初中数学人教版九年级上册第二十二章 二次函数22.3 实际问题与二次函数综合训练题

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1．某商场将进价2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为配合国家“家电下乡政策的实施，商场决定采取适当的降价措施．调查表明：这种冰箱的售价每降价50元，平均每天就能多售出4台．


（1）假设每台冰箱降价x元，商场每天销售这种冰箱y台，请写出y与x的函数关系式（不要求写自变量的范围）


（2）若每台冰箱降价x元，商场每天销售这种冰箱的利润是z元，请写出z与x之间的函数表达式（不要求写自变量的取值范围）；


（3）商场要想在这种冰箱销售中每天赢利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？


（4）每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？














2．市政府实施“万元增收工程”．农户小王自主创业，承包了部分土地种植果树．根据科学种植的经验，平均每棵甲种果树的产量y（千克）与种植棵数x（棵）之间满足关系y＝﹣0.2x+40，平均每棵乙种果树的产量z（千克）与种植棵数x（棵）之间的部分对应值如下表：


（1）请观察题中的表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识求出平均每棵乙种果树的产量z（千克）与种植棵数x（棵）之间的函数关系式；


（2）若小王种植甲、乙两种果树共200棵，其中种植甲种果树m棵，且甲种果树的种植数量不超过总数量的40%，试求果园的总产量w（千克）与甲种果树的种植数量w（棵）之间的函数关系式，并求出小王种植甲种果树多少棵时，果园的总产量最大，最大是多少？


（3）果园丰收，获得最大总产量．小王希望将两种水果均以6元/千克销售完．可按预计价格销 售时销量不佳，只售出了总产量的．于是小王将售价降低a%，并迅速销售了总产量的，这时，小王觉得这样销售下去不划算，于是又在降价后的价格基础上提价0.7a%把剩余水果卖完．最终一算，小王所得收益仅比原预期收益少2160元．请通过计算估计出整数a的值．


（参考数据：352＝1225，362＝1296，372＝1369，382＝1444）











3．某产品专卖店出售每件成本为40元的产品，每日销售量y与销售单价x（元）之间满足函数关系y＝﹣6x+600．（规定销售期间销售单价不低于成本单价，当天定的销售单价不变）


（1）若不计其他因素，该专卖店每日获得利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系；销售单价定为多少元时，专卖店可获得最大利润，最大利润是多少元？


（2）专卖店原来设有两名营业员，据统计周六的促销日活动中销售量不少于240件，必须增派一名营业员才能保证营业有序进行，设营业员每人每天工资为40元，专卖店周六促销日活动中获得的利润是2880元，求周六促销日当天产品的销售单价．


（参考公式：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），当x＝﹣时，y最大（小）值＝）




















4．甲、乙两个商场出售一批进价为两百元的衣服，在市场营销中发现此商品的日销售单价x（百元）与日销售量y（件）之间有如下关系：（甲商场日销售量为y1乙商场日销售量为y2）


（1）分析表中数据，从你所学的函数中判断哪种函数能表示其变化规律，可得y1与y2关于x的函数解析式：


y1 ，y2 ；


（2）销售单价定为多少时，该衣服在两个商场的销售量相同且商场能获得利润；


（3）设甲商场衣服的销售利润为w（百元），求出w与x之间的函数关系式，若此衣服的售价最高不能超过八百元，请你求出当日销售单价定为多少时，甲商场能获得最大销售利润？














5．为了节省材料，某公司利用岸堤（岸堤足够长）为一边AD，用总长为80米的材料围成一个由三块面积相等的小长方形组成的长方形ABCD区域．


（1）如图1，已知BC＝12米，则AB＝ 米；


（2）如图2，若BC＝（x+20）米，求长方形ABCD的面积S（用含x的代数式表示），并求S的最大值．




















6．某地的特色农产品在市场上颇具竞争力，其中香菇远销全国各地，上市时，外商王经理按市场价格10元/千克在该市收购了1800千克香菇存放入冷库中，据预测，香菇的市场价格每天每千克将上涨0.5元，但冷库存放这批香菇时每天需要支出各种费用合计240元，而且香菇在冷库中最多保存90天，同时，平均每天有6千克的香菇损耗不能出售．


（1）若存放x天后，将这批香菇一次性出售，设这批香菇的销售总金额为y元，试写出y与x之间的函数关系式．


（2）王经理想获得利润22500元，需将这批香菇存放多少天后出售？


（3）王经理将这批香菇存放多少天后出售可获得最大利润？最大利润是多少？

















7．如图所示，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确落入篮圈．已知篮圈中心到地面的距离为3.05m．


（1）建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的解析式；


（2）该运动员身高1.8m，在这次跳投中，球在头顶上方0.25m处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？























8．旅游公司在景区内配置了50辆观光车供游客租赁使用，假定每辆观光车一天内最多只能出租一次，且每辆车的日租金x（元）是5的倍数．发现每天的营运规律如下：当x不超过100元时，观光车能全部租出；当x超过100元时，每辆车的日租金每增加5元，租出去的观光车就会减少1辆．已知所有观光车每天的管理费是1100元．


（1）优惠活动期间，为使观光车全部租出且每天的净收入为正，则每辆车的日租金至少应为多少元？（注：净收入＝租车收入﹣管理费）


（2）当每辆车的日租金为多少元时，每天的净收入最多？

















9．现有一生产季节性产品的企业，有两种营销方案，经测算：方案一一年中获得的每月利润y（万元）和月份x的关系为y＝﹣0.5x2+8x﹣14，方案二一年中获得的每月利润y（万元）与月份x的关系为y＝﹣x2+14x﹣24．两个函数部分图象如图所示：


（1）请你指出：方案一月利润对应的图象是 ，方案二月利润对应的图象是 ；（填序号）


（2）该企业一年中月利润最高可达 万元；


（3）生产季节性产品的企业，当它的产品无利润时就会立即停产，则该企业一年中应停产的月份是 ；


（4）企业原计划全年使用营销方案二进行销售，为了使全年能获得更高利润，企业应该如何运用其营销方案，使全年总利润最高？并算出去年最高总利润比原计划多多少？











10．企业的工业废料处理有两种方式，一种是运送到垃圾厂进行集中处理，另一种是通过企业的自身设备进行处理．某企业去年每月的工业废料均为120吨，由于垃圾厂处于调试阶段，处理能力有限，该企业采取两种处理方式同时进行．


1至6月，该企业向垃圾厂运送的工业废料y1（吨）与月份x（1≤x≤6，且x取整数）之间满足的函数关系如表：


7至12月，该企业自身处理的工业废料y2（吨）与月份x（7≤x≤12，且x取整数）之间满足y2＝ax2+c（a≠0），其图象如图所示．


1至6月，垃圾厂处理每吨工业废料的费用z1（元） 与月份x之间满足函数关系式：z1＝60x，该企业自身处理每吨工业废料的费用z2（元）与月份x之间满足函数关系式：z2＝45x﹣5x2；7至12月，垃圾厂处理每吨工业废料的费用均为120元，该企业自身处理每吨工业废料的费用均为90元．


（1）请观察题中的表格和图象，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，分别直接写出y1、y2与x之间的函数关系式；


（2）求该企业去年哪个月用于工业废料处理的费用W（元）最多，并求出这个最多费用；


（3）今年以来，由于企业的自身设备的全面运行，该企业决定扩大产能并将所有工业废料全部自身处理，估计扩大产能后今年每月的工业废料量都将在去年每月的基础上增加 m%，同时每吨工业废料处理的费用将在去年12月份的基础上增加m%．为鼓励节能降耗，减轻企业负担，国家财政对该企业处理工业废料的费用进行了50%的补助，若该企业每月的工业废料处理费用为12150元，求m的值．





参考答案


1．解：（1）设降价x元，


故共下降了个50元，


∵每降价50元，平均每天就能多售出4台


∴y＝8+4×＝8+；





（2）（1）根据题意，得z＝（2400﹣2000﹣x）（8+0.08x）＝（400﹣x）（8+0.08x）＝﹣0.08x2+24x+3200





（3）当z＝4800时，﹣0.08x2+24x+3200＝4800，解这个方程得x1＝100，x2＝200．


∵若要使老百姓获得更多实惠，则x1＝100不符合题意，舍去．


答：若要使老百姓获得更多实惠，每台冰箱应降价200元．





（4）当x＝＝150时，＝5000


答：每台冰箱降价150元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高，最高利润是5000元．


2．解：（1）观察题中的表格，可知平均每棵乙种果树的产量z（千克）与种植棵数x（棵）之间符合一次函数，


设平均每棵乙种果树的产量z（千克）与种植棵数x（棵）之间的函数关系式为：z＝kx+b，


将（60，32）与（80，26）代入解析式得：，


解得：，


∴平均每棵乙种果树的产量z（千克）与种植棵数x（棵）之间的函数关系式为：z＝﹣0.3x+50；


将（80，26）、（92，22.4）代入z＝﹣0.3x+50，等式成立；





（2）设种植甲种果树m棵，则种植乙种果树200﹣m棵，


∴W＝m（﹣0.2m+40）+[﹣0.3（200﹣m）+50]（200﹣m）＝﹣0.5m2+110m﹣2000＝﹣0.5（m﹣110）2+4050，


∵甲种果树的种植数量不超过总数量的40%，


∴甲种果树的种植数量不超过200×40%＝80，


∴小王种植甲种果树为80棵时，果园的总产量最大，


最大是值为：w＝﹣0.5×802+90×80＝3600（kg）；





（3）根据题意得：


3600××6+3600××（1﹣a%）×6+3600×（1﹣﹣）×（1﹣a%）（1+0.7a%）×6＝3600×6﹣2160，


解得：a≈19．


∴a＝19．


3．解：（1）w＝（x﹣40）（﹣6x+600）＝﹣6（x﹣70）2+27000，


故销售单价为70元时，最大利润为27000元；





（2）①设每件产品应定价x元，由题意列出函数关系式


W＝（x﹣40）×（﹣6x+600）﹣3×40＝2880


即：﹣6x2+840x﹣24000﹣120＝2880


解得：x＝50或x＝90


∵促销日活动中销售量不少于240件，


∴x＝50


∴促销单价为50元．


4．解：（1）观察表格可知，x与y1的积为定值60，故y1与x成反比例函数关系


∴y1＝


猜测y2与x成一次函数关系，设其解析式为y2＝kx+b，将（3，24），（6，6）代入得





解得


∴y2＝﹣6x+42


经检验发现表中数据均符合上述函数关系式．


故答案为：＝；＝﹣6x+42；


（2）令＝﹣6x+42得


60＝﹣6x2+42x


∴x2﹣7x+10＝0


∴（x﹣2）（x﹣5）＝0


∴x1＝2，x2＝5


∵x1＝2时，与成本相等，故不能获得利润，舍去．


∴销售单价定5百元时，该衣服在两个商场的销售量相同且商场能获得利润．


（3）由题意得：w＝（x﹣2）•＝60﹣


∵w随x的增大而减小，且此衣服的售价最高不能超过八百元


∴当x＝8时，w取最大值，此时w＝60﹣＝45


∴当日销售单价定为8百元时，甲商场能获得最大销售利润45百元．


5．解：（1）AB＝（80﹣12×3）＝22（米），


故答案为：22；


（2）BC＝x+20


∴AB＝15﹣x


则S＝（x+20）（15﹣x）


＝﹣x2+300，


∵﹣x2≤0，


∴当x＝0，即BC＝20米时，S的最大值为300平方米．


6．解：（1）由题意y与x之间的函数关系式为y＝（10+0.5x）（1800﹣6x）＝﹣3x2+840x+18000（1≤x≤90，且x为整数）；


（2）由题意得：


﹣3x2+840x+18000﹣10×1800﹣240x＝22500


解方程得：x1＝50，x2＝150（不合题意，舍去）


故需将这批香菇存放50天后出售；


（3）设利润为w，由题意得


w＝﹣3x2+840x+18000﹣10×1800﹣240x＝﹣3（x﹣100）2+30000


∵a＝﹣3＜0，


∴抛物线开口方向向下，


∴x＝90时，w最大＝29700，


∴王经理将这批香菇存放90天后出售可获得最大利润，最大利润是29700元．


7．解：（1）∵当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，


∴抛物线的顶点坐标为（0，3.5），


∴设抛物线的表达式为y＝ax2+3.5．


由图知图象过以下点：（1.5，3.05）．


∴2.25a+3.5＝3.05，


解得：a＝﹣0.2，


∴抛物线的表达式为y＝﹣0.2x2+3.5．


（2）设球出手时，他跳离地面的高度为hm，


∵y＝﹣0.2x2+3.5，


而球出手时，球的高度为h+1.8+0.25＝（h+2.05）m，


∴h+2.05＝﹣0.2×（﹣2.5）2+3.5，


∴h＝0.2．


答：球出手时，他跳离地面的高度为0.2m．





8．解：（1）由题意知，若观光车能全部租出，则0＜x≤100，


由50x﹣1100＞0，


解得x＞22，


又∵x是5的倍数，


∴每辆车的日租金至少应为25元；


（2）设每天的净收入为y元，


当0＜x≤100时，y1＝50x﹣1100，


∵y1随x的增大而增大，


∴当x＝100时，y1的最大值为50×100﹣1100＝3900；


当x＞100时，


y2＝（50﹣）x﹣1100


＝50x﹣x2+20x﹣1100


＝﹣x2+70x﹣1100


＝﹣（x﹣175）2+5025，


当x＝175时，y2的最大值为5025，


5025＞3900，


故当每辆车的日租金为175元时，每天的净收入最多是5025元．


9．解：（1）方案一：y＝﹣0.5x2+8x﹣14＝﹣0.5（x2﹣16x）﹣14＝﹣0.5（x﹣8）2+18，y的最大值是18，


方案二：y＝﹣x2+14x﹣24＝﹣（x﹣7）2+25，y的最大值是25，


∴方案一月利润对应的函数图象是②，方案二对应的图象是①，


故答案为：②，①；


（2）∵方案一：y＝﹣0.5x2+8x﹣14＝﹣0.5（x2﹣16x）﹣14＝﹣0.5（x﹣8）2+18，y的最大值是18，


方案二：y＝﹣x2+14x﹣24＝﹣（x﹣7）2+25，y的最大值是25，


∴该企业一年中月利润最高可达25万元，


故答案为：25；


（3）将y＝0代入y＝﹣0.5x2+8x﹣14，得x＝2或x＝14，故方案一停产的月份是1月份、2月份；


将y＝0代入y＝﹣x2+14x﹣24，得x＝2或x＝12，故方案二停产的月份是1月份、2月份、12月份；


故答案为：方案一是1月份和2月份，方案二是1月份、2月份、12月份；


（4）令﹣0.5x2+8x﹣14≥﹣x2+14x﹣24，得x≤2或x≥10，


∴从3月份到10月份选择方案二，11月份和12月份选择方案一，可以使全年总利润最高；


∴去年最高总利润比原计划多的钱数是：（﹣0.5×112+8×11﹣14）+（﹣0.5×122+8×12﹣14）﹣（﹣112+14×11﹣24）＝14.5（万元），


即去年最高总利润比原计划多14.5万元．


10．解：（1）由图表可知，y1与x成反比例函数，设，


∵点（1，120）在此反比例函数上，


∴，得k＝120，


∴y1＝（1≤x≤6，且x取整数）；


∵由函数图象可知，y2＝ax2+c过点（7，19），（12，114），


∴


解得，


∴y2＝x2﹣30（7≤x≤12，且x取整数）；


（2）由题意可得，


当1≤x≤6，且x取整数时：W＝60x×+＝﹣600x2+6000x+1800＝﹣600（x﹣5）2+16800，


∴当x＝5时，W最大＝16800（元）；


当7≤x≤12时，且x取整数时，W＝120×[120﹣（x2﹣30）]+90×（x2﹣30）＝﹣30x2+15300，


∴当x＝7时，W最大＝13830（元），


∵16800＞13830，


∴去年5月用于污水处理的费用最多，最多费用是16800元；


（3）由题意可得，


120（1+m%）×90×（1+m%）×（1﹣50%）＝12150，


解得，m＝50或m＝﹣250（舍去），


即m的值是50．


种植棵数x（棵）
60
65
80
92
平均每棵乙种果树的产量z（千克）
32
30.5
26
22.4
X（百元）
2.5
3
4
6
y1（件）
24
20
15
10
y2（件）
27
24
18
6
月份x（月）
1
2
3
4
5
6
运送的工业废料y1（吨）
120
60
40
30
24
20