°，＋＝，＝2×等．
考法(二)是三角函数式的变化，解决此类问题应明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦
找共性
转化思想是实施三角变换的主导思想，恒等变形前需清楚已知式中角的差异、函数名称的差异、运算结构的差异，寻求联系，实现转化
[过关训练]
1．已知tan θ＋＝4，则cos2＝(　　)
A.　　　　　　　　　　 B.
C. D.
解析：选C　由tan θ＋＝4，得＋＝4，即＝4，∴sin θcos θ＝，∴cos2＝＝＝＝＝.
2．(2018·济南一模)若sin＝，A∈，则sin A的值为(　　)
A. B.
C.或 D.
解析：选B　∵A∈，∴A＋∈，
∴cos＝－ ＝－，
∴sin A＝sin
＝sincos－cossin＝.

一、题点全面练
1．(2018·全国卷Ⅲ)若sin α＝，则cos 2α＝(　　)
A.　　　　　　　　　　B.
C．－ D．－
解析：选B　∵sin α＝，∴cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×2＝.故选B.
2．已知sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，则log2＝(　　)
A．5 B．4
C．3 D．2
解析：选B　∵sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，
∴sin αcos β＋cos αsin β＝，sin αcos β－cos αsin β＝，
∴sin αcos β＝，cos αsin β＝，∴＝5，
∴log2＝log52＝4.
3．下列式子的运算结果为的是(　　)
①tan 25°＋tan 35°＋tan 25°tan 35°；
②2(sin 35°cos 25°＋cos 35°cos 65°)；
③；
④.
A．①②④ B．③④
C．①②③ D．②③④
解析：选C　对于①，tan 25°＋tan 35°＋tan 25°tan 35°＝tan(25°＋35°)(1－tan 25°tan 35°)＋tan 25°tan 35°＝－tan 25°tan 35°＋tan 25°tan 35°＝；
对于②，2(sin 35°cos 25°＋cos 35°cos 65°)＝2(sin 35°cos 25°＋cos 35°sin 25°)＝2sin 60°＝；
对于③，＝＝tan 60°＝；
对于④，＝×＝×tan＝.
综上，式子的运算结果为的是①②③.故选C.
4．(2018·福州模拟)已知α∈，cos＝－，则cos α＝(　　)
A. B.
C. D.
解析：选B　因为α∈，所以α＋∈，
所以sin＝ ＝ ＝，
所以cos α＝cos＝coscos＋sinsin＝－×＋×＝.
5．已知sin 2θ＝，则tan2＝(　　)
A. B.
C．5 D．6
解析：选A　∵sin 2θ＝cos＝cos＝，∴2cos2－1＝，即cos2＝，
sin2＝，
∴tan2＝＝.
6.cos 15°－4sin215°cos 15°＝________.
解析：cos 15°－4sin215°cos 15°＝cos 15°－2sin 15°·2sin 15°·cos 15°＝cos 15°－2sin 15°sin 30°＝cos 15°－sin 15°＝2cos(15°＋30°)＝.
答案：
7．sin 10°sin 50°sin 70°＝________.
解析：sin 10°sin 50°sin 70°＝sin 10°cos 40°cos 20°
＝＝＝.
答案：
8．已知sin β＝，β∈，且sin(α＋β)＝cos α，则tan(α＋β)＝__________.
解析：因为sin β＝，β∈，所以cos β＝－.
由sin(α＋β)＝cos α＝cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝－cos(α＋β)＋sin(α＋β)，
得sin(α＋β)＝－cos(α＋β)，所以tan(α＋β)＝－2.
答案：－2
9．(2018·浙江高考)已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P.
(1)求sin(α＋π)的值；
(2)若角β满足sin(α＋β)＝，求cos β的值．
解：(1)由角α的终边过点P，
得sin α＝－.
所以sin(α＋π)＝－sin α＝.
(2)由角α的终边过点P，得cos α＝－.
由sin(α＋β)＝，得cos(α＋β)＝±.
由β＝(α＋β)－α，
得cos β＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α，
所以cos β＝－或cos β＝.
10．(2018·江苏高考)已知α，β为锐角，tan α＝，cos(α＋β)＝－.
(1)求cos 2α的值；
(2)求tan(α－β)的值．
解：(1)因为tan α ＝，tan α ＝，
所以sin α ＝cos α .
因为sin2α＋cos2α ＝1，
所以cos2α＝，所以cos 2α ＝2cos2α－1＝－.
(2)因为α，β 为锐角，所以α＋β∈(0，π)．
又因为cos(α＋β )＝－，
所以sin(α＋β )＝＝，
所以tan(α＋β )＝－2.
因为tan α＝，
所以 tan 2α＝＝－.
所以tan(α－β )＝tan[2α－(α＋β) ]
＝＝－.
二、专项培优练
(一)易错专练——不丢怨枉分
1．已知＝3cos(2π＋θ)，|θ|＜，则sin 2θ＝(　　)
A. B.
C. D.
解析：选C　因为＝3cos(2π＋θ)，所以＝3cos θ.
又|θ|＜，故sin θ＝，cos θ＝，
所以sin 2θ＝2sin θcos θ＝2××＝，故选C.
2．设α，β为锐角，且2α－β＝，＝1，则x＝(　　)
A．1 B．2
C. D.
解析：选A　∵2α－β＝，∴β＝2α－，
∴＝1，即＝1，
∴x＝cos 2α＋tan αsin 2α＝cos 2α＋2sin2α＝1，故选A.
3．若α为第一象限角，且sin 2α＝sincos(π＋α)，则 cos的值为(　　)
A．－ B.
C. D．－
解析：选B　由sin 2α＝sincos(π＋α)，
得2sin αcos α＝cos2 α.
∵α为第一象限角，∴cos α≠0，∴tan α＝，
∴cos＝
＝cos 2α＋sin 2α＝cos2α－sin2α＋2sin αcos α
＝
＝＝.故选B.
4．已知sin 10°＋mcos 10°＝2cos 140°，则m＝__________.
解析：由sin 10°＋mcos 10°＝2cos 140°可得，
m＝＝
＝＝＝－.
答案：－
(二)素养专练——学会更学通
5．[逻辑推理]设α，β∈[0，π]，且满足sin αcos β－cos αsin β＝1，则sin(2α－β)＋sin(α－2β)的取值范围为________．
解析：由sin αcos β－cos αsin β＝1，得sin(α－β)＝1，
又α，β∈[0，π]，∴－π＜α－β＜π，∴α－β＝，
∴即≤α≤π，
∴sin(2α－β)＋sin(α－2β)
＝sin＋sin(α－2α＋π)
＝cos α＋sin α＝sin.
∵≤α≤π，∴≤α＋≤，
∴－1≤sin≤1，
即sin(2α－β)＋sin(α－2β)的取值范围为[－1,1]．
答案：[－1,1]
6．[数学运算]已知coscos＝－，α∈.
(1)求sin 2α的值；
(2)求tan α－的值．
解：(1)coscos＝cossin＝sin＝－，
即sin＝－.
∵α∈，∴2α＋∈，
∴cos＝－，
∴ sin 2α＝sin
＝sincos－cossin
＝－×－×＝.
(2)∵α∈，∴2α∈，
又由(1)知sin 2α＝，
∴cos 2α＝－.
∴tan α－＝－
＝＝
＝－2×＝2.
7．[数学建模、数学运算]如图，在平面直角坐标系xOy中，以x轴正半轴为始边的锐角α与钝角β的终边与单位圆分别交于A，B两点，x轴正半轴与单位圆交于点M，已知S△OAM＝，点B的纵坐标是.
(1)求cos(α－β)的值；
(2)求2α－β的值．
解：(1)由题意，OA＝OM＝1，
因为S△OAM＝和α为锐角，所以sin α＝，cos α＝.
又点B的纵坐标是，所以sin β＝，cos β＝－，
所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝－.
(2)因为cos 2α＝2cos2α－1＝2×2－1＝－，
sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝，所以2α∈.
因为β∈，所以2α－β∈.
因为sin(2α－β)＝sin 2αcos β－cos 2αsin β＝－，
所以2α－β＝－.