2020版高考理科数学（人教版）一轮复习讲义：第四章第六节简单的三角恒等变换

第六节简单的三角恒等变换考点一三角函数式的化简[师生共研过关][典例精析]化简：(1).(2)sin2αsin2β＋cos2αcos2β－cos 2αcos 2β.[解析]　(1)＝＝＝4sin α.(2)原式＝·＋·－cos 2αcos 2β＝＋－cos 2αcos 2β＝＋cos 2αcos 2β－cos 2αcos 2β＝.[答案]　(1)4sin α　(2)[解题技法]1．三角函数式的化简要遵循“3看”原则2．三角函数式化简的方法弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函数式时，一般需要升次．[过关训练]1.·等于(　　)A．－sin α　　　　　　 B．－cos αC．sin α  D．cos α解析：选D　原式＝＝＝cos α.2．化简：＝__________.解析：原式＝＝＝＝＝cos 2x.答案：cos 2x考点二三角函数的求值[全析考法过关][考法全析]考法(一)　给角求值[例1]　[2sin 50°＋sin 10°(1＋tan 10°)]·＝________.[解析]　原式＝·sin 80°＝·cos 10°＝2[sin 50°·cos 10°＋sin 10°·cos(60°－10°)]＝2sin(50°＋10°)＝2×＝.[答案]　考法(二)　给值求值[例2]　已知cos＝，若＜x＜，则的值为________．[解析]　由＜x＜，得＜x＋＜2π.又cos＝，所以sin＝－，所以cos x＝cos＝coscos＋sinsin＝×－×＝－，从而sin x＝－，tan x＝7.则＝＝＝－.[答案]　－考法(三)　给值求角[例3]　若sin 2α＝，sin(β－α)＝，且α∈，β∈，则α＋β的值是________．[解析]　∵α∈，∴2α∈，又sin 2α＝，∴2α∈，∴cos 2α＝－且α∈，又∵sin(β－α)＝，β∈，∴β－α∈，∴cos(β－α)＝－，∴cos(α＋β)＝cos[(β－α)＋2α]＝cos(β－α)cos 2α－sin(β－α)sin 2α＝×－×＝，又α＋β∈，∴α＋β＝.[答案]　[规律探求]看个性考法(一)“给角求值”一般给出的角是非特殊角，要观察所给角与特殊角的关系，利用三角变换转化为求特殊角的三角函数值问题. 考法(二)“给值求值”即给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使相关角相同或具有某种关系.考法(三)“给值求角”实质上可转化为“给值求值”，即通过求角的某个三角函数值来求角(注意角的范围)，在选取函数时，遵循以下原则：(1)已知正切函数值，选正切函数．(2)已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数．若角的范围是，选正、余弦函数皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦函数；若角的范围为，选正弦函数．(3)谨记“给值求角”问题口诀找共性研究三角函数式的求值问题，解题的关键都是找出条件中的角与结论中的角的联系，依据函数名称的变换特点，选择合适的公式求解 [过关训练]1．已知α为第二象限角，且tan  α＋tan＝2tan αtan－2，则sin＝________.解析：由已知可得tan＝－2，∵α为第二象限角，∴sin＝，cos＝－，则sin＝－sin＝－sin＝cossin－sincos＝－.答案：－2.＝________.(用数字作答)解析：＝＝＝＝.答案：3．已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tan β＝－，则2α－β的值为________．解析：∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝＝＝＞0，∴0＜α＜.又∵tan 2α＝＝＝＞0，∴0＜2α＜，∴tan(2α－β)＝＝＝1.∵tan β＝－＜0，∴＜β＜π，－π＜2α－β＜0，∴2α－β＝－.答案：－考点三三角恒等变换与三角函数的综合应用[师生共研过关][典例精析]已知函数f(x)＝(2cos2x－1)sin 2x＋cos 4x.(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递减区间；(2)若α∈(0，π)，且f＝，求tan的值．[解]　(1)∵f(x)＝(2cos2x－1)sin 2x＋cos 4x＝cos 2xsin 2x＋cos 4x＝(sin 4x＋cos 4x)＝sin，∴函数f(x)的最小正周期T＝.令2kπ＋≤4x＋≤2kπ＋，k∈Z，得＋≤x≤＋，k∈Z.∴函数f(x)的单调递减区间为，k∈Z.(2)∵f＝，∴sin＝1.又α∈(0，π)，∴－＜α－＜，∴α－＝，故α＝.因此tan＝＝＝2－.[解题技法]解决三角恒等变换与三角函数综合问题的一般步骤第一步：将f(x)化为asin x＋bcos x的形式；第二步：构造f(x)＝·；第三步：和角公式逆用，得f(x)＝sin(x＋φ)(其中φ为辅助角)；第四步：利用f(x)＝sin(x＋φ)研究三角函数的性质；第五步：反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范．[过关训练]已知函数f(x)＝sin＋cos.(1)求函数f(x)在区间上的最值；(2)若cos θ＝，θ∈，求f的值．解：(1)由题意得f(x)＝sin＋cos＝×＝－sin.因为x∈，所以x－∈，所以sin∈，所以－sin∈，即函数f(x)在区间上的最大值为，最小值为－.(2)因为cos θ＝，θ∈，所以sin θ＝－，所以sin 2θ＝2sin θcos θ＝－，cos 2θ＝cos2θ－sin2θ＝－＝，所以f＝－sin＝－sin＝－(sin 2θ－cos 2θ)＝(cos 2θ－sin 2θ)＝＝.