2020版新设计一轮复习数学（理）江苏专版讲义：第四章第七节正弦定理和余弦定理

第七节正弦定理和余弦定理


1．正弦定理和余弦定理
定理
正弦定理
余弦定理
内容
＝＝＝2R(R为△ABC外接圆半径)
a2＝b2＋c2－2bccos A；
b2＝c2＋a2－2cacos B；
c2＝a2＋b2－2abcos_C
变形形式(边角转化)
a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；sin A＝，sin B＝，sin C＝；
a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C
cos A＝；
cos B＝；
cos C＝

2．三角形中常用的面积公式
(1)S＝ah(h表示边a上的高)；
(2)S＝bcsin A＝acsin B＝absin C；
(3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)．
[小题体验]
1．(2019·启东中学检测)在△ABC中，A＝30°，AC＝2，BC＝2，则AB＝________.
答案：2或4
2．在△ABC中，A＝45°，C＝30°，c＝6，则a＝________.
答案：6
3．(2019·淮安调研)在△ABC中，若A＝60°，AC＝2，BC＝2，则△ABC的面积为________．
解析：在△ABC中，A＝60°，AC＝2，BC＝2，
由余弦定理，得cos A＝＝，
代入数据化简得AB2－2AB－4＝0，
解得AB＝＋(负值舍去)．
故△ABC的面积S＝AB·AC·sin A＝3＋.
答案：3＋

1．由正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角时易忽视解的判断．
2．在判断三角形形状时，等式两边一般不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．
3．利用正、余弦定理解三角形时，要注意三角形内角和定理对角的范围的限制．
[小题纠偏]
1．在△ABC中，若a＝18，b＝24，A＝45°，则此三角形解的情况为________．
解析：因为＝，
所以sin B＝sin A＝sin 45°＝.
又因为a＜b，所以B有两个解，
即此三角形有两解．
答案：两解
2．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝，sin B＝，C＝，则b＝________.
解析：在△ABC中，
因为sin B＝，0＜B＜π，
所以B＝或B＝.
又因为B＋C＜π，C＝，所以B＝，
所以A＝.
因为＝，所以b＝＝1.
答案：1

　
[典例引领]
　(2018·南京高三年级学情调研)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cos B＝.
(1)若c＝2a，求的值；
(2)若C－B＝，求sin A的值．
解：(1)法一：在△ABC中，
由余弦定理得cos B＝＝.
因为c＝2a，所以＝，
即＝，
所以＝.
又由正弦定理得＝，
所以＝.
法二：因为cos B＝，B∈(0，π)，
所以sin B＝＝.
因为c＝2a，由正弦定理得sin C＝2sin A，
所以sin C＝2sin(B＋C)＝cos C＋sin C，
即－sin C＝2cos C.
又因为sin2C＋cos2C＝1，sin C＞0，解得sin C＝，
所以＝.
(2)因为cos B＝，所以cos 2B＝2cos2B－1＝.
又0＜B＜π，
所以sin B＝＝，
所以sin 2B＝2sin Bcos B＝2××＝.
因为C－B＝，即C＝B＋，
所以A＝π－(B＋C)＝－2B，
所以sin A＝sin＝sin cos 2B－cos sin 2B＝×－×＝.
[由题悟法]
1．正、余弦定理适用类型
解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．
2．判断三角形解的个数的注意点
已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．
[即时应用]
1．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin A＝，a＝3， S△ABC＝2，则b的值为________．
解析：因为S△ABC＝bcsin A＝2，
所以bc＝6，又因为sin A＝，所以cos A＝，
又a＝3，由余弦定理得9＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋c2－4，b2＋c2＝13，
可得b＝2或b＝3.
答案：2或3
2．(2018·苏州高三期中调研)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知sin B＋sin C＝msin A(m∈R)，且a2－4bc＝0.
(1)当a＝2，m＝时，求b，c的值；
(2)若角A为锐角，求m的取值范围．
解：由题意得b＋c＝ma，a2－4bc＝0.
(1)当a＝2，m＝时，b＋c＝，bc＝1，
解得或
(2)cos A＝＝
＝＝2m2－3，
因为A为锐角，所以cos A＝2m2－3∈(0,1)，
所以＜m2＜2，
又由b＋c＝ma，可得m＞0，
所以＜m＜，即m的取值范围为.
　
[典例引领]
在△ABC中，内角A，B，C所对边分别是a，b，c，若sin2 ＝，则△ABC的形状一定是________．
解析：由题意，得＝，即cos B＝，又由余弦定理，得＝，整理得a2＋b2＝c2，所以△ABC为直角三角形．
答案：直角三角形
[类题通法]
判定三角形形状的2种常用途径

[提醒]　在判断三角形形状时一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件．另外，在变形过程中要注意角A，B，C的范围对三角函数值的影响．
[即时应用]
1．(2019·宿迁期中)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c＝2acos B，则△ABC的形状为______________．
解析：∵c＝2acos B，
∴由正弦定理，得sin C＝sin(A＋B)＝2sin Acos B，
即sin Acos B＋cos Asin B＝2sin Acos B，
∴sin Acos B＝cos Asin B，可得tan A＝tan B，
又0＜A＜π，0＜B＜π，∴A＝B，
故△ABC的形状为等腰三角形．
答案：等腰三角形
2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＝，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，则△ABC的形状为________．
解析：因为＝，所以＝，所以b＝c.
又(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，所以b2＋c2－a2＝bc，
所以cos A＝＝＝.
因为A∈(0，π)，所以A＝，所以△ABC是等边三角形．
答案：等边三角形
　
[典例引领]
(2018·徐州高三年级期中考试)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＋2c＝2bcos A.
(1)求角B的大小；
(2)若b＝2，a＋c＝4，求△ABC的面积．
解：(1)因为a＋2c＝2bcos A，
由正弦定理，得sin A＋2sin C＝2sin Bcos A.
因为C＝π－(A＋B)，
所以sin A＋2sin(A＋B)＝2sin Bcos A.
即sin A＋2sin Acos B＋2cos Asin B＝2sin Bcos A，
所以sin A(1＋2cos B)＝0.
因为sin A≠0，所以cos B＝－.
又因为0＜B＜π，所以B＝.
(2)由余弦定理a2＋c2－2accos B＝b2及b＝2，
得a2＋c2＋ac＝12，即(a＋c)2－ac＝12.
又因为a＋c＝4，所以ac＝4，
所以S△ABC＝acsin B＝×4×＝.
[由题悟法]
三角形面积公式的应用原则
(1)对于面积公式S＝absin C＝acsin B＝bcsin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．
(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．
[即时应用]
　(2018·镇江高三期末)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos A＋acos B＝－2ccos C.
(1)求C的大小；
(2)若b＝2a，且△ABC的面积为2，求c的值．
解：(1)由正弦定理＝＝及bcos A＋acos B＝－2ccos C，
得sin Bcos A＋sin Acos B＝－2sin Ccos C，
所以sin(B＋A)＝－2sin Ccos C，
所以sin C＝－2sin Ccos C.
因为C∈(0，π)，所以sin C＞0，
所以cos C＝－，
所以C＝.
(2)因为△ABC的面积为2，
所以absin C＝2，所以ab＝8.
又b＝2a，所以a＝2，b＝4，
由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C＝22＋42－2×2×4×＝28，
所以c＝2.

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1．(2019·泰州模拟)在△ABC中，BC＝3，B－A＝，且cos B＝－，则AC＝________.
解析：∵B－A＝，∴cos B＝cos＝－sin A＝－，∴sin A＝，sin B＝.
∴由正弦定理，得AC＝＝＝4.
答案：4
2．(2018·姜堰中学测试)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2＋ c2，则＝________.
解析：由已知及余弦定理得cos B＝＝＝，所以＝.
答案：
3．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边．若bsin A＝3csin B，a＝3， cos B＝，则b＝________.
解析：bsin A＝3csin B⇒ab＝3bc⇒a＝3c⇒c＝1，
所以b2＝a2＋c2－2accos B＝9＋1－2×3×1×＝6，b＝.
答案：
4．在△ABC中，AB＝3，BC＝，AC＝4，则边AC上的高为________．
解析：由题意得cos A＝＝，
所以sin A＝ ＝，
所以边AC上的高h＝ABsin A＝.
答案：
5．(2019·如东调研)设△ABC中的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＋b＝2，c＝3，C＝，则△ABC的面积为________．
解析：由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C＝(a＋b)2－ab，即9＝12－ab，故ab＝3，
则S△ABC＝absin C＝.
答案：
6．(2018·苏锡常镇一调)若一个钝角三角形的三内角成等差数列，且最大边与最小边之比为m，则实数m的取值范围是________．
解析：由三角形的三个内角成等差数列，得中间角为60°.设最小角为α，则最大角为120°－α，其中0°＜α＜30°.由正弦定理得m＝＝·＋＞×＋＝2.
答案：(2，＋∞)
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1．在△ABC中，2acos A＋bcos C＋ccos B＝0，则角A的大小为________．
解析：由余弦定理得2acos A＋b·＋c·＝0，即2acos A＋a＝0，
所以cos A＝－，A＝120°.
答案：120°
2．(2018·海门中学检测)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2＋b2－c2＝ab＝，则△ABC的面积为________．
解析：依题意得cos C＝＝，即C＝60°，因此△ABC的面积等于absin C＝ ××＝.
答案：
3．(2019·镇江调研)已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A＝60°，a＝，c＝4，则b＝________.
解析：∵A＝60°，a＝，c＝4，
∴由余弦定理，得13＝b2＋16－8bcos 60°，
即b2－4b＋3＝0，
解得b＝1或3.
答案：1或3
4．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且(b－c)(sin B＋sin C)＝(a－c)sin A，则角B的大小为____．
解析：由正弦定理＝＝及(b－c)·(sin B＋sin C)＝(a－c)sin A得(b－c)(b＋c)＝(a－c)a，即b2－c2＝a2－ac，所以a2＋c2－b2＝ac，又因为cos B＝，所以cos B＝，所以B＝30°.
答案：30°
5．已知△ABC中，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若A＝，b＝2acos B，c＝1，则△ABC的面积等于________．
解析：由正弦定理得sin B＝2sin Acos B，
故tan B＝2sin A＝2sin＝，又B∈(0，π)，所以B＝.
故A＝B＝，则△ABC是正三角形，
所以S△ABC＝bcsin A＝×1×1×＝.
答案：
6．(2019·无锡调研)在△ABC中，C＝，BC＝a，AC＝b，且a，b是方程x2－13x＋40＝0的两根，则AB＝________.
解析：∵a，b是方程x2－13x＋40＝0的两根，
∴a＋b＝13，ab＝40，
由余弦定理，得AB2＝a2＋b2－2abcos C＝(a＋b)2－3ab＝132－3×40＝49，
则AB＝7.
答案：7
7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若asin Asin B＋bcos2A＝a，则＝________.
解析：因为asin Asin B＋bcos2A＝a，由正弦定理得sin Asin Asin B＋sin Bcos2A＝ sin A，所以sin B＝sin A，所以＝＝.
答案：
8．(2019·苏州一模)已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，则＋的值为________．
解析：∵A，B，C成等差数列，∴2B＝A＋C，
又A＋B＋C＝π，∴B＝，
由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－ac，
故＋＝＝
＝＝＝1.
答案：1
9．(2018·苏锡常镇调研)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知acos B＝3，bcos A＝1，且A－B＝.
(1)求c的长；
(2)求B的大小．
解：(1) 法一：在△ABC中，acos B＝3，
由余弦定理，得a·＝3，即a2＋c2－b2＝6c. ①
由bcos A＝1，得b·＝1，即b2＋c2－a2＝2c. ②
①＋②得2c2＝8c，所以c＝4.
法二：因为在△ABC中，A＋B＋C＝π，
则sin Acos B＋sin Bcos A＝sin(A＋B)＝sin C，
由正弦定理，得sin A＝，sin B＝，
代入上式得，c＝acos B＋bcos A＝3＋1＝4.
(2)由正弦定理得＝＝＝3.
又tan(A－B)＝＝＝，
解得tan B＝，又B∈(0，π)，所以B＝.
10．(2019·盐城期中)在△ABC中，设内角A，B，C的对边分别为a，b，c.且sin＋sin＝.
(1)求角C的大小；
(2)若c＝3且sin A＝2sin B，求△ABC的面积．
解：(1)由sin＋sin＝，
得(cos C－sin C)＋(cos C＋sin C)＝，
∴cos C＝，
又0＜C＜π，∴C＝.
(2)由c＝3且sin A＝2sin B，可得a＝2b，
由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2abcos C
＝4b2＋b2－4b2×＝3b2＝27，
∴b＝3，a＝6，
则△ABC的面积为S＝absin C＝×6×3×＝.
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1．已知在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若sin(B－A)＋sin(B＋A)＝3sin 2A，且c＝，C＝，则△ABC的面积是________．
解析：由sin(B－A)＋sin(B＋A)＝3sin 2A，得2sin Bcos A＝6sin Acos A，所以cos A＝0或sin B＝3sin A.
若cos A＝0，则A＝，在Rt△ABC中，C＝，
所以b＝＝，此时△ABC的面积S＝bc＝××＝；
若sin B＝3sin A，即b＝3a，由余弦定理得7＝a2＋9a2－2·a·3a·，得a＝1，所以b＝3，此时△ABC的面积S＝absin C＝×1×3×＝.
答案：或
2．(2019·苏州高三期中调研)设△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，D为AB的中点，若b＝acos C＋csin A且CD＝，则△ABC面积的最大值是________．
解析：由b＝acos C＋csin A及正弦定理可得sin B＝sin Acos C＋sin Csin A，所以sin(A＋C)＝sin Acos C＋sin Csin A，化简可得sin A＝cos A，所以A＝.在△ACD中，由余弦定理可得CD2＝2＝b2＋－2b··cos A≥bc－bc，当且仅当b＝时取“＝”，所以bc≤4＋2，所以△ABC的面积S＝bcsin A＝bc≤＋1，所以△ABC面积的最大值是＋1.
答案：＋1
3．(2018·苏州模拟)如图所示，在四边形ABCD中，∠D＝2∠B，且AD＝1，CD＝3，cos∠B＝.
(1)求△ACD的面积；
(2)若BC＝2，求AB的长．
解：(1)因为∠D＝2∠B，cos∠B＝，
所以cos∠D＝cos 2∠B＝2cos2B－1＝－.
因为∠D∈(0，π)，
所以sin∠D＝＝.
因为AD＝1，CD＝3，
所以△ACD的面积
S＝AD·CD·sin∠D＝×1×3×＝.
(2)在△ACD中，
AC2＝AD2＋DC2－2AD·DC·cos∠D＝12，
所以AC＝2.
因为BC＝2，＝，
所以＝＝＝＝，
所以AB＝4.