人教A版 (2019)必修 第一册4.3 对数导学案

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册4.3 对数导学案，共7页。

(1)计算lg24，lg28及lg232的值，你能分析一下三者存在怎样的运算关系吗？
(2)计算lg 10，lg 100，lg 1 000及lg 104的值，你能发现什么规律？
知识点1 对数的运算性质
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
(1)lga(MN)＝lgaM＋lgaN；
(2)lgaeq \f(M,N)＝lgaM－lgaN；
(3)lgaMn＝nlgaM(n∈R)．
当M>0，N>0时，lga(M＋N)＝lgaM＋lgaN，lga(MN)＝lgaM·lgaN是否成立？
[提示] 不一定．
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)lg2x2＝2lg2x.( )
(2)lga[(－2)×(－3)]＝lga(－2)＋lga(－3)．( )
(3)lgaM·lgaN＝lga(M＋N)．( )
[答案] (1)× (2)× (3)×
2.计算lg84＋lg82等于( )
A．lg86B．8
C．6D．1
D [lg84＋lg82＝lg88＝1.]
3.计算lg510－lg52等于( )
A．lg58B．lg 5
C．1D．2
C [lg510－lg52＝lg55＝1.]
知识点2 对数的换底公式
若a>0且a≠1；c>0且c≠1；b>0，则有lgab＝eq \f(lgcb,lgca).
几个常用推论：
(1)lganbn＝lgab(a>0，a≠1，b>0，n≠0)；
(2)lgambn＝eq \f(n,m)lgab(a>0，a≠1，b>0，m≠0，n∈R)；
(3)lgab·lgba＝1(a>0，a≠1；b>0，b≠1)．
4.(多选)下列等式正确的有( )
A．lg34＝eq \f(ln 4,ln 3)B．lg34＝eq \f(lg 4,lg 3)
C．lg34＝eq \f(1,lg43)D．lg34＝eq \f(lg14,lg13)
[答案] ABC
类型1 对数运算性质的应用
【例1】 (对接教材P124例题)计算下列各式的值：
(1)eq \f(1,2)lg eq \f(32,49)－eq \f(4,3)lg eq \r(8)＋lg eq \r(245)；
(2)lg 52＋eq \f(2,3)lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2；
(3)eq \f(lg \r(2)＋lg 3－lg \r(10),lg 1.8).
[解] (1)原式＝eq \f(1,2)(5lg 2－2lg 7)－eq \f(4,3)×eq \f(3,2)lg 2＋eq \f(1,2)(2lg 7＋lg 5)
＝eq \f(5,2)lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋eq \f(1,2)lg 5
＝eq \f(1,2)lg 2＋eq \f(1,2)lg 5
＝eq \f(1,2)(lg 2＋lg 5)
＝eq \f(1,2)lg 10
＝eq \f(1,2).
(2)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2
＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2
＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3.
(3)原式＝eq \f(\f(1,2)lg 2＋lg 9－lg 10,lg 1.8)
＝eq \f(lg \f(18,10),2lg 1.8)
＝eq \f(lg 1.8,2lg 1.8)
＝eq \f(1,2).
1．利用对数性质求值的解题关键是化异为同，先使各项底数相同，再找真数间的联系．
2．对于复杂的运算式，可先化简再计算．化简问题的常用方法：
(1)“拆”：将积(商)的对数拆成两对数之和(差)；
(2)“收”：将同底对数的和(差)收成积(商)的对数．
eq \a\vs4\al([跟进训练])
1．求下列各式的值：
(1)lg25＋lg 2·lg 50；
(2)eq \f(2,3)lg 8＋lg25＋lg 2·lg 50＋lg 25.
[解] (1)原式＝lg25＋(1－lg 5)(1＋lg 5)＝lg25＋1－lg25＝1.
(2)eq \f(2,3)lg 8＋lg25＋lg 2·lg 50＋lg 25
＝2lg 2＋lg25＋lg 2(1＋lg 5)＋2lg 5
＝2(lg 2＋lg 5)＋lg2 5＋lg 2＋lg 2·lg 5
＝2＋lg 5(lg 5＋lg 2)＋lg 2＝2＋lg 5＋lg 2＝3.
类型2 对数的换底公式
【例2】 (1)计算：
(lg2125＋lg425＋lg85)·(lg1258＋lg254＋lg52)．
(2)已知lg189＝a,18b＝5，求lg3645(用a，b表示)．
[解] (1)(lg2125＋lg425＋lg85)·(lg1258＋lg254＋lg52)＝(lg253＋lg2252＋lg235)·(lg5323＋lg5222＋lg52)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3＋1＋\f(1,3)))lg25·(1＋1＋1)lg52＝eq \f(13,3)·3＝13.
(2)∵18b＝5，∴b＝lg185.
又lg189＝a，
∴lg3645＝eq \f(lg1845,lg1836)＝eq \f(lg185＋lg189,1＋lg182)＝eq \f(a＋b,2－lg189)＝eq \f(a＋b,2－a).
(变结论)在本例(2)的条件下，求lg915(用a，b表示)
[解] ∵lg189＝a，∴lg183＝eq \f(a,2).又lg185＝b，
∴lg915＝eq \f(lg1815,lg189)＝eq \f(lg183＋lg185,lg189)＝eq \f(\f(a,2)＋b,a)＝eq \f(a＋2b,2a).
利用换底公式进行化简求值的原则和技巧
eq \a\vs4\al([跟进训练])
2．求值：
(1)lg23·lg35·lg516；
(2)(lg32＋lg92)(lg43＋lg83)．
[解] (1)原式＝eq \f(lg 3,lg 2)·eq \f(lg 5,lg 3)·eq \f(lg 16,lg 5)＝eq \f(lg 16,lg 2)＝eq \f(4lg 2,lg 2)＝4.
(2)原式＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(lg 2,lg 3)＋\f(lg 2,lg 9)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(lg 3,lg 4)＋\f(lg 3,lg 8)))
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(lg 2,lg 3)＋\f(lg 2,2lg 3)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(lg 3,2lg 2)＋\f(lg 3,3lg 2)))
＝eq \f(3lg 2,2lg 3)·eq \f(5lg 3,6lg 2)
＝eq \f(5,4).
类型3 对数运算性质的综合应用
【例3】 (1)若3x＝4y＝36，求eq \f(2,x)＋eq \f(1,y)的值；
(2)已知3x＝4y＝6z，求证：eq \f(1,x)＋eq \f(1,2y)＝eq \f(1,z).
以指数式与对数式间的内在联系为切入点，思考如何求解相应问题．
[解] (1)∵3x＝4y＝36，∴x＝lg336，y＝lg436.
∴eq \f(2,x)＝eq \f(2,lg336)＝eq \f(2,\f(lg3636,lg363))＝2lg363＝lg369，eq \f(1,y)＝eq \f(1,lg436)＝
eq \f(1,\f(lg3636,lg364))＝lg364.∴eq \f(2,x)＋eq \f(1,y)＝lg369＋lg364＝lg3636＝1.
(2)证明：设3x＝4y＝6z＝m(m>0)，则x＝lg3m，y＝lg4m，z＝lg6m.
所以eq \f(1,x)＝eq \f(1,lg3m)＝lgm3，eq \f(1,y)＝eq \f(1,lg4m)＝lgm4，eq \f(1,z)＝eq \f(1,lg6m)＝lgm6.
故eq \f(1,x)＋eq \f(1,2y)＝lgm3＋eq \f(1,2)lgm4＝lgm3＋lgm4eq \f(1,2)＝lgm3＋lgm2＝lgm(3×2)＝lgm6＝eq \f(1,z).
条件求值问题的求解方法
带有附加条件的代数式求值问题，需要对已知条件和所求式子进行化简转化，原则上是化为同底的对数，以便 利用对数的运算法则．要整体把握对数式的结构特征，灵活运用指数式与对数式互化进行解题．
eq \a\vs4\al([跟进训练])
3．已知3a＝5b＝c，且eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝2，求c的值．
[解] ∵3a＝5b＝c，∴a＝lg3c，b＝lg5c，
∴eq \f(1,a)＝lgc3，eq \f(1,b)＝lgc5，
∴eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝lgc15.
由lgc15＝2得c2＝15，即c＝eq \r(15).
1．2lg510＋lg50.25＝( )
A．0 B．1
C．2 D．4
C [∵2lg510＋lg50.25＝lg5100＋lg50.25＝lg525＝2.∴选C.]
2．计算lg92·lg43＝( )
A．4B．2
C．eq \f(1,2)D．eq \f(1,4)
D [lg92·lg43＝eq \f(lg 2,lg 9)·eq \f(lg 3,lg 4)＝eq \f(lg 2,2lg 3)·eq \f(lg 3,2lg 2)＝eq \f(1,4).]
3．设10a＝2，lg 3＝b，则lg26＝( )
A．eq \f(b,a)B．eq \f(a＋b,a)
C．abD．a＋b
B [∵10a＝2，∴lg 2＝a，
∴lg26＝eq \f(lg 6,lg 2)＝eq \f(lg 2＋lg 3,lg 2)＝eq \f(a＋b,a).]
4．若a>0，a≠1，x>0，n∈N*，则下列各式：
(1)(lgax)n＝nlgax；
(2)(lgax)n＝lgaxn；
(3)lgax＝－lgaeq \f(1,x)；
(4)eq \r(n,lgax)＝eq \f(1,n)lgax；
(5)eq \f(lgax,n)＝lgaeq \r(n,x).
其中正确的有________．(填序号)
(3)(5) [根据对数的运算性质lgaMn＝nlgaM(M>0，a>0，且a≠1)知(3)与(5)正确．]
5．已知2a＝5b＝10，则eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝________.
1 [∵2a＝5b＝10，∴a＝lg210，b＝lg510，
∴eq \f(1,a)＝lg102＝lg 2，eq \f(1,b)＝lg 5，
∴eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1.]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．对数函数有哪些运算性质？
[提示] (1)lga(MN)＝lgaM＋lgaN；
(2)lgaeq \f(M,N)＝lgaM－lgaN；
(3)lgabm＝mlgab.其中(a>0且a≠1，M>0，N>0，b>0)
2．你能用对数的换底公式证明lgNnMm＝eq \f(m,n)lgNM吗？
[提示] 能．lgNnMm＝eq \f(lg Mm,lg Nn)＝eq \f(mlg M,nlg N)＝eq \f(m,n)lgNM.
3．常见的换底公式变形有哪些？
[提示] (1)lgab＝eq \f(lg b,lg a)＝eq \f(ln b,ln a)＝eq \f(lgcb,lgca)(其中a>0，b>0，c>0且a≠1，c≠1)．
(2)lgab·lgba＝1(其中a>0，且a≠1，b>0, 且b≠1)．
学 习 任 务
核 心 素 养
1．理解对数的运算性质．(重点)
2．能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数．(难点)
3．会运用运算性质进行一些简单的化简与证明．(易混点)
1．借助对数的运算性质化简、求值，培养数学运算素养．
2．通过学习换底公式，培养逻辑推理素养.