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2020版高考数学（文）新设计一轮复习通用版讲义：第四章第七节正弦定理和余弦定理
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第七节正弦定理和余弦定理
一、基础知识批注——理解深一点
1．正弦定理
＝＝＝2R(R为△ABC外接圆的半径)．
正弦定理的常见变形
(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；
(2)sin A＝，sin B＝，sin C＝；
(3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；
(4)＝.
2．余弦定理
a2＝b2＋c2－2bccos A；
b2＝c2＋a2－2cacos B；
c2＝a2＋b2－2abcos C.
余弦定理的常见变形
(1)cos A＝；
(2)cos B＝；
(3)cos C＝.
3．三角形的面积公式
(1)S△ABC＝aha(ha为边a上的高)；
(2)S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B；
(3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)．
二、常用结论汇总——规律多一点
1．三角形内角和定理
在△ABC中，A＋B＋C＝π；变形：＝－.
2．三角形中的三角函数关系
(1)sin(A＋B)＝sin C；(2)cos(A＋B)＝－cos C；
(3)sin＝cos；(4)cos＝sin.
3．三角形中的射影定理
在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；b＝acos C＋ccos A；c＝bcos A＋acos B.
4．用余弦定理判断三角形的形状
在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，当b2＋c2－a2>0时，可知A为锐角；当b2＋c2－a2＝0时，可知A为直角；当b2＋c2－a2<0时，可知A为钝角．
三、基础小题强化——功底牢一点
(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．( )
(2)在△ABC中，若sin A>sin B，则A>B.( )
(3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．( )
(4)当b2＋c2－a2>0时，三角形ABC为锐角三角形．( )
(5)在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积．( )
答案：(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)√
(二)选一选
1．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A＝，B＝，a＝1，则b＝( )
A．2 B．1
C. D.
解析：选D 由正弦定理，得b＝＝＝.
2．(2018·全国卷Ⅱ改编)在△ABC中，cos C＝－，BC＝1，AC＝5，则AB＝( )
A．4 B.
C. D．2
解析：选A 在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos C＝52＋12－2×5×1×＝32，
∴AB＝＝4.
3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝18，b＝24，A＝45°，则此三角形解的情况为( )
A．无解 B．有两解
C．有一解 D．解的个数不确定
解析：选B ∵＝，
∴sin B＝sin A＝sin 45°＝.
又∵a
(三)填一填
4．(2017·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知C＝60°，b＝，c＝3，则A＝________.
解析：由正弦定理，得sin B＝＝＝，
因为0°＜B＜180°，且b＜c，所以B＜C，故B＝45°，
所以A＝180°－60°－45°＝75°.
答案：75°
5．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c＝5，B＝，△ABC的面积为，则b＝________.
解析：由三角形的面积公式，得S△ABC＝acsin B＝×a×5×sin＝a＝，解得a＝3.由b2＝a2＋c2－2accos B＝32＋52－2×3×5×＝49，得b＝7.
答案：7
第一课时 正弦定理和余弦定理(一)
考点一 利用正、余弦定理解三角形
考法(一) 正弦定理解三角形
[典例] (1)(2019·江西重点中学联考)在△ABC中，a＝3，b＝2，A＝30°，则cos B＝________.
(2)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝，sin B＝，C＝，则b＝________.
[解析] (1)由正弦定理可得sin B＝＝＝，∵a＝3>b＝2，∴B
又∵C＝，∴B＝，A＝π－B－C＝.
又a＝，由正弦定理得＝，
即＝，解得b＝1.
[答案] (1) (2)1
[解题技法]
1．利用正弦定理解决的2类问题及其解题步骤
已知两角及一边，如A，B，a
①由A＋B＋C＝180°，求出C；
②根据正弦定理，得＝及＝，求出边b，c
已知两边及其中一边所对的角，如a，b，A
①根据正弦定理＝计算出sin B，经讨论求B；
②求出B后，由A＋B＋C＝180°，求出C；
③再根据正弦定理＝，求出边c
2．利用正弦定理解三角形的2个易误点
(1)应用正弦定理求角时容易出现增解或漏解的错误，要根据条件和三角形的限制条件合理取舍．
(2)求角时易忽略角的范围而导致错误，需要根据大边对大角，大角对大边的规则，画图帮助判断．
考法(二) 余弦定理解三角形
[典例] (1)(2019·山西五校联考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos A＋acos B＝c2，a＝b＝2，则△ABC的周长为( )
A．7.5 B．7
C．6 D．5
(2)(2018·泰安二模)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝，则角B＝________.
[解析] (1)∵bcos A＋acos B＝c2，∴由余弦定理可得b·＋a·＝c2，整理可得2c2＝2c3，解得c＝1，则△ABC的周长为a＋b＋c＝2＋2＋1＝5.
(2)由正弦定理可得＝＝，
∴c2－b2＝ac－a2，∴c2＋a2－b2＝ac，
∴cos B＝＝，∵0
[解题技法]
利用余弦定理解决的2类问题及其解题步骤
已知两边和它们的夹角，如a，b，C
①根据余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C，求出边c；
②根据cos A＝，求出A；
③根据B＝180°－(A＋C)，求出B.
求出第三边后，也可用正弦定理求角，这样往往可以使计算简便，应用正弦定理求角时，为了避开讨论(因为正弦函数在区间(0，π)上是不单调的)，应先求较小边所对的角，它必是锐角
已知三边
可以连续用余弦定理求出两角，常常是分别求较小两边所对的角，再由A＋B＋C＝180°，求出第三个角；
由余弦定理求出一个角后，也可以根据正弦定理求出第二个角，但仍然是先求较小边所对的角
斜三角形把我问，两个定理有区分；
余弦定理多见边，正弦定理角必现；
边边角，解难辨，正弦值，先计算；
边角会聚综合题，正弦定理来统一．
[题组训练]
1.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b2＝ac，c＝2a，则cos C＝( )
A. B．－
C. D．－
解析：选B 由题意得，b2＝ac＝2a2，
即b＝a，∴cos C＝＝＝－.
2.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sin B＋sin A(sin C－cos C)＝0，a＝2，c＝，则C＝( )
A. B.
C. D.
解析：选B 因为sin B＋sin A(sin C－cos C)＝0，
所以sin(A＋C)＋sin Asin C－sin Acos C＝0，
所以sin Acos C＋cos Asin C＋sin Asin C－sin Acos C＝0，整理得sin C(sin A＋cos A)＝0.因为sin C≠0，
所以sin A＋cos A＝0，所以tan A＝－1，
因为A∈(0，π)，所以A＝，
由正弦定理得sin C＝＝＝，
又0＜C＜，所以C＝.
3.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sin2B＋sin2C＝sin2A＋sin Bsin C.
(1)求角A的大小；
(2)若cos B＝，a＝3，求c的值．
解：(1)由正弦定理可得b2＋c2＝a2＋bc，
由余弦定理得cos A＝＝，
因为A∈(0，π)，所以A＝.
(2)由(1)可知sin A＝，
因为cos B＝，B为△ABC的内角，所以sin B＝，
故sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B
＝×＋×＝.
由正弦定理＝得
c＝＝＝1＋.
[典例] (1)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不确定
(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＝，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，则△ABC的形状为( )
A．直角三角形 B．等腰非等边三角形
C．等边三角形 D．钝角三角形
[解析] (1)法一：因为bcos C＋ccos B＝asin A，
由正弦定理知sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin Asin A，
得sin(B＋C)＝sin Asin A.
又sin(B＋C)＝sin A，得sin A＝1，
即A＝，因此△ABC是直角三角形．
法二：因为bcos C＋ccos B＝b·＋c·＝＝a，所以asin A＝a，即sin A＝1，故A＝，因此△ABC是直角三角形．
(2)因为＝，所以＝，所以b＝c.
又(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，所以b2＋c2－a2＝bc，
所以cos A＝＝＝.
因为A∈(0，π)，所以A＝，所以△ABC是等边三角形．
[答案] (1)B (2)C
[变透练清]
1.若本例(1)条件改为“asin A＋bsin B
所以△ABC是钝角三角形．
答案：钝角三角形
2.若本例(1)条件改为“c－acos B＝(2a－b)cos A”，那么△ABC的形状为________．
解析：因为c－acos B＝(2a－b)cos A，
C＝π－(A＋B)，
所以由正弦定理得sin C－sin Acos B＝2sin Acos A－sin B·cos A，
所以sin Acos B＋cos Asin B－sin Acos B＝2sin Acos A－sin Bcos A，
所以cos A(sin B－sin A)＝0，
所以cos A＝0或sin B＝sin A，
所以A＝或B＝A或B＝π－A(舍去)，
所以△ABC为等腰或直角三角形．
答案：等腰或直角三角形
3.若本例(2)条件改为“＝＝”，那么△ABC的形状为________．
解析：因为＝，由正弦定理得＝，所以sin 2A＝sin 2B.由＝，可知a≠b，所以A≠B.又因为A，B∈(0，π)，所以2A＝π－2B，即A＋B＝，所以C＝，于是△ABC是直角三角形．
答案：直角三角形
[解题技法]
1．判定三角形形状的2种常用途径
2．判定三角形的形状的注意点
在判断三角形的形状时一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件．另外，在变形过程中要注意角A，B，C的范围对三角函数值的影响，在等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．
A级——保大分专练
1．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若＝，则B的大小为( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
解析：选B 由正弦定理知，＝，
∴sin B＝cos B，∴B＝45°.
2．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形的解的情况是( )
A．有一解 B．有两解
C．无解 D．有解但解的个数不确定
解析：选C 由正弦定理得＝，
∴sin B＝＝＝>1.
∴角B不存在，即满足条件的三角形不存在．
3．(2018·重庆六校联考)在△ABC中，cos B＝(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为( )
A．直角三角形 B．等边三角形
C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形
解析：选A 因为cos B＝，由余弦定理得＝，整理得b2＋a2＝c2，即C为直角，则△ABC为直角三角形．
4．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边．若bsin A＝3csin B，a＝3， cos B＝，则b＝( )
A．14 B．6
C. D.
解析：选D ∵bsin A＝3csin B⇒ab＝3bc⇒a＝3c⇒c＝1，∴b2＝a2＋c2－2accos B＝9＋1－2×3×1×＝6，∴b＝.
5．(2019·莆田调研)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若asin Bcos C＋csin Bcos A＝b，且a>b，则B＝( )
A. B.
C. D.
解析：选A ∵asin Bcos C＋csin Bcos A＝b，∴根据正弦定理可得sin Asin Bcos C＋sin Csin Bcos A＝sin B，即sin B(sin Acos C＋sin Ccos A)＝sin B．∵sin B≠0，∴sin(A＋C)＝，即sin B＝.∵a>b，∴A>B，即B为锐角，∴B＝.
6．(2019·山西大同联考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2(bcos A＋acos B)＝c2，b＝3,3cos A＝1，则a＝( )
A. B．3
C. D．4
解析：选B 由正弦定理可得2(sin Bcos A＋sin Acos B)＝csin C，
∵2(sin Bcos A＋sin Acos B)＝2sin(A＋B)＝2sin C，
∴2sin C＝csin C，∵sin C>0，∴c＝2，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝32＋22－2×3×2×＝9，∴a＝3.
7．在△ABC中，AB＝，A＝75°，B＝45°，则AC＝________.
解析：C＝180°－75°－45°＝60°，
由正弦定理得＝，
即＝，解得AC＝2.
答案：2
8．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2，cos C＝－，3sin A＝2sin B，则c＝________.
解析：∵3sin A＝2sin B，∴3a＝2b.
又∵a＝2，∴b＝3.
由余弦定理可知c2＝a2＋b2－2abcos C，
∴c2＝22＋32－2×2×3×＝16，∴c＝4.
答案：4
9．(2018·浙江高考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝，b＝2，A＝60°，则sin B＝________，c＝________.
解析：由正弦定理＝，
得sin B＝·sin A＝×＝.
由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，
得7＝4＋c2－4c×cos 60°，
即c2－2c－3＝0，解得c＝3或c＝－1(舍去)．
答案： 3
10．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，sin A，sin B，sin C成等差数列，且a＝2c，则cos A＝________.
解析：因为sin A，sin B，sin C成等差数列，所以2sin B＝sin A＋sin C．由正弦定理得a＋c＝2b，又因为a＝2c，可得b＝c，所以cos A＝＝＝－.
答案：－
11．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A＝2B.
(1)求证：a＝2bcos B；
(2)若b＝2，c＝4，求B的值．
解：(1)证明：因为A＝2B，所以由正弦定理＝，得＝，
所以a＝2bcos B.
(2)由余弦定理，a2＝b2＋c2－2bccos A，
因为b＝2，c＝4，A＝2B，
所以16cos2B＝4＋16－16cos 2B，所以cos2B＝，
因为A＋B＝2B＋B<π，
所以B<，所以cos B＝，所以B＝.
12．(2019·绵阳模拟)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asin A＝(2b＋c)sin B＋(2c＋b)sin C.
(1)求A的大小；
(2)若sin B＋sin C＝1，试判断△ABC的形状．
解：(1)由已知，结合正弦定理，
得2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，即a2＝b2＋c2＋bc.
又由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos A，
所以bc＝－2bccos A，即cos A＝－.
由于A为△ABC的内角，所以A＝.
(2)由已知2asin A＝(2b＋c)sin B＋(2c＋b)sin C，
结合正弦定理，得2sin2A＝(2sin B＋sin C)sin B＋(2sin C＋sin B)sin C，
即sin2A＝sin2B＋sin2C＋sin Bsin C＝sin2＝.
又由sin B＋sin C＝1，
得sin2B＋sin2C＋2sin Bsin C＝1，
所以sin Bsin C＝，结合sin B＋sin C＝1，
解得sin B＝sin C＝.
因为B＋C＝π－A＝，所以B＝C＝，
所以△ABC是等腰三角形．
B级——创高分自选
1．(2019·郑州质量预测)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若2cos2－cos 2C＝1,4sin B＝3sin A，a－b＝1，则c的值为( )
A. B.
C. D．6
解析：选A 由2cos2－cos 2C＝1，得1＋cos(A＋B)－(2cos2C－1)＝2－2cos2C－cos C＝1，即2cos2C＋cos C－1＝0，解得cos C＝或cos C＝－1(舍去)．由4sin B＝3sin A及正弦定理，得4b＝3a，结合a－b＝1，得a＝4，b＝3.由余弦定理，知c2＝a2＋b2－2abcos C＝42＋32－2×4×3×＝13，所以c＝.
2．(2019·长春模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c＝，＝，若sin(A－B)＋sin C＝2sin 2B，则a＋b＝________.
解析：∵＝＝，且由正弦定理可得a＝2Rsin A，c＝2Rsin C(R为△ABC的外接圆的半径)，∴cos C＝.∵C∈(0，π)，∴C＝.∵sin(A－B)＋sin C＝2sin 2B，sin C＝sin(A＋B)，∴2sin Acos B＝4sin Bcos B．当cos B＝0时，B＝，则A＝，∵c＝， ∴a＝1，b＝2，则a＋b＝3.当cos B≠0时，sin A＝2sin B，即a＝2b.∵cos C＝＝，∴b2＝1，即b＝1，∴a＝2，则a＋b＝3.综上，a＋b＝3.
答案：3
3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2acos C－c＝2b.
(1)求角A的大小；
(2)若c＝，角B的平分线BD＝，求a.
解：(1)2acos C－c＝2b⇒2sin Acos C－sin C＝2sin B⇒2sin Acos C－sin C＝2sin(A＋C)＝2sin Acos C＋2cos Asin C，
∴－sin C＝2cos Asin C，
∵sin C≠0，∴cos A＝－，
又A∈(0，π)，∴A＝.
(2)在△ABD中，由正弦定理得，＝，
∴sin∠ADB＝＝.
又∠ADB∈(0，π)，A＝，
∴∠ADB＝，∴∠ABC＝，∠ACB＝，b＝c＝，
由余弦定理，得a2＝c2＋b2－2c·b·cos A＝()2＋()2－2××cos＝6，∴a＝.
第二课时 正弦定理和余弦定理(二)
[典例] (1)(2019·广州调研)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b＝，c＝4，cos B＝，则△ABC的面积等于( )
A．3 B.
C．9 D.
(2)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若△ABC的面积为(a2＋c2－b2)，则B＝________.
[解析] (1)法一：由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，代入数据，得a＝3，又cos B＝，B∈(0，π)，所以sin B＝，所以S△ABC＝acsin B＝.
法二：由cos B＝，B∈(0，π)，得sin B＝，由正弦定理＝及b＝，c＝4，可得sin C＝1，所以C＝，所以sin A＝cos B＝，所以S△ABC＝bcsin A＝.
(2)由余弦定理得cos B＝，
∴a2＋c2－b2＝2accos B.
又∵S＝(a2＋c2－b2)，∴acsin B＝×2accos B，
∴tan B＝，∵B∈，∴B＝.
[答案] (1)B (2)
[变透练清]
1.本例(1)的条件变为：若c＝4，sin C＝2sin A，sin B＝，则S△ABC＝________.
解析：因为sin C＝2sin A，所以c＝2a，所以a＝2，所以S△ABC＝acsin B＝×2×4×＝.
答案：
2.本例(2)的条件不变，则C为钝角时，的取值范围是________．
解析：∵B＝且C为钝角，∴C＝－A>，∴0，
∴>＋×＝2，即>2.
答案：(2，＋∞)
3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，(2b－a)cos C＝ccos A.
(1)求角C的大小；
(2)若c＝3，△ABC的面积S＝，求△ABC的周长．
解：(1)由已知及正弦定理得(2sin B－sin A)cos C＝sin Ccos A，
即2sin Bcos C＝sin Acos C＋sin Ccos A＝sin(A＋C)＝sin B，
∵B∈(0，π)，∴sin B>0，∴cos C＝，
∵C∈(0，π)，∴C＝.
(2)由(1)知，C＝，故S＝absin C＝absin＝，
解得ab＝.
由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2abcos C＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab，
又c＝3，∴(a＋b)2＝c2＋3ab＝32＋3×＝25，得a＋b＝5.
∴△ABC的周长为a＋b＋c＝5＋3＝8.
[解题技法]
1．求三角形面积的方法
(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积．
(2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积．总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．
2．已知三角形面积求边、角的方法
(1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解．
(2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解．
[典例] (2018·广东佛山质检)如图，在平面四边形ABCD中，∠ABC＝，AB⊥AD，AB＝1.
(1)若AC＝，求△ABC的面积；
(2)若∠ADC＝，CD＝4，求sin∠CAD.
[解] (1)在△ABC中，由余弦定理得，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC，
即5＝1＋BC2＋BC，解得BC＝，
所以△ABC的面积S△ABC＝AB·BC·sin∠ABC＝×1××＝.
(2)设∠CAD＝θ，在△ACD中，由正弦定理得＝，
即＝， ①
在△ABC中，∠BAC＝－θ，∠BCA＝π－－＝θ－，
由正弦定理得＝，
即＝，②
①②两式相除，得＝，
即4＝sin θ，
整理得sin θ＝2cos θ.
又因为sin2θ＋cos2θ＝1，
所以sin θ＝，即sin∠CAD＝.
[解题技法]
与平面图形有关的解三角形问题的关键及思路
求解平面图形中的计算问题，关键是梳理条件和所求问题的类型，然后将数据化归到三角形中，利用正弦定理或余弦定理建立已知和所求的关系．
具体解题思路如下：
(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解；
(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果．
[提醒] 做题过程中，要用到平面几何中的一些知识点，如相似三角形的边角关系、平行四边形的一些性质，要把这些性质与正弦、余弦定理有机结合，才能顺利解决问题．
[题组训练]
1.如图，在△ABC中，D是边AC上的点，且AB＝AD,2AB＝BD，BC＝2BD，则sin C的值为________．
解析：设AB＝a，∵AB＝AD,2AB＝BD，BC＝2BD，
∴AD＝a，BD＝，BC＝.
在△ABD中，cos∠ADB＝＝，
∴sin∠ADB＝，∴sin∠BDC＝.
在△BDC中，＝，
∴sin C＝＝.
答案：
2.如图，在平面四边形ABCD中，DA⊥AB，DE＝1，EC＝，EA＝2，∠ADC＝，且∠CBE，∠BEC，∠BCE成等差数列．
(1)求sin∠CED；
(2)求BE的长．
解：设∠CED＝α.
因为∠CBE，∠BEC，∠BCE成等差数列，
所以2∠BEC＝∠CBE＋∠BCE，
又∠CBE＋∠BEC＋∠BCE＝π，所以∠BEC＝.
(1)在△CDE中，由余弦定理得EC2＝CD2＋DE2－2CD·DE·cos∠EDC，
即7＝CD2＋1＋CD，即CD2＋CD－6＝0，
解得CD＝2(CD＝－3舍去)．
在△CDE中，由正弦定理得＝，
于是sin α＝＝＝，即sin∠CED＝.
(2)由题设知0<α<，由(1)知cos α＝＝＝，又∠AEB＝π－∠BEC－α＝－α，
所以cos∠AEB＝cos＝coscos α＋sinsin α＝－×＋×＝.
在Rt△EAB中，cos∠AEB＝＝＝，所以BE＝4.
考点三 三角形中的最值、范围问题
[典例] (1)在△ABC中，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，A≠，sin C＋sin(B－A)＝sin 2A，则角A的取值范围为( )
A. B.
C. D.
(2)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos 2A＋cos 2B＝2cos 2C，则cos C的最小值为( )
A. B.
C. D．－
[解析] (1)在△ABC中，C＝π－(A＋B)，所以sin(A＋B)＋sin(B－A)＝sin 2A，即2sin Bcos A＝2sin Acos A，因为A≠，所以cos A≠0，所以sin B＝sin A，由正弦定理得，b＝a，所以A为锐角．又因为sin B＝sin A∈(0,1]，所以sin A∈，所以A∈.
(2)因为cos 2A＋cos 2B＝2cos 2C，所以1－2sin2A＋1－2sin2B＝2－4sin2C，得a2＋b2＝2c2，cos C＝＝≥＝，当且仅当a＝b时等号成立，故选C.
[答案] (1)B (2)C
[解题技法]
1．三角形中的最值、范围问题的解题策略
解与三角形中边角有关的量的取值范围时，主要是利用已知条件和有关定理，将所求的量用三角形的某个内角或某条边表示出来，结合三角形边角取值范围等求解即可．
2．求解三角形中的最值、范围问题的注意点
(1)涉及求范围的问题，一定要搞清已知变量的范围，利用已知的范围进行求解， 已知边的范围求角的范围时可以利用余弦定理进行转化．
(2)注意题目中的隐含条件，如A＋B＋C＝π，0
1．在钝角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，B为钝角，若acos A＝ bsin A，则sin A＋sin C的最大值为( )
A. B.
C．1 D.
解析：选B ∵acos A＝bsin A，由正弦定理可得，sin Acos A＝sin Bsin A，∵sin A≠0，∴cos A＝sin B，又B为钝角，∴B＝A＋，sin A＋sin C＝sin A＋sin(A＋B)＝sin A＋cos 2A＝sin A＋1－2sin2A＝－22＋，∴sin A＋sin C的最大值为.
2．(2018·哈尔滨三中二模)在△ABC中，已知c＝2，若sin2A＋sin2B－sin Asin B＝sin2C，则a＋b的取值范围为________．
解析：∵sin2A＋sin2B－sin Asin B＝sin2C，∴a2＋b2－ab＝c2，∴cos C＝＝，又∵C∈(0，π)，∴C＝.由正弦定理可得＝＝＝，∴a＝sin A，b＝sin B．又∵B＝－A，∴a＋b＝sin A＋sin B＝sin A＋sin＝4sin.又∵A∈，∴A＋∈，∴sin∈，∴a＋b∈(2,4]．
答案：(2,4]
3．已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＋＝.
(1)求b的值；
(2)若cos B＋sin B＝2，求△ABC面积的最大值．
解：(1)由题意及正、余弦定理得＋＝，整理得＝，所以b＝.
(2)由题意得cos B＋sin B＝2sin＝2，
所以sin＝1，
因为B∈(0，π)，所以B＋＝，所以B＝.
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B，
所以3＝a2＋c2－ac≥2ac－ac＝ac，
即ac≤3，当且仅当a＝c＝时等号成立．
所以△ABC的面积S△ABC＝acsin B＝ac≤，
当且仅当a＝c＝时等号成立．
故△ABC面积的最大值为.
考点四 解三角形与三角函数的综合应用
考法(一) 正、余弦定理与三角恒等变换
[典例] (2018·天津高考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知 bsin A＝acos.
(1)求角B的大小；
(2)设a＝2，c＝3，求b和sin(2A－B)的值．
[解] (1)在△ABC中，
由正弦定理＝，可得bsin A＝asin B.
又因为bsin A＝acos，
所以asin B＝acos，
即sin B＝cos B＋sin B，
所以tan B＝.
因为B∈(0，π)，所以B＝.
(2)在△ABC中，由余弦定理及a＝2，c＝3，B＝，
得b2＝a2＋c2－2accos B＝7，故b＝.
由bsin A＝acos，可得sin A＝.
因为a＜c，所以cos A＝.
所以sin 2A＝2sin Acos A＝，cos 2A＝2cos2A－1＝.
所以sin(2A－B)＝sin 2Acos B－cos 2Asin B
＝×－×＝.
考法(二) 正、余弦定理与三角函数的性质
[典例] (2018·辽宁五校联考)已知函数f(x)＝cos2x＋sin(π－x)cos(π＋x)－.
(1)求函数f(x)在[0，π]上的单调递减区间；
(2)在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知f(A)＝－1，a＝2，bsin C＝asin A，求△ABC的面积．
[解] (1)f(x)＝cos2x－sin xcos x－＝－sin 2x－＝－sin，
令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，又∵x∈[0，π]，
∴函数f(x)在[0，π]上的单调递减区间为和.
(2)由(1)知f(x)＝－sin，
∴f(A)＝－sin＝－1，
∵△ABC为锐角三角形，∴0
又∵bsin C＝asin A，∴bc＝a2＝4，
∴S△ABC＝bcsin A＝.
[解题技法]
解三角形与三角函数综合问题的一般步骤
[对点训练]
在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，(2a－c)cos B－bcos C＝0.
(1)求角B的大小；
(2)设函数f(x)＝2sin xcos xcos B－cos 2x，求函数f(x)的最大值及当f(x)取得最大值时x的值．
解：(1)因为(2a－c)cos B－bcos C＝0，
所以2acos B－ccos B－bcos C＝0，
由正弦定理得
2sin Acos B－sin Ccos B－cos Csin B＝0，
即2sin Acos B－sin(C＋B)＝0，
又因为C＋B＝π－A，所以sin(C＋B)＝sin A.
所以sin A(2cos B－1)＝0.
在△ABC中，sin A≠0，所以cos B＝，
又因为B∈(0，π)，所以B＝.
(2)因为B＝，
所以f(x)＝sin 2x－cos 2x＝sin，
令2x－＝2kπ＋(k∈Z)，得x＝kπ＋(k∈Z)，
即当x＝kπ＋(k∈Z)时，f(x)取得最大值1.
A级——保大分专练
1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cos 2A＝sin A，bc＝2，则 △ABC的面积为( )
A. B.
C．1 D．2
解析：选A 由cos 2A＝sin A，得1－2sin2A＝sin A，解得sin A＝(负值舍去)，由bc＝2，可得△ABC的面积S＝bcsin A＝×2×＝.
2．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，若(2a＋c)cos B＋bcos C＝0，则角B的大小为( )
A. B.
C. D.
解析：选C 由已知条件和正弦定理，得(2sin A＋sin C)cos B＋sin Bcos C＝0.化简，得2sin Acos B＋sin A＝0.因为角A为三角形的内角，所以sin A≠0，所以cos B＝－，所以B＝.
3．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin A＝，a＝3， S△ABC＝2，则b的值为( )
A．6 B．3
C．2 D．2或3
解析：选D 因为S△ABC＝bcsin A＝2，所以bc＝6，
又因为sin A＝，A∈，
所以cos A＝，因为a＝3，
所以由余弦定理得9＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋c2－4，b2＋c2＝13，可得b＝2或b＝3.
4．(2018·昆明检测)在△ABC中，已知AB＝，AC＝，tan∠BAC＝－3，则BC边上的高等于( )
A．1 B.
C. D．2
解析：选A 法一：因为tan∠BAC＝－3，所以sin∠BAC＝，cos∠BAC＝－.由余弦定理，得BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcos∠BAC＝5＋2－2×××＝9，所以BC＝3，所以S△ABC＝AB·ACsin∠BAC＝×××＝，所以BC边上的高h＝＝＝1.
法二：在△ABC中，因为tan∠BAC＝－3<0，所以∠BAC为钝角，因此BC边上的高小于，结合选项可知选A.
5．(2018·重庆九校联考)已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C的对边，且asin B＝bcos A，当b＋c＝4时，△ABC面积的最大值为( )
A. B.
C. D．2
解析：选C 由asin B＝bcos A，得sin Asin B＝sin Bcos A，∴tan A＝，∵0
A．2＋ B．2＋
C．3 D．3＋
解析：选A 由b＋2ccos A＝0，得b＋2c·＝0，整理得2b2＝a2－c2.由余弦定理，得cos B＝＝≥＝，当且仅当a＝c时等号成立，此时角B取得最大值，将a＝c代入2b2＝a2－c2可得b＝c.又因为bc＝1，所以b＝c＝1，a＝，故△ABC的周长为2＋.
7．在△ABC中，B＝120°，AC＝7，AB＝5，则△ABC的面积为________．
解析：由余弦定理知72＝52＋BC2－2×5×BC×cos 120°，
即49＝25＋BC2＋5BC，解得BC＝3(负值舍去)．
故S△ABC＝AB·BCsin B＝×5×3×＝.
答案：
8．(2019·长春质量检测)在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 bcos A＝sin B，且a＝2，b＋c＝6，则△ABC的面积为________．
解析：由题意可知＝＝，因为a＝2，所以tan A＝，因为0
9．已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠BAC＝，点D在边BC上，AD＝1，且BD＝2DC，∠BAD＝2∠DAC，则＝________.
解析：由∠BAC＝及∠BAD＝2∠DAC，可得∠BAD＝，∠DAC＝.由BD＝2DC，令DC＝x，则BD＝2x.因为AD＝1，在△ADC中，由正弦定理得＝，所以sin C＝，在△ABD中，sin B＝＝，所以＝＝.
答案：
10．(2018·河南新乡二模)如图所示，在△ABC中，C＝，BC＝4，点D在边AC上，AD＝DB，DE⊥AB，E为垂足，若DE＝2，则cos A＝________.
解析：∵AD＝DB，∴∠A＝∠ABD，∠BDC＝2∠A.设AD＝DB＝x，
∴在△BCD中，＝，可得＝. ①
在△AED中，＝，可得＝. ②
联立①②可得＝，解得cos A＝.
答案：
11．(2019·南宁摸底联考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 c(1＋cos B)＝b(2－cos C)．
(1)求证：2b＝a＋c；
(2)若B＝，△ABC的面积为4，求b.
解：(1)证明：∵c(1＋cos B)＝b(2－cos C)，
∴由正弦定理可得sin C＋sin Ccos B＝2sin B－sin Bcos C，
即sin Ccos B＋sin Bcos C＋sin C＝sin(B＋C)＋sin C＝2sin B，
∴sin A＋sin C＝2sin B，∴a＋c＝2b.
(2)∵B＝，∴△ABC的面积S＝acsin B＝ac＝4，∴ac＝16.
由余弦定理可得b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－ac＝(a＋c)2－3ac.
∵a＋c＝2b，∴b2＝4b2－3×16，解得b＝4.
12．在△ABC中，AC＝6，cos B＝，C＝.
(1)求AB的长；
(2)求cos的值．
解：(1)因为cos B＝，0
(2)在△ABC中，因为A＋B＋C＝π，所以A＝π－(B＋C)，
又因为cos B＝，sin B＝，
所以cos A＝－cos(B＋C)＝－cos＝－cos Bcos＋sin Bsin＝－×＋×＝－.
因为0
B级——创高分自选
1．在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若B＝2A，则的取值范围是( )
A．(，2) B．(2，)
C．(，) D．(，4)
解析：选B ∵B＝2A，∴sin B＝sin 2A＝2sin Acos A，∴＝2cos A．又C＝π－3A，C为锐角，∴0<π－3A<⇒
解析：由已知及正弦定理得sin2Asin B＋sin Bcos2A＝2sin A，即sin B(sin2A＋cos2A)＝2sin A，∴sin B＝2sin A，∴b＝2a，由余弦定理得cos A＝＝＝≥＝，当且仅当c＝a时取等号．∵A为三角形的内角，且y＝cos x在(0，π)上是减函数，∴0
3．(2018·昆明质检)如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AB＝2，BD＝，∠BCD＝2∠ABD，△ABD的面积为2.
(1)求AD的长；
(2)求△CBD的面积．
解：(1)由已知S△ABD＝AB·BD·sin∠ABD＝×2××sin∠ABD＝2，可得sin∠ABD＝，又∠BCD＝2∠ABD，所以∠ABD∈，所以cos∠ABD＝.
在△ABD中，由余弦定理AD2＝AB2＋BD2－2·AB·BD·cos∠ABD，可得AD2＝5，所以AD＝.
(2)由AB⊥BC，得∠ABD＋∠CBD＝，
所以sin∠CBD＝cos∠ABD＝.
又∠BCD＝2∠ABD，
所以sin∠BCD＝2sin∠ABD·cos∠ABD＝，
∠BDC＝π－∠CBD－∠BCD＝π－－2∠ABD＝－∠ABD＝∠CBD，
所以△CBD为等腰三角形，即CB＝CD.
在△CBD中，由正弦定理＝，
得CD＝＝＝，
所以S△CBD＝CB·CD·sin∠BCD＝×××＝.
一、基础知识批注——理解深一点
1．正弦定理
＝＝＝2R(R为△ABC外接圆的半径)．
正弦定理的常见变形
(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；
(2)sin A＝，sin B＝，sin C＝；
(3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；
(4)＝.
2．余弦定理
a2＝b2＋c2－2bccos A；
b2＝c2＋a2－2cacos B；
c2＝a2＋b2－2abcos C.
余弦定理的常见变形
(1)cos A＝；
(2)cos B＝；
(3)cos C＝.
3．三角形的面积公式
(1)S△ABC＝aha(ha为边a上的高)；
(2)S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B；
(3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)．
二、常用结论汇总——规律多一点
1．三角形内角和定理
在△ABC中，A＋B＋C＝π；变形：＝－.
2．三角形中的三角函数关系
(1)sin(A＋B)＝sin C；(2)cos(A＋B)＝－cos C；
(3)sin＝cos；(4)cos＝sin.
3．三角形中的射影定理
在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；b＝acos C＋ccos A；c＝bcos A＋acos B.
4．用余弦定理判断三角形的形状
在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，当b2＋c2－a2>0时，可知A为锐角；当b2＋c2－a2＝0时，可知A为直角；当b2＋c2－a2<0时，可知A为钝角．
三、基础小题强化——功底牢一点
(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．( )
(2)在△ABC中，若sin A>sin B，则A>B.( )
(3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．( )
(4)当b2＋c2－a2>0时，三角形ABC为锐角三角形．( )
(5)在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积．( )
答案：(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)√
(二)选一选
1．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A＝，B＝，a＝1，则b＝( )
A．2 B．1
C. D.
解析：选D 由正弦定理，得b＝＝＝.
2．(2018·全国卷Ⅱ改编)在△ABC中，cos C＝－，BC＝1，AC＝5，则AB＝( )
A．4 B.
C. D．2
解析：选A 在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos C＝52＋12－2×5×1×＝32，
∴AB＝＝4.
3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝18，b＝24，A＝45°，则此三角形解的情况为( )
A．无解 B．有两解
C．有一解 D．解的个数不确定
解析：选B ∵＝，
∴sin B＝sin A＝sin 45°＝.
又∵a
(三)填一填
4．(2017·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知C＝60°，b＝，c＝3，则A＝________.
解析：由正弦定理，得sin B＝＝＝，
因为0°＜B＜180°，且b＜c，所以B＜C，故B＝45°，
所以A＝180°－60°－45°＝75°.
答案：75°
5．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c＝5，B＝，△ABC的面积为，则b＝________.
解析：由三角形的面积公式，得S△ABC＝acsin B＝×a×5×sin＝a＝，解得a＝3.由b2＝a2＋c2－2accos B＝32＋52－2×3×5×＝49，得b＝7.
答案：7
第一课时 正弦定理和余弦定理(一)
考点一 利用正、余弦定理解三角形
考法(一) 正弦定理解三角形
[典例] (1)(2019·江西重点中学联考)在△ABC中，a＝3，b＝2，A＝30°，则cos B＝________.
(2)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝，sin B＝，C＝，则b＝________.
[解析] (1)由正弦定理可得sin B＝＝＝，∵a＝3>b＝2，∴B
又∵C＝，∴B＝，A＝π－B－C＝.
又a＝，由正弦定理得＝，
即＝，解得b＝1.
[答案] (1) (2)1
[解题技法]
1．利用正弦定理解决的2类问题及其解题步骤
已知两角及一边，如A，B，a
①由A＋B＋C＝180°，求出C；
②根据正弦定理，得＝及＝，求出边b，c
已知两边及其中一边所对的角，如a，b，A
①根据正弦定理＝计算出sin B，经讨论求B；
②求出B后，由A＋B＋C＝180°，求出C；
③再根据正弦定理＝，求出边c
2．利用正弦定理解三角形的2个易误点
(1)应用正弦定理求角时容易出现增解或漏解的错误，要根据条件和三角形的限制条件合理取舍．
(2)求角时易忽略角的范围而导致错误，需要根据大边对大角，大角对大边的规则，画图帮助判断．
考法(二) 余弦定理解三角形
[典例] (1)(2019·山西五校联考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos A＋acos B＝c2，a＝b＝2，则△ABC的周长为( )
A．7.5 B．7
C．6 D．5
(2)(2018·泰安二模)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝，则角B＝________.
[解析] (1)∵bcos A＋acos B＝c2，∴由余弦定理可得b·＋a·＝c2，整理可得2c2＝2c3，解得c＝1，则△ABC的周长为a＋b＋c＝2＋2＋1＝5.
(2)由正弦定理可得＝＝，
∴c2－b2＝ac－a2，∴c2＋a2－b2＝ac，
∴cos B＝＝，∵0
[解题技法]
利用余弦定理解决的2类问题及其解题步骤
已知两边和它们的夹角，如a，b，C
①根据余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C，求出边c；
②根据cos A＝，求出A；
③根据B＝180°－(A＋C)，求出B.
求出第三边后，也可用正弦定理求角，这样往往可以使计算简便，应用正弦定理求角时，为了避开讨论(因为正弦函数在区间(0，π)上是不单调的)，应先求较小边所对的角，它必是锐角
已知三边
可以连续用余弦定理求出两角，常常是分别求较小两边所对的角，再由A＋B＋C＝180°，求出第三个角；
由余弦定理求出一个角后，也可以根据正弦定理求出第二个角，但仍然是先求较小边所对的角
斜三角形把我问，两个定理有区分；
余弦定理多见边，正弦定理角必现；
边边角，解难辨，正弦值，先计算；
边角会聚综合题，正弦定理来统一．
[题组训练]
1.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b2＝ac，c＝2a，则cos C＝( )
A. B．－
C. D．－
解析：选B 由题意得，b2＝ac＝2a2，
即b＝a，∴cos C＝＝＝－.
2.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sin B＋sin A(sin C－cos C)＝0，a＝2，c＝，则C＝( )
A. B.
C. D.
解析：选B 因为sin B＋sin A(sin C－cos C)＝0，
所以sin(A＋C)＋sin Asin C－sin Acos C＝0，
所以sin Acos C＋cos Asin C＋sin Asin C－sin Acos C＝0，整理得sin C(sin A＋cos A)＝0.因为sin C≠0，
所以sin A＋cos A＝0，所以tan A＝－1，
因为A∈(0，π)，所以A＝，
由正弦定理得sin C＝＝＝，
又0＜C＜，所以C＝.
3.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sin2B＋sin2C＝sin2A＋sin Bsin C.
(1)求角A的大小；
(2)若cos B＝，a＝3，求c的值．
解：(1)由正弦定理可得b2＋c2＝a2＋bc，
由余弦定理得cos A＝＝，
因为A∈(0，π)，所以A＝.
(2)由(1)可知sin A＝，
因为cos B＝，B为△ABC的内角，所以sin B＝，
故sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B
＝×＋×＝.
由正弦定理＝得
c＝＝＝1＋.
[典例] (1)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不确定
(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＝，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，则△ABC的形状为( )
A．直角三角形 B．等腰非等边三角形
C．等边三角形 D．钝角三角形
[解析] (1)法一：因为bcos C＋ccos B＝asin A，
由正弦定理知sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin Asin A，
得sin(B＋C)＝sin Asin A.
又sin(B＋C)＝sin A，得sin A＝1，
即A＝，因此△ABC是直角三角形．
法二：因为bcos C＋ccos B＝b·＋c·＝＝a，所以asin A＝a，即sin A＝1，故A＝，因此△ABC是直角三角形．
(2)因为＝，所以＝，所以b＝c.
又(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，所以b2＋c2－a2＝bc，
所以cos A＝＝＝.
因为A∈(0，π)，所以A＝，所以△ABC是等边三角形．
[答案] (1)B (2)C
[变透练清]
1.若本例(1)条件改为“asin A＋bsin B
所以△ABC是钝角三角形．
答案：钝角三角形
2.若本例(1)条件改为“c－acos B＝(2a－b)cos A”，那么△ABC的形状为________．
解析：因为c－acos B＝(2a－b)cos A，
C＝π－(A＋B)，
所以由正弦定理得sin C－sin Acos B＝2sin Acos A－sin B·cos A，
所以sin Acos B＋cos Asin B－sin Acos B＝2sin Acos A－sin Bcos A，
所以cos A(sin B－sin A)＝0，
所以cos A＝0或sin B＝sin A，
所以A＝或B＝A或B＝π－A(舍去)，
所以△ABC为等腰或直角三角形．
答案：等腰或直角三角形
3.若本例(2)条件改为“＝＝”，那么△ABC的形状为________．
解析：因为＝，由正弦定理得＝，所以sin 2A＝sin 2B.由＝，可知a≠b，所以A≠B.又因为A，B∈(0，π)，所以2A＝π－2B，即A＋B＝，所以C＝，于是△ABC是直角三角形．
答案：直角三角形
[解题技法]
1．判定三角形形状的2种常用途径
2．判定三角形的形状的注意点
在判断三角形的形状时一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件．另外，在变形过程中要注意角A，B，C的范围对三角函数值的影响，在等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．
A级——保大分专练
1．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若＝，则B的大小为( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
解析：选B 由正弦定理知，＝，
∴sin B＝cos B，∴B＝45°.
2．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形的解的情况是( )
A．有一解 B．有两解
C．无解 D．有解但解的个数不确定
解析：选C 由正弦定理得＝，
∴sin B＝＝＝>1.
∴角B不存在，即满足条件的三角形不存在．
3．(2018·重庆六校联考)在△ABC中，cos B＝(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为( )
A．直角三角形 B．等边三角形
C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形
解析：选A 因为cos B＝，由余弦定理得＝，整理得b2＋a2＝c2，即C为直角，则△ABC为直角三角形．
4．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边．若bsin A＝3csin B，a＝3， cos B＝，则b＝( )
A．14 B．6
C. D.
解析：选D ∵bsin A＝3csin B⇒ab＝3bc⇒a＝3c⇒c＝1，∴b2＝a2＋c2－2accos B＝9＋1－2×3×1×＝6，∴b＝.
5．(2019·莆田调研)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若asin Bcos C＋csin Bcos A＝b，且a>b，则B＝( )
A. B.
C. D.
解析：选A ∵asin Bcos C＋csin Bcos A＝b，∴根据正弦定理可得sin Asin Bcos C＋sin Csin Bcos A＝sin B，即sin B(sin Acos C＋sin Ccos A)＝sin B．∵sin B≠0，∴sin(A＋C)＝，即sin B＝.∵a>b，∴A>B，即B为锐角，∴B＝.
6．(2019·山西大同联考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2(bcos A＋acos B)＝c2，b＝3,3cos A＝1，则a＝( )
A. B．3
C. D．4
解析：选B 由正弦定理可得2(sin Bcos A＋sin Acos B)＝csin C，
∵2(sin Bcos A＋sin Acos B)＝2sin(A＋B)＝2sin C，
∴2sin C＝csin C，∵sin C>0，∴c＝2，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝32＋22－2×3×2×＝9，∴a＝3.
7．在△ABC中，AB＝，A＝75°，B＝45°，则AC＝________.
解析：C＝180°－75°－45°＝60°，
由正弦定理得＝，
即＝，解得AC＝2.
答案：2
8．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2，cos C＝－，3sin A＝2sin B，则c＝________.
解析：∵3sin A＝2sin B，∴3a＝2b.
又∵a＝2，∴b＝3.
由余弦定理可知c2＝a2＋b2－2abcos C，
∴c2＝22＋32－2×2×3×＝16，∴c＝4.
答案：4
9．(2018·浙江高考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝，b＝2，A＝60°，则sin B＝________，c＝________.
解析：由正弦定理＝，
得sin B＝·sin A＝×＝.
由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，
得7＝4＋c2－4c×cos 60°，
即c2－2c－3＝0，解得c＝3或c＝－1(舍去)．
答案： 3
10．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，sin A，sin B，sin C成等差数列，且a＝2c，则cos A＝________.
解析：因为sin A，sin B，sin C成等差数列，所以2sin B＝sin A＋sin C．由正弦定理得a＋c＝2b，又因为a＝2c，可得b＝c，所以cos A＝＝＝－.
答案：－
11．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A＝2B.
(1)求证：a＝2bcos B；
(2)若b＝2，c＝4，求B的值．
解：(1)证明：因为A＝2B，所以由正弦定理＝，得＝，
所以a＝2bcos B.
(2)由余弦定理，a2＝b2＋c2－2bccos A，
因为b＝2，c＝4，A＝2B，
所以16cos2B＝4＋16－16cos 2B，所以cos2B＝，
因为A＋B＝2B＋B<π，
所以B<，所以cos B＝，所以B＝.
12．(2019·绵阳模拟)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asin A＝(2b＋c)sin B＋(2c＋b)sin C.
(1)求A的大小；
(2)若sin B＋sin C＝1，试判断△ABC的形状．
解：(1)由已知，结合正弦定理，
得2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，即a2＝b2＋c2＋bc.
又由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos A，
所以bc＝－2bccos A，即cos A＝－.
由于A为△ABC的内角，所以A＝.
(2)由已知2asin A＝(2b＋c)sin B＋(2c＋b)sin C，
结合正弦定理，得2sin2A＝(2sin B＋sin C)sin B＋(2sin C＋sin B)sin C，
即sin2A＝sin2B＋sin2C＋sin Bsin C＝sin2＝.
又由sin B＋sin C＝1，
得sin2B＋sin2C＋2sin Bsin C＝1，
所以sin Bsin C＝，结合sin B＋sin C＝1，
解得sin B＝sin C＝.
因为B＋C＝π－A＝，所以B＝C＝，
所以△ABC是等腰三角形．
B级——创高分自选
1．(2019·郑州质量预测)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若2cos2－cos 2C＝1,4sin B＝3sin A，a－b＝1，则c的值为( )
A. B.
C. D．6
解析：选A 由2cos2－cos 2C＝1，得1＋cos(A＋B)－(2cos2C－1)＝2－2cos2C－cos C＝1，即2cos2C＋cos C－1＝0，解得cos C＝或cos C＝－1(舍去)．由4sin B＝3sin A及正弦定理，得4b＝3a，结合a－b＝1，得a＝4，b＝3.由余弦定理，知c2＝a2＋b2－2abcos C＝42＋32－2×4×3×＝13，所以c＝.
2．(2019·长春模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c＝，＝，若sin(A－B)＋sin C＝2sin 2B，则a＋b＝________.
解析：∵＝＝，且由正弦定理可得a＝2Rsin A，c＝2Rsin C(R为△ABC的外接圆的半径)，∴cos C＝.∵C∈(0，π)，∴C＝.∵sin(A－B)＋sin C＝2sin 2B，sin C＝sin(A＋B)，∴2sin Acos B＝4sin Bcos B．当cos B＝0时，B＝，则A＝，∵c＝， ∴a＝1，b＝2，则a＋b＝3.当cos B≠0时，sin A＝2sin B，即a＝2b.∵cos C＝＝，∴b2＝1，即b＝1，∴a＝2，则a＋b＝3.综上，a＋b＝3.
答案：3
3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2acos C－c＝2b.
(1)求角A的大小；
(2)若c＝，角B的平分线BD＝，求a.
解：(1)2acos C－c＝2b⇒2sin Acos C－sin C＝2sin B⇒2sin Acos C－sin C＝2sin(A＋C)＝2sin Acos C＋2cos Asin C，
∴－sin C＝2cos Asin C，
∵sin C≠0，∴cos A＝－，
又A∈(0，π)，∴A＝.
(2)在△ABD中，由正弦定理得，＝，
∴sin∠ADB＝＝.
又∠ADB∈(0，π)，A＝，
∴∠ADB＝，∴∠ABC＝，∠ACB＝，b＝c＝，
由余弦定理，得a2＝c2＋b2－2c·b·cos A＝()2＋()2－2××cos＝6，∴a＝.
第二课时 正弦定理和余弦定理(二)
[典例] (1)(2019·广州调研)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b＝，c＝4，cos B＝，则△ABC的面积等于( )
A．3 B.
C．9 D.
(2)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若△ABC的面积为(a2＋c2－b2)，则B＝________.
[解析] (1)法一：由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，代入数据，得a＝3，又cos B＝，B∈(0，π)，所以sin B＝，所以S△ABC＝acsin B＝.
法二：由cos B＝，B∈(0，π)，得sin B＝，由正弦定理＝及b＝，c＝4，可得sin C＝1，所以C＝，所以sin A＝cos B＝，所以S△ABC＝bcsin A＝.
(2)由余弦定理得cos B＝，
∴a2＋c2－b2＝2accos B.
又∵S＝(a2＋c2－b2)，∴acsin B＝×2accos B，
∴tan B＝，∵B∈，∴B＝.
[答案] (1)B (2)
[变透练清]
1.本例(1)的条件变为：若c＝4，sin C＝2sin A，sin B＝，则S△ABC＝________.
解析：因为sin C＝2sin A，所以c＝2a，所以a＝2，所以S△ABC＝acsin B＝×2×4×＝.
答案：
2.本例(2)的条件不变，则C为钝角时，的取值范围是________．
解析：∵B＝且C为钝角，∴C＝－A>，∴0
∴>＋×＝2，即>2.
答案：(2，＋∞)
3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，(2b－a)cos C＝ccos A.
(1)求角C的大小；
(2)若c＝3，△ABC的面积S＝，求△ABC的周长．
解：(1)由已知及正弦定理得(2sin B－sin A)cos C＝sin Ccos A，
即2sin Bcos C＝sin Acos C＋sin Ccos A＝sin(A＋C)＝sin B，
∵B∈(0，π)，∴sin B>0，∴cos C＝，
∵C∈(0，π)，∴C＝.
(2)由(1)知，C＝，故S＝absin C＝absin＝，
解得ab＝.
由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2abcos C＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab，
又c＝3，∴(a＋b)2＝c2＋3ab＝32＋3×＝25，得a＋b＝5.
∴△ABC的周长为a＋b＋c＝5＋3＝8.
[解题技法]
1．求三角形面积的方法
(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积．
(2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积．总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．
2．已知三角形面积求边、角的方法
(1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解．
(2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解．
[典例] (2018·广东佛山质检)如图，在平面四边形ABCD中，∠ABC＝，AB⊥AD，AB＝1.
(1)若AC＝，求△ABC的面积；
(2)若∠ADC＝，CD＝4，求sin∠CAD.
[解] (1)在△ABC中，由余弦定理得，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC，
即5＝1＋BC2＋BC，解得BC＝，
所以△ABC的面积S△ABC＝AB·BC·sin∠ABC＝×1××＝.
(2)设∠CAD＝θ，在△ACD中，由正弦定理得＝，
即＝， ①
在△ABC中，∠BAC＝－θ，∠BCA＝π－－＝θ－，
由正弦定理得＝，
即＝，②
①②两式相除，得＝，
即4＝sin θ，
整理得sin θ＝2cos θ.
又因为sin2θ＋cos2θ＝1，
所以sin θ＝，即sin∠CAD＝.
[解题技法]
与平面图形有关的解三角形问题的关键及思路
求解平面图形中的计算问题，关键是梳理条件和所求问题的类型，然后将数据化归到三角形中，利用正弦定理或余弦定理建立已知和所求的关系．
具体解题思路如下：
(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解；
(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果．
[提醒] 做题过程中，要用到平面几何中的一些知识点，如相似三角形的边角关系、平行四边形的一些性质，要把这些性质与正弦、余弦定理有机结合，才能顺利解决问题．
[题组训练]
1.如图，在△ABC中，D是边AC上的点，且AB＝AD,2AB＝BD，BC＝2BD，则sin C的值为________．
解析：设AB＝a，∵AB＝AD,2AB＝BD，BC＝2BD，
∴AD＝a，BD＝，BC＝.
在△ABD中，cos∠ADB＝＝，
∴sin∠ADB＝，∴sin∠BDC＝.
在△BDC中，＝，
∴sin C＝＝.
答案：
2.如图，在平面四边形ABCD中，DA⊥AB，DE＝1，EC＝，EA＝2，∠ADC＝，且∠CBE，∠BEC，∠BCE成等差数列．
(1)求sin∠CED；
(2)求BE的长．
解：设∠CED＝α.
因为∠CBE，∠BEC，∠BCE成等差数列，
所以2∠BEC＝∠CBE＋∠BCE，
又∠CBE＋∠BEC＋∠BCE＝π，所以∠BEC＝.
(1)在△CDE中，由余弦定理得EC2＝CD2＋DE2－2CD·DE·cos∠EDC，
即7＝CD2＋1＋CD，即CD2＋CD－6＝0，
解得CD＝2(CD＝－3舍去)．
在△CDE中，由正弦定理得＝，
于是sin α＝＝＝，即sin∠CED＝.
(2)由题设知0<α<，由(1)知cos α＝＝＝，又∠AEB＝π－∠BEC－α＝－α，
所以cos∠AEB＝cos＝coscos α＋sinsin α＝－×＋×＝.
在Rt△EAB中，cos∠AEB＝＝＝，所以BE＝4.
考点三 三角形中的最值、范围问题
[典例] (1)在△ABC中，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，A≠，sin C＋sin(B－A)＝sin 2A，则角A的取值范围为( )
A. B.
C. D.
(2)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos 2A＋cos 2B＝2cos 2C，则cos C的最小值为( )
A. B.
C. D．－
[解析] (1)在△ABC中，C＝π－(A＋B)，所以sin(A＋B)＋sin(B－A)＝sin 2A，即2sin Bcos A＝2sin Acos A，因为A≠，所以cos A≠0，所以sin B＝sin A，由正弦定理得，b＝a，所以A为锐角．又因为sin B＝sin A∈(0,1]，所以sin A∈，所以A∈.
(2)因为cos 2A＋cos 2B＝2cos 2C，所以1－2sin2A＋1－2sin2B＝2－4sin2C，得a2＋b2＝2c2，cos C＝＝≥＝，当且仅当a＝b时等号成立，故选C.
[答案] (1)B (2)C
[解题技法]
1．三角形中的最值、范围问题的解题策略
解与三角形中边角有关的量的取值范围时，主要是利用已知条件和有关定理，将所求的量用三角形的某个内角或某条边表示出来，结合三角形边角取值范围等求解即可．
2．求解三角形中的最值、范围问题的注意点
(1)涉及求范围的问题，一定要搞清已知变量的范围，利用已知的范围进行求解， 已知边的范围求角的范围时可以利用余弦定理进行转化．
(2)注意题目中的隐含条件，如A＋B＋C＝π，0
1．在钝角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，B为钝角，若acos A＝ bsin A，则sin A＋sin C的最大值为( )
A. B.
C．1 D.
解析：选B ∵acos A＝bsin A，由正弦定理可得，sin Acos A＝sin Bsin A，∵sin A≠0，∴cos A＝sin B，又B为钝角，∴B＝A＋，sin A＋sin C＝sin A＋sin(A＋B)＝sin A＋cos 2A＝sin A＋1－2sin2A＝－22＋，∴sin A＋sin C的最大值为.
2．(2018·哈尔滨三中二模)在△ABC中，已知c＝2，若sin2A＋sin2B－sin Asin B＝sin2C，则a＋b的取值范围为________．
解析：∵sin2A＋sin2B－sin Asin B＝sin2C，∴a2＋b2－ab＝c2，∴cos C＝＝，又∵C∈(0，π)，∴C＝.由正弦定理可得＝＝＝，∴a＝sin A，b＝sin B．又∵B＝－A，∴a＋b＝sin A＋sin B＝sin A＋sin＝4sin.又∵A∈，∴A＋∈，∴sin∈，∴a＋b∈(2,4]．
答案：(2,4]
3．已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＋＝.
(1)求b的值；
(2)若cos B＋sin B＝2，求△ABC面积的最大值．
解：(1)由题意及正、余弦定理得＋＝，整理得＝，所以b＝.
(2)由题意得cos B＋sin B＝2sin＝2，
所以sin＝1，
因为B∈(0，π)，所以B＋＝，所以B＝.
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B，
所以3＝a2＋c2－ac≥2ac－ac＝ac，
即ac≤3，当且仅当a＝c＝时等号成立．
所以△ABC的面积S△ABC＝acsin B＝ac≤，
当且仅当a＝c＝时等号成立．
故△ABC面积的最大值为.
考点四 解三角形与三角函数的综合应用
考法(一) 正、余弦定理与三角恒等变换
[典例] (2018·天津高考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知 bsin A＝acos.
(1)求角B的大小；
(2)设a＝2，c＝3，求b和sin(2A－B)的值．
[解] (1)在△ABC中，
由正弦定理＝，可得bsin A＝asin B.
又因为bsin A＝acos，
所以asin B＝acos，
即sin B＝cos B＋sin B，
所以tan B＝.
因为B∈(0，π)，所以B＝.
(2)在△ABC中，由余弦定理及a＝2，c＝3，B＝，
得b2＝a2＋c2－2accos B＝7，故b＝.
由bsin A＝acos，可得sin A＝.
因为a＜c，所以cos A＝.
所以sin 2A＝2sin Acos A＝，cos 2A＝2cos2A－1＝.
所以sin(2A－B)＝sin 2Acos B－cos 2Asin B
＝×－×＝.
考法(二) 正、余弦定理与三角函数的性质
[典例] (2018·辽宁五校联考)已知函数f(x)＝cos2x＋sin(π－x)cos(π＋x)－.
(1)求函数f(x)在[0，π]上的单调递减区间；
(2)在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知f(A)＝－1，a＝2，bsin C＝asin A，求△ABC的面积．
[解] (1)f(x)＝cos2x－sin xcos x－＝－sin 2x－＝－sin，
令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，又∵x∈[0，π]，
∴函数f(x)在[0，π]上的单调递减区间为和.
(2)由(1)知f(x)＝－sin，
∴f(A)＝－sin＝－1，
∵△ABC为锐角三角形，∴0
又∵bsin C＝asin A，∴bc＝a2＝4，
∴S△ABC＝bcsin A＝.
[解题技法]
解三角形与三角函数综合问题的一般步骤
[对点训练]
在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，(2a－c)cos B－bcos C＝0.
(1)求角B的大小；
(2)设函数f(x)＝2sin xcos xcos B－cos 2x，求函数f(x)的最大值及当f(x)取得最大值时x的值．
解：(1)因为(2a－c)cos B－bcos C＝0，
所以2acos B－ccos B－bcos C＝0，
由正弦定理得
2sin Acos B－sin Ccos B－cos Csin B＝0，
即2sin Acos B－sin(C＋B)＝0，
又因为C＋B＝π－A，所以sin(C＋B)＝sin A.
所以sin A(2cos B－1)＝0.
在△ABC中，sin A≠0，所以cos B＝，
又因为B∈(0，π)，所以B＝.
(2)因为B＝，
所以f(x)＝sin 2x－cos 2x＝sin，
令2x－＝2kπ＋(k∈Z)，得x＝kπ＋(k∈Z)，
即当x＝kπ＋(k∈Z)时，f(x)取得最大值1.
A级——保大分专练
1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cos 2A＝sin A，bc＝2，则 △ABC的面积为( )
A. B.
C．1 D．2
解析：选A 由cos 2A＝sin A，得1－2sin2A＝sin A，解得sin A＝(负值舍去)，由bc＝2，可得△ABC的面积S＝bcsin A＝×2×＝.
2．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，若(2a＋c)cos B＋bcos C＝0，则角B的大小为( )
A. B.
C. D.
解析：选C 由已知条件和正弦定理，得(2sin A＋sin C)cos B＋sin Bcos C＝0.化简，得2sin Acos B＋sin A＝0.因为角A为三角形的内角，所以sin A≠0，所以cos B＝－，所以B＝.
3．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin A＝，a＝3， S△ABC＝2，则b的值为( )
A．6 B．3
C．2 D．2或3
解析：选D 因为S△ABC＝bcsin A＝2，所以bc＝6，
又因为sin A＝，A∈，
所以cos A＝，因为a＝3，
所以由余弦定理得9＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋c2－4，b2＋c2＝13，可得b＝2或b＝3.
4．(2018·昆明检测)在△ABC中，已知AB＝，AC＝，tan∠BAC＝－3，则BC边上的高等于( )
A．1 B.
C. D．2
解析：选A 法一：因为tan∠BAC＝－3，所以sin∠BAC＝，cos∠BAC＝－.由余弦定理，得BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcos∠BAC＝5＋2－2×××＝9，所以BC＝3，所以S△ABC＝AB·ACsin∠BAC＝×××＝，所以BC边上的高h＝＝＝1.
法二：在△ABC中，因为tan∠BAC＝－3<0，所以∠BAC为钝角，因此BC边上的高小于，结合选项可知选A.
5．(2018·重庆九校联考)已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C的对边，且asin B＝bcos A，当b＋c＝4时，△ABC面积的最大值为( )
A. B.
C. D．2
解析：选C 由asin B＝bcos A，得sin Asin B＝sin Bcos A，∴tan A＝，∵0
A．2＋ B．2＋
C．3 D．3＋
解析：选A 由b＋2ccos A＝0，得b＋2c·＝0，整理得2b2＝a2－c2.由余弦定理，得cos B＝＝≥＝，当且仅当a＝c时等号成立，此时角B取得最大值，将a＝c代入2b2＝a2－c2可得b＝c.又因为bc＝1，所以b＝c＝1，a＝，故△ABC的周长为2＋.
7．在△ABC中，B＝120°，AC＝7，AB＝5，则△ABC的面积为________．
解析：由余弦定理知72＝52＋BC2－2×5×BC×cos 120°，
即49＝25＋BC2＋5BC，解得BC＝3(负值舍去)．
故S△ABC＝AB·BCsin B＝×5×3×＝.
答案：
8．(2019·长春质量检测)在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 bcos A＝sin B，且a＝2，b＋c＝6，则△ABC的面积为________．
解析：由题意可知＝＝，因为a＝2，所以tan A＝，因为0
9．已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠BAC＝，点D在边BC上，AD＝1，且BD＝2DC，∠BAD＝2∠DAC，则＝________.
解析：由∠BAC＝及∠BAD＝2∠DAC，可得∠BAD＝，∠DAC＝.由BD＝2DC，令DC＝x，则BD＝2x.因为AD＝1，在△ADC中，由正弦定理得＝，所以sin C＝，在△ABD中，sin B＝＝，所以＝＝.
答案：
10．(2018·河南新乡二模)如图所示，在△ABC中，C＝，BC＝4，点D在边AC上，AD＝DB，DE⊥AB，E为垂足，若DE＝2，则cos A＝________.
解析：∵AD＝DB，∴∠A＝∠ABD，∠BDC＝2∠A.设AD＝DB＝x，
∴在△BCD中，＝，可得＝. ①
在△AED中，＝，可得＝. ②
联立①②可得＝，解得cos A＝.
答案：
11．(2019·南宁摸底联考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 c(1＋cos B)＝b(2－cos C)．
(1)求证：2b＝a＋c；
(2)若B＝，△ABC的面积为4，求b.
解：(1)证明：∵c(1＋cos B)＝b(2－cos C)，
∴由正弦定理可得sin C＋sin Ccos B＝2sin B－sin Bcos C，
即sin Ccos B＋sin Bcos C＋sin C＝sin(B＋C)＋sin C＝2sin B，
∴sin A＋sin C＝2sin B，∴a＋c＝2b.
(2)∵B＝，∴△ABC的面积S＝acsin B＝ac＝4，∴ac＝16.
由余弦定理可得b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－ac＝(a＋c)2－3ac.
∵a＋c＝2b，∴b2＝4b2－3×16，解得b＝4.
12．在△ABC中，AC＝6，cos B＝，C＝.
(1)求AB的长；
(2)求cos的值．
解：(1)因为cos B＝，0
(2)在△ABC中，因为A＋B＋C＝π，所以A＝π－(B＋C)，
又因为cos B＝，sin B＝，
所以cos A＝－cos(B＋C)＝－cos＝－cos Bcos＋sin Bsin＝－×＋×＝－.
因为0
B级——创高分自选
1．在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若B＝2A，则的取值范围是( )
A．(，2) B．(2，)
C．(，) D．(，4)
解析：选B ∵B＝2A，∴sin B＝sin 2A＝2sin Acos A，∴＝2cos A．又C＝π－3A，C为锐角，∴0<π－3A<⇒
解析：由已知及正弦定理得sin2Asin B＋sin Bcos2A＝2sin A，即sin B(sin2A＋cos2A)＝2sin A，∴sin B＝2sin A，∴b＝2a，由余弦定理得cos A＝＝＝≥＝，当且仅当c＝a时取等号．∵A为三角形的内角，且y＝cos x在(0，π)上是减函数，∴0
3．(2018·昆明质检)如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AB＝2，BD＝，∠BCD＝2∠ABD，△ABD的面积为2.
(1)求AD的长；
(2)求△CBD的面积．
解：(1)由已知S△ABD＝AB·BD·sin∠ABD＝×2××sin∠ABD＝2，可得sin∠ABD＝，又∠BCD＝2∠ABD，所以∠ABD∈，所以cos∠ABD＝.
在△ABD中，由余弦定理AD2＝AB2＋BD2－2·AB·BD·cos∠ABD，可得AD2＝5，所以AD＝.
(2)由AB⊥BC，得∠ABD＋∠CBD＝，
所以sin∠CBD＝cos∠ABD＝.
又∠BCD＝2∠ABD，
所以sin∠BCD＝2sin∠ABD·cos∠ABD＝，
∠BDC＝π－∠CBD－∠BCD＝π－－2∠ABD＝－∠ABD＝∠CBD，
所以△CBD为等腰三角形，即CB＝CD.
在△CBD中，由正弦定理＝，
得CD＝＝＝，
所以S△CBD＝CB·CD·sin∠BCD＝×××＝.
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