2020版高考数学（理）新创新一轮复习通用版讲义：第七章第六节数学归纳法

第六节数学归纳法

1．数学归纳法的2个步骤
一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
(1)归纳奠基
证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立(初始值n0不一定为1)；
(2)归纳递推
假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．上述证明方法叫做数学归纳法．
[注意]　证明当n＝k＋1时命题成立一定会用到归纳假设，即假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，解题时要搞清从n＝k到n＝k＋1增加了哪些项或减少了哪些项．
2．数学归纳法的2个步骤的意义
步骤(1)是命题论证的基础，步骤(2)是判断命题的正确性能否递推下去的保证．
这两个步骤缺一不可，如果只有步骤(1)缺少步骤(2)，无法对n取n0后的数时结论是否正确作出判断；如果只有步骤(2)缺少步骤(1)这个基础，假设就失去了成立的前提，步骤(2)就没有意义了．
[小题查验基础]
一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)
(1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当n＝1时结论成立．(　　)
(2)数学归纳法主要用于研究与正整数有关的数学问题，但并不是所有与正整数有关的问题都能用数学归纳法证明．(　　)
(3)证明当n＝k＋1时命题成立用到归纳假设，即n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立．(　　)
(4)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由n＝k到n＝k＋1时，项数都增加了一项．(　　)
答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)×
二、选填题
1．在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n－3)条时，第一步检验n等于(　　)
A．1　　　　　　　　　　　　 B．2
C．3 D．4
解析：选C　三角形是边数最少的凸多边形，故第一步应检验n＝3.
2．用数学归纳法证明：首项是a1，公差是d的等差数列的前n项和公式是Sn＝na1＋d时，假设当n＝k时，公式成立，则Sk＝(　　)
A．a1＋(k－1)d B.
C．ka1＋d D．(k＋1)a1＋d
解析：选C　假设当n＝k时，公式成立，只需把公式中的n换成k即可，即Sk＝ka1＋d.
3．已知f(n)＝＋＋＋…＋，则(　　)
A．f(n)中共有n项，当n＝2时，f(2)＝＋
B．f(n)中共有n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋
C．f(n)中共有n2－n项，当n＝2时，f(2)＝＋
D．f(n)中共有n2－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋
解析：选D　由f(n)可知，f(n)中共有n2－n＋1项，且n＝2时，f(2)＝＋＋.
4．用数学归纳法证明1＋＋＋…＋＜n(n∈N*，n＞1)时，第一步应验证的不等式的左边为________．
答案：1＋＋
5．用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋＞成立，起始值应取为n＝________.
解析：不等式的左边＝＝2－，当n＜8时，不等式不成立，故起始值应取n＝8.
答案：8

考点一用数学归纳法证明等式[师生共研过关]
[典例精析]
用数学归纳法证明：＋＋＋…＋＝(n∈N*)．
[证明]　(1)当n＝1时，
左边＝＝，
右边＝＝，
左边＝右边，所以等式成立．
(2)假设n＝k(k≥1，k∈N*)时等式成立，
即＋＋＋…＋＝，
则当n＝k＋1时，
＋＋＋…＋＋
＝＋
＝
＝
＝＝.
所以当n＝k＋1时，等式也成立．
由(1)(2)可知，对于一切n∈N*等式都成立．
[解题技法]
1．数学归纳法证明等式的2个思路
(1)用数学归纳法证明等式问题，要“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n0是多少．
(2)由n＝k时等式成立，推出n＝k＋1时等式成立，一要找出等式两边的变化(差异)，明确变形目标；二要充分利用归纳假设，进行合理变形，正确写出证明过程．
2．口诀记忆——记牢“4句话”

[过关训练]
设f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)．求证：f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n[f(n)－1](n≥2，n∈N*)．
证明：(1)当n＝2时，左边＝f(1)＝1，
右边＝2＝1，左边＝右边，等式成立．
(2)假设n＝k(k≥2，k∈N*)时，结论成立，
即f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＝k[f(k)－1]，
那么，当n＝k＋1时，
f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＋f(k)＝k[f(k)－1]＋f(k)
＝(k＋1)f(k)－k＝(k＋1)－k
＝(k＋1)f(k＋1)－(k＋1)＝(k＋1)[f(k＋1)－1]，
所以当n＝k＋1时结论仍然成立．
由(1)(2)可知，f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n[f(n)－1](n≥2，n∈N*)．
考点二用数学归纳法证明不等式[师生共研过关]
[典例精析]
已知函数f(x)＝x－x2，设0＜a1＜，an＋1＝f(an)，n∈N*，证明：an＜.
[证明]　(1)当n＝1时，0＜a1＜，显然结论成立．
因为当x∈时，0＜f(x)≤，
所以0＜a2＝f(a1)≤＜.
故n＝2时，原不等式也成立．
(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时，
不等式0＜ak＜成立．
因为f(x)＝x－x2的对称轴方程为x＝，
所以当x∈时，f(x)为增函数．
所以由0＜ak＜≤，
得0＜f(ak)＜f.
于是，0＜ak＋1＝f(ak)＜－·＋－＝－＜.
所以当n＝k＋1时，原不等式也成立．
由(1)(2)可知，对任何n∈N*，不等式an＜成立．
[解题技法]
用数学归纳法证明不等式应注意的2个问题
(1)当遇到与正整数n有关的不等式证明时，用其他方法不容易证，则可考虑应用数学归纳法．
(2)用数学归纳法证明不等式的关键是由n＝k成立，推证n＝k＋1时也成立，证明时用上归纳假设后，可采用分析法、综合法、作差(作商)比较法、放缩法等证明．运用放缩法时，要注意放缩的“度”．
[过关训练]
设整数p＞1，n∈N*.证明：当x＞－1且x≠0时，(1＋x)p＞1＋px.
证明：(1)当p＝2时，(1＋x)2＝1＋2x＋x2＞1＋2x，原不等式成立．
(2)假设p＝k(k≥2，k∈N*)时，不等式(1＋x)k＞1＋kx成立．
当p＝k＋1时，(1＋x)k＋1＝(1＋x)(1＋x)k＞(1＋x)·(1＋kx)＝1＋(k＋1)x＋kx2＞1＋(k＋1)x.
所以当p＝k＋1时，原不等式也成立．
综合(1)(2)可得，当x＞－1，且x≠0时，对一切正整数p＞1，不等式(1＋x)p＞1＋px均成立．
考点三归纳—猜想—证明[师生共研过关]
[典例精析]
已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn＝＋－1，且an＞0，n∈N*.
(1)求a1，a2，a3，并猜想{an}的通项公式；
(2)证明通项公式的正确性．
[解]　(1)当n＝1时，由已知得a1＝＋－1，
即a＋2a1－2＝0.
∴a1＝－1(a1＞0)．
当n＝2时，由已知得a1＋a2＝＋－1，
将a1＝－1代入并整理得a＋2a2－2＝0.
∴a2＝－(a2＞0)．同理可得a3＝－.
猜想an＝－(n∈N*)．
(2)证明：①由(1)知，当n＝1,2,3时，通项公式成立．
②假设当n＝k(k≥3，k∈N*)时，通项公式成立，
即ak＝－.
由于ak＋1＝Sk＋1－Sk＝＋－－，
将ak＝－代入上式，
整理得a＋2 ak＋1－2＝0，
∴ak＋1＝－，
即n＝k＋1时通项公式成立．
由①②可知对所有n∈N*，an＝－都成立．
[解题技法]
归纳—猜想—证明的应用策略
(1)一般思路：通过观察有限个特例，猜想出一般性的结论，然后用数学归纳法证明．这种方法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关的命题中有着广泛的应用．其关键是归纳、猜想出公式．
(2)基本步骤：“试验—归纳—猜想—证明”．高中阶段该部分与数列结合的问题是最常见的问题．
[过关训练]
已知f(n)＝1＋＋＋＋…＋，g(n)＝－，n∈N*.
(1)当n＝1,2,3时，试比较f(n)与g(n)的大小；
(2)猜想f(n)与g(n)的大小关系，并给出证明．
解：(1)当n＝1时，f(1)＝1，g(1)＝1，所以f(1)＝g(1)；
当n＝2时，f(2)＝，g(2)＝，所以f(2)＜g(2)；
当n＝3时，f(3)＝，g(3)＝，所以f(3)＜g(3)．
(2)由(1)猜想f(n)≤g(n)，下面用数学归纳法给出证明．
①当n＝1,2,3时，不等式显然成立，
②假设当n＝k(k≥3，k∈N*)时不等式成立，
即1＋＋＋＋…＋＜－.
那么，当n＝k＋1时，
f(k＋1)＝f(k)＋＜－＋.
因为f(k＋1)－g(k＋1)＜－＋－＝－
＝－＝＜0，
所以f(k＋1)＜g(k＋1)．
由①②可知，对一切n∈N*，都有f(n)≤g(n)成立．

1．若f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，则f(1)的值为(　　)
A．1　　　　　　　　　　　　　B.
C．1＋＋＋＋ D．非以上答案
解析：选C　等式右边的分母是从1开始的连续的自然数，且最大分母为6n－1，则当n＝1时，最大分母为5，故选C.
2．下列结论能用数学归纳法证明的是(　　)
A．x＞sin x，x∈(0，π)
B．ex≥x＋1(x∈R)
C．1＋＋＋…＋＝2－n－1(n∈N*)
D．sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β(α，β∈R)
解析：选C　数学归纳法是用来证明与自然数有关的命题的一种方法，由此可知选项C符合题意．
3．已知f(n)＝12＋22＋32＋…＋(2n)2，则f(k＋1)与f(k)的关系是(　　)
A．f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2
B．f(k＋1)＝f(k)＋(k＋1)2
C．f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋2)2
D．f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2
解析：选A　f(k＋1)＝12＋22＋32＋…＋(2k)2＋(2k＋1)2＋[2(k＋1)]2＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2.
4．利用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋＜f(n)(n≥2，n∈N*)的过程中，由n＝k到n＝k＋1时，左边增加了(　　)
A．1项 B．k项
C．2k－1项 D．2k项
解析：选D　令不等式的左边为g(n)，则
g(k＋1)－g(k)＝1＋＋＋…＋＋＋＋…＋－＝＋＋…＋，
其项数为2k＋1－1－2k＋1＝2k＋1－2k＝2k.
故左边增加了2k项．
5．用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(n∈N*，a≠1)，在验证n＝1成立时，左边所得的项为___________．
解析：当n＝1时，n＋1＝2，所以左边＝1＋a＋a2.
答案：1＋a＋a2
6．用数学归纳法证明＋＋…＋＞－，假设n＝k时，不等式成立，则当n＝k＋1时，应推证的目标不等式是____________________________________．
解析：观察不等式中分母的变化便知．
答案：＋＋…＋＋＞－
7．用数学归纳法证明等式12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1·n2＝(－1)n－1·.
证明：(1)当n＝1时，左边＝12＝1，
右边＝(－1)0×＝1，左边＝右边，原等式成立．
(2)假设n＝k(k≥1，k∈N*)时等式成立，即有12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1·k2＝(－1)k－1·.
那么，当n＝k＋1时，
12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1·k2＋(－1)k·(k＋1)2
＝(－1)k－1·＋(－1)k·(k＋1)2
＝(－1)k·[－k＋2(k＋1)]
＝(－1)k·.
∴n＝k＋1时，等式也成立，
由(1)(2)知对任意n∈N*，都有
12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1·n2＝(－1)n－1·.
8．用数学归纳法证明：1＋≤1＋＋＋…＋≤＋n(n∈N*)．
证明：(1)当n＝1时，
左边＝1＋，右边＝＋1，
所以≤1＋≤，即命题成立．
(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时命题成立，即
1＋≤1＋＋＋…＋≤＋k，
则当n＝k＋1时，
1＋＋＋…＋＋＋＋…＋＞1＋＋2k·＝1＋.
又1＋＋＋…＋＋＋＋…＋＜＋k＋2k·＝＋(k＋1)，
即n＝k＋1时，命题成立．
由(1)(2)可知，命题对所有n∈N*都成立．
9．已知数列{an}满足a1＝a＞2，an＝(n≥2，n∈N*)．
(1)求证：对任意n∈N*，an＞2恒成立；
(2)判断数列{an}的单调性，并说明你的理由；
(3)设Sn为数列{an}的前n项和，求证：当a＝3时，Sn＜2n＋.
解：(1)证明：用数学归纳法证明an＞2(n∈N*)恒成立．
①当n＝1时，a1＝a＞2，结论成立；
②假设n＝k(k≥1，k∈N*)时结论成立，即ak＞2，
则n＝k＋1时，ak＋1＝＞＝2，
所以n＝k＋1时，结论成立．
故由①②及数学归纳法，知对一切的n∈N*，都有an＞2成立．
(2)数列{an}是单调递减的数列．
因为a－a＝an＋2－a＝－(an－2)(an＋1)，又an＞2，
所以a－a＜0，所以an＋1＜an.
所以{an}是单调递减的数列．
(3)证明：由an＋1＝，得a＝an＋2，
所以a－4＝an－2.
根据(1)知an＞2(n∈N*)，
所以＝＜，
所以an＋1－2＜(an－2)＜2(an－1－2)＜…＜n·(a1－2)．
所以当a＝3时，an＋1－2＜n，即an＋1＜n＋2.
当n＝1时，S1＝3＜2＋，
当n≥2时，
Sn＝3＋a2＋a3＋…＋an
＜3＋＋＋…＋
＝3＋2(n－1)＋
＝2n＋1＋＜2n＋.
综上，当a＝3时，Sn＜2n＋(n∈N*)．