2020版高考数学（文）新创新一轮复习通用版讲义：第四章第六节　三角函数图象与性质的综合问题

第六节　三角函数图象与性质的综合问题
三角函数的图象与性质是每年高考命题的热点，除考查基本问题外，还常涉及求参数范围问题，多为压轴小题；在综合问题中，常考查三角函数图象的变换和性质、三角恒等变换、零点、不等式等的交汇创新问题．


三角函数图象与性质中的参数范围问题
　　策略一：针对选择题特事特办，选择题中关于三角函数的图象和性质的问题是多年来高考的热点，三角函数试题常涉及函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0，A>0)的图象的单调性、对称性、周期等问题．一般来说：
(1)若函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0，A>0)有两条对称轴x＝a，x＝b，则有|a－b|＝＋(k∈Z)；
(2)若函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0，A>0)有两个对称中心M(a,0)，N(b,0)，则有|a－b|＝＋(k∈Z)；
(3)若函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0，A>0)有一条对称轴x＝a，一个对称中心M(b,0)，则有|a－b|＝＋(k∈Z)．
策略二：研究函数在某一特定区间的单调性，若函数仅含有一个参数的时候，利用导数的正负比较容易控制，但对于函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0，A>0)含多个参数，并且具有周期性，很难解决，所以必须有合理的等价转化方式才能解决．
[典例]　(2016·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，x＝－为f(x)的零点，x＝为y＝f(x)图象的对称轴，且f(x)在上单调，则ω的最大值为(　　)
A．11　　　　　　　　 B．9
C．7 D．5
[思路点拨]　本题条件较多，事实上从题型特征的角度来看，若选择题的已知条件越多，那么意味着可用来排除选项的依据就越多，所谓正面求解也是在不断缩小的范围内与条件进行对比验证．
[解题观摩]　法一：排除法
由f＝0得，－ω＋φ＝kπ(k∈Z)，φ＝kπ＋ω.
当ω＝5时，k只能取－1，φ＝，f(x)＝sin，则f＝－1，x＝是函数图象的对称轴，符合题意；当x∈时，5x＋∈，这个区间不含π(n∈Z)中的任何一个，函数f(x)在上单调，符合题意．
当ω＝7时，k只能取－2，φ＝－，f(x)＝sin，则f＝－1，x＝是函数图象的对称轴，符合题意；当x∈时，7x－∈，这个区间含有，则函数f(x)在上不可能单调，不符合题意．
当ω＝9时，k只能取－2，φ＝，f(x)＝sin，则f＝1，x＝是函数图象的对称轴，符合题意；当x∈时，9x＋∈，这个区间不含π(n∈Z)中的任何一个，函数f(x)在上单调，符合题意．
当ω＝11时，k只能取－3，φ＝－，f(x)＝sin，则f＝1，x＝是函数图象的对称轴，符合题意；当x∈时，11x－∈，这个区间含有，则函数f(x)在上不可能单调，不符合题意．
综上，ω的最大值为9.故选B.
法二：特殊值法
从T＝，ω＝2k＋1(k∈N)来思考，ω需要最大值，只有从选项中的最大数开始，即从前往后一一验证：当ω＝11时，T＝，从单调区间的一个端点x＝往前推算，靠近的单调区间为，，容易看出0)的单调区间的特征，每个区间长度为，从靠近区间的特殊极值点开始把可能出现的单调区间找出来比较，只要“所求区间包含在单调区间内”即可．　　
[针对训练]
1．(2019·丹东教学质量监测)若函数f(x)＝2sin在区间和上都是单调递增函数，则实数x0的取值范围为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选B　由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，在原点附近的递增区间为－，，，因此解得≤x0≤，故选B.
2．已知函数f(x)＝Asin(2x＋φ)－的图象在y轴上的截距为1，且关于直线x＝对称，若对于任意的x∈，都有m2－3m≤f(x)，则实数m的取值范围为(　　)
A.　　　　　　　 B．[1,2]
C. D.
解析：选B　∵函数f(x)＝Asin(2x＋φ)－A>0,00，
所以当k＝0时，m取得最小值，且最小值为.
此时，g(x)＝sin.
因为x∈，所以2x＋∈.
当2x＋∈，即x∈时，g(x)单调递增，
当2x＋∈，即x∈时，g(x)单调递增．
综上，g(x)在区间上的单调递增区间是和.
[方法技巧]
三角函数图象与性质综合问题的解题策略
(1)图象变换问题
先根据和、差角公式、倍角公式把函数表达式变为正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)＋t或余弦型函数y＝Acos(ωx＋φ)＋t的形式，再进行图象变换．
(2)函数性质问题
求函数周期、最值、单调区间的方法步骤：
①利用公式T＝(ω>0)求周期；
②根据自变量的范围确定ωx＋φ的范围，根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值，另外求最值时，根据所给关系式的特点，也可换元转化为求二次函数的最值；
③根据正、余弦函数的单调区间列不等式求函数y＝Asin(ωx＋φ)＋t或y＝Acos(ωx＋φ)＋t的单调区间．　　
[针对训练]
设函数f(x)＝sin＋sin，其中0