2020版高考数学（理）新创新一轮复习通用版讲义：第四章第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式

第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式

1．同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1❶；(2)商数关系：tan α＝❷.
2．三角函数的诱导公式
公式
一
二
三
四
五
六
角
2kπ＋α(k∈Z)
π＋α
－α
π－α
－α
＋α
正弦
sin α
－sin α
－sin α
sin α
cos α
cos α
余弦
cos α
－cos α
cos α
－cos α
sin α
－sin α
正切
tan α
tan α
－tan α
－tan α
—
—
口诀
函数名不变，符号看象限
函数名改变，符号看象限
作用：实现同角的正弦值与余弦值之间的转化，利用该公式求值，要注意确定角的终边所在的象限，从而判断三角函数值的符号．
作用：切化弦，弦切互化．
[熟记常用结论]
同角三角函数的基本关系式的几种变形
(1)sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos α)(1－cos α)；
cos2α＝1－sin2α＝(1＋sin α)(1－sin α)；
(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α.
(2)sin α＝tan αcos α.
(3)sin2α＝＝；
cos2α＝＝.
[小题查验基础]
一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)
(1)若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1.(　　)
(2)sin2(α－β)＋cos2(α－β)＝1.(　　)
(3)若α∈R，则tan α＝恒成立．(　　)
(4)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．(　　)
(5)若sin(kπ－α)＝(k∈Z)，则sin α＝.(　　)
答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)×　(5)×
二、选填题
1．已知sin α＝，α∈，则tan α＝(　　)
A．－2　　　　　　　　　 B．2
C. D．－
解析：选D　因为≤α≤π，所以cos α＝－
＝－ ＝－，所以tan α＝＝－.
2．已知sin＝，那么cos α＝(　　)
A．－ B．－
C. D.
解析：选C　∵sin＝sin＝cos α，
∴cos α＝.
3．sin 210°cos 120°的值为(　　)
A. B．－
C．－ D.
解析：选A　sin 210°cos 120°＝－sin 30°(－cos 60°)
＝－×＝.
4．若sin θcos θ＝，则tan θ＋＝________.
解析：tan θ＋＝＋＝＝2.
答案：2
5．已知tan α＝2，则的值为________．
解析：＝＝＝3.
答案：3
6．化简·sin(α－π)·cos(2π－α)的结果为________．
解析：原式＝·(－sin α)·cos α＝－sin2α.
答案：－sin2α

考点一同角三角函数基本关系式的应用[全析考法过关]
[考法全析]
考法(一)　公式的直接应用
[例1]　(1)已知cos α＝k，k∈R，α∈，则sin α＝(　　)
A．－　　　　　　　 B.
C．± D.
(2)sin21°＋sin22°＋…＋sin289°＝________.
[解析]　(1)由cos α＝k，k∈R，α∈，可知k＜0，设角α终边上一点P(k，y)(y＞0)，|OP|＝1，所以＝1，得y＝，由三角函数定义可知sin α＝.
(2)因为sin 1°＝cos 89°，所以sin21°＋sin289°＝cos289°＋sin289°＝1，同理sin22°＋sin288°＝1，…，sin244°＋sin246°＝1，而sin245°＝，故原式＝44＋＝44.
[答案]　(1)B　(2)44
考法(二)　sin α，cos α的齐次式问题
[例2]　已知＝－1，求下列各式的值：
(1)；
(2)sin2α＋sin αcos α＋2.
[解]　由已知得tan α＝.
(1)＝＝－.
(2)sin2α＋sin αcos α＋2＝＋2＝＋2＝＋2＝.
考法(三)　“sin α±cos α，sin αcos α”之间的关系的应用
[例3]　已知x∈(－π，0)，sin x＋cos x＝.
(1)求sin x－cos x的值；
(2)求的值．
[解]　(1)由sin x＋cos x＝，
平方得sin2x＋2sin xcos x＋cos2x＝，
整理得2sin xcos x＝－.
∴(sin x－cos x)2＝1－2sin xcos x＝.
由x∈(－π，0)，知sin x＜0，
又sin x＋cos x＞0，
∴cos x＞0，则sin x－cos x＜0，
故sin x－cos x＝－.
(2)＝
＝
＝＝－.
[规律探求]

看个性
考法(一)是公式的直接应用，即已知sin α，cos α，tan α中的一个求另外两个的值．解决此类问题时，直接套用公式sin2α＋cos2α＝1及tan α＝即可，但要注意α的范围，即三角函数值的符号．
考法(二)的分式中分子与分母是关于sin α，cos α的齐次式，往往转化为关于tan α的式子求解.
考法(三)是考查sin α±cos α与sin αcos α的关系．对于sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二
找共性
(1)利用sin2α＋cos2α＝1可实现正弦、余弦的互化，开方时要根据角α所在象限确定符号；利用＝tan α可以实现角α的弦切互化；利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α的关系可实现和积转化．
(2)注意方程思想与转化思想的应用
[过关训练]
1．若角α的终边落在第三象限，则＋的值为(　　)
A．3 B．－3
C．1 D．－1
解析：选B　由角α的终边落在第三象限得sin α＜0，cos α＜0，
故原式＝＋＝＋
＝－1－2＝－3.
2．(2019·合肥模拟)已知sin x＋cos x＝，x∈(0，π)，则tan x＝(　　)
A．－ B.
C. D．－
解析：选D　∵sin x＋cos x＝，且x∈(0，π)，∴1＋2sin xcos x＝1－，∴2sin xcos x＝－＜0，∴x为钝角，∴sin x－cos x＝＝，结合已知解得sin x＝，cos x＝－，则tan x＝＝－.
3．若3sin α＋cos α＝0，则的值为________．
解析：∵3sin α＋cos α＝0⇒cos α≠0⇒tan α＝－，
∴＝＝
＝＝.
答案：
考点二诱导公式的应用[师生共研过关]
[典例精析]
(1)设f(α)＝(1＋2sin α≠0)，则f＝________.
(2)已知cos＝a，则cos＋sin的值是________．
[解析]　(1)因为f(α)＝＝＝＝，所以f＝＝＝＝.
(2)因为cos＝cos＝－cos＝－a，sin＝sin＝cos＝a，所以cos＋sin＝0.
[答案]　(1)　(2)0
[解题技法]
1．利用诱导公式解题的一般思路
(1)化绝对值大的角为锐角．
(2)角中含有加减的整数倍时，用公式去掉的整数倍．
2．常见的互余和互补的角
互余的角
－α与＋α；＋α与－α；＋α与－α等
互补的角
＋θ与－θ；＋θ与－θ等
[提醒]　对给定的式子进行化简或求值时，要注意给定的角之间存在的特定关系，充分利用给定的关系结合诱导公式将角进行转化．特别要注意每一个角所在的象限，防止符号及三角函数名出错．
[过关训练]
1．sin(－1 200°)·cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)＋tan 945°＝________.
解析：原式＝sin(－3×360°－120°)cos(3×360°＋180°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(－3×360°＋30°)＋tan(2×360°＋180°＋45°)＝sin 120°cos 30°＋cos 60°sin 30°＋tan 45°＝＋＋1＝2.
答案：2
2．已知sin α是方程5x2－7x－6＝0的根，α是第三象限角，则·tan2(π－α)＝________.
解析：因为方程5x2－7x－6＝0的根为x1＝2，x2＝－，由题意知sin α＝－，故cos α＝－，tan α＝，所以原式＝＝－tan2α＝－.
答案：－
3．(2018·大连二模)已知sin＝，则cos＝(　　)
A.　　 B．－　　　C.　　　D．－
解析：选B　由题意知，cos＝cos＝－sin＝－.故选B.
考点三诱导公式与同角关系的综合应用[师生共研过关]
[典例精析]
已知f(x)＝(n∈Z)．
(1)化简f(x)的表达式；
(2)求f＋f的值．
解：(1)当n为偶数，即n＝2k(k∈Z)时，
f(x)＝
＝＝＝sin2x；
当n为奇数，即n＝2k＋1(k∈Z)时，
f(x)＝
＝
＝
＝
＝sin2x，
综上得f(x)＝sin2x.
(2)由(1)得f＋f
＝sin2＋sin2
＝sin2＋sin2
＝sin2＋cos2＝1.
[解题技法]
求解诱导公式与同角关系综合问题的基本思路和化简要求

基本思路
①分析结构特点，选择恰当公式；
②利用公式化成单角三角函数；
③整理得最简形式
化简要求
①化简过程是恒等变换；
②结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值
[过关训练]
1．已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sin α的值是(　　)
A.　　　　　　　　　 B.
C. D.
解析：选C　由已知可得－2tan α＋3sin β＋5＝0.
tan α－6sin β－1＝0，解得tan α＝3，
又α为锐角，故sin α＝.
2．已知tan(π－α)＝－，且α∈，则＝________.
解析：由tan(π－α)＝－，得tan α＝，
则＝＝＝＝－.
答案：－
3．已知sin α＋cos α＝－，且＜α＜π，则＋的值为________．
解析：由sin α＋cos α＝－平方得sin αcos α＝－，∵＜α＜π，∴sin α－cos α＝＝，∴＋＝－＝＝＝.
答案：

一、题点全面练
1．若＝，则tan θ＝(　　)
A．1　　　　　　　　　 B．－1
C．3 D．－3
解析：选D　因为
＝＝，
所以2(sin θ＋cos θ)＝sin θ－cos θ，
所以sin θ＝－3cos θ，所以tan θ＝－3.
2．(2019·黄冈模拟)已知sin(π＋α)＝－，则tan的值为(　　)
A．2 B．－2
C. D．±2
解析：选D　∵sin(π＋α)＝－，∴sin α＝，则cos α＝±，∴tan＝＝＝±2.
3．(2019·惠州模拟)已知tan α＝，且α∈，则cos＝(　　)
A．－ B.
C. D．－
解析：选A　由α∈知α为第三象限角，
联立得sin α＝－，
故cos＝sin α＝－，故选A.
4．(2019·厦门质检)已知sin 2α＝，＜α＜，则sin α－cos α的值是(　　)
A. B．－
C. D．－
解析：选A　∵＜α＜，∴sin α＞cos α＞0，∴sin α－cos α＞0.
又sin 2α＝，∴(sin α－cos α)2＝sin2α－2sin αcos α＋cos2α＝1－sin 2α＝，则sin α－cos α＝.
5．(2018·安阳二模)若＝3，则cos α－2sin α＝(　　)
A．－1 B．1
C．－ D．－1或－
解析：选C　由已知得sin α≠0，且3sin α＝1＋cos α＞0，即cos α＝3sin α－1，则cos2α＝1－sin2α＝(3sin α－1)2，解得sin α＝，∴cos α－2sin α＝3sin α－1－2sin α＝sin α－1＝－，故选C.
6．(2019·晋城一模)若|sin θ|＋|cos θ|＝，则sin4θ＋cos4θ＝(　　)
A. B.
C. D.
解析：选B　将|sin θ|＋|cos θ|＝两边平方，得1＋|sin 2θ|＝，∴|sin 2θ|＝，∴sin4θ＋cos4θ＝(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ＝1－2sin2θcos2θ＝1－sin22θ＝1－×2＝，故选B.
7．已知＝5，则cos2α＋sin 2α的值是________．
解析：∵＝＝5，解得tan α＝2，∴cos2α＋sin 2α＝cos2α＋sin αcos α＝＝＝＝.
答案：
8．已知θ∈，且＋＝35，则tan θ＝________.
解析：依题意得12(sin θ＋cos θ)＝35sin θcos θ，令sin θ＋cos θ＝t，∵θ∈，∴t＞0，则原式化为12t＝35·，解得t＝，故sin θ＋cos θ＝，则sin θcos θ＝，即＝，即＝，12tan2θ－25tan θ＋12＝0，解得tan θ＝或.
答案：或
9．已知α为第三象限角，
f(α)＝.
(1)化简f(α)；
(2)若cos＝，求f(α)的值．
解：(1)f(α)＝
＝＝－cos α.
(2)∵cos＝，
∴－sin α＝，
从而sin α＝－.
又α为第三象限角，
∴cos α＝－＝－，
∴f(α)＝－cos α＝.
10．是否存在α∈，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝cos，cos(－α)＝－cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由．
解：假设存在角α，β满足条件．
由已知条件可得
由①2＋②2，得sin2α＋3cos2α＝2.
∴sin2α＝，∴sin α＝±.
∵α∈，∴α＝±.
当α＝时，由②式知cos β＝，
又β∈(0，π)，∴β＝，此时①式成立；
当α＝－时，由②式知cos β＝，
又β∈(0，π)，∴β＝，此时①式不成立，故舍去．
∴存在α＝，β＝满足条件．
二、专项培优练
(一)易错专练——不丢怨枉分
1．已知sin α＋cos α＝，α∈(0，π)，则＝(　　)
A．－ B.
C. D．－
解析：选A　因为sin α＋cos α＝，
所以(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝，
所以sin αcos α＝－，又因为α∈(0，π)，
所以sin α＞0，cos α＜0，所以cos α－sin α＜0，
因为(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×＝，
所以cos α－sin α＝－，
所以＝＝＝＝－.
2．(2019·重庆六校联考)已知θ是第四象限角，且sin＝，则tan＝(　　)
A. B．－
C．－ D.
解析：选B　∵θ是第四象限角，∴2kπ－＜θ＜2kπ，k∈Z，
∴2kπ－＜θ＋＜2kπ＋，k∈Z，∴cos＞0，
∵sin＝，∴cos＝ ＝，cos＝cos＝cos＝sin＝，sin＝sin＝cos＝，∴sin＝－sin＝－，∴tan＝＝－.
3．已知sin α＝，则tan(α＋π)＋＝________.
解析：tan(α＋π)＋＝tan α＋＝＋＝.
∵sin α＝＞0，
∴α为第一或第二象限角．
当α为第一象限角时，cos α＝＝，
则原式＝＝；
当α为第二象限角时，cos α＝－＝－，
则原式＝＝－.
答案：±
(二)交汇专练——融会巧迁移
4．[与集合交汇]A＝{sin α，cos α，1}，B＝{sin2α，sin α＋cos α，0}，且A＝B，则sin2 019α＋cos2 018α＝(　　)
A．0 B．1
C．－1 D．±1
解析：选C　当sin α＝0时，sin2α＝0，此时集合B中不符合集合元素的互异性，故舍去；当cos α＝0时，A＝{sin α，0,1}，B＝{sin2α，sin α，0}，此时sin2α＝1，得sin α＝－1，所以sin2 019α＋cos2 018α＝－1.
5．[与直线的倾斜角交汇]已知θ为直线y＝3x－5的倾斜角，若A(cos θ，sin θ)，B(2cos θ＋sin θ，5cos θ－sin θ)，则直线AB的斜率为(　　)
A．3 B．－4
C. D．－
解析：选D　由题意知tan θ＝3，kAB＝＝＝－.故选D.
6．[与不等式交汇]已知θ∈[0，π)，若对任意的x∈[－1,0]，不等式x2cos θ＋(x＋1)2sin θ＋x2＋x＞0恒成立，则实数θ的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
解析：选A　令f(x)＝(cos θ＋sin θ＋1)x2＋(2sin θ＋1)x＋sin θ，由θ∈[0，π)知cos θ＋sin θ＋1＞0恒成立，
若f(x)＞0在[－1,0]上恒成立，
只需满足⇒
解得θ∈.
7．[与一元二次方程交汇]已知关于x的方程2x2－(＋1)x＋m＝0的两根分别是sin θ和cos θ，θ∈(0,2π)，求：
(1)＋的值；
(2)m的值；
(3)方程的两根及此时θ的值．
解：(1)原式＝＋
＝＋
＝＝sin θ＋cos θ.
由条件知sin θ＋cos θ＝，
故＋＝.
(2)由已知，得sin θ＋cos θ＝，sin θcos θ＝，
又1＋2sin θcos θ＝(sin θ＋cos θ)2，可得m＝.
(3)由
得或
又θ∈(0,2π)，故θ＝或θ＝.
8．[与三角形交汇]在△ABC中，
(1)求证：cos2＋cos2＝1；
(2)若cossintan(C－π)＜0，求证：△ABC为钝角三角形．
证明：(1)在△ABC中，A＋B＝π－C，所以＝－，
所以cos＝cos＝sin，
所以cos2＋cos2＝1.
(2)因为cossintan(C－π)＜0，
所以(－sin A)(－cos B)tan C＜0，
即sin Acos Btan C＜0.
因为在△ABC中，0＜A＜π，0＜B＜π，0＜C＜π且sin A＞0，
所以或
所以B为钝角或C为钝角，所以△ABC为钝角三角形．