高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.1 任意角和弧度制达标测试

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.1 任意角和弧度制达标测试，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
课时分层作业(三十五) 任意角


(建议用时：40分钟)





一、选择题


1．角－870°的终边所在的象限是( )


A．第一象限 B．第二象限


C．第三象限 D．第四象限


C [－870°＝－3×360°＋210°，∴－870°是第三象限，故选C.]


2．在－360°～0°范围内与角1 250°终边相同的角是( )


A．170° B．190°


C．－190° D．－170°


C [与1 250°角的终边相同的角α＝1 250°＋k·360°，k∈Z，因为－360°＜α＜0°，所以－eq \f(161,36)＜k＜－eq \f(125,36)，因为k∈Z，所以k＝－4，所以α＝－190°.]


3．若α是第一象限角，则下列各角中属于第四象限角的是( )


A．90°－α B．90°＋α


C．360°－α D．180°＋α


C [因为α是第一象限角，所以－α为第四象限角，所以360°－α为第四象限角．]


4．若α＝k·180°＋45°，k∈Z，则α所在象限是( )


A．第一或第三象限 B．第一或第二象限


C．第二或第四象限 D．第三或第四象限


A [当k＝0时，α＝45°为第一象限角，当k＝1时，α＝225°为第三象限角．]


5．已知角2α的终边在x轴的上方，那么α是( )


A．第一象限角 B．第一、二象限角


C．第一、三象限角 D．第一、四象限角


C [由题意知k·360°＜2α＜180°＋k·360°(k∈Z)，故k·180°＜α＜90°＋k·180°(k∈Z)，按照k的奇偶性进行讨论．当k＝2n(n∈Z)时，n·360°＜α＜90°＋n·360°(n∈Z)，所以α在第一象限；当k＝2n＋1(n∈Z)时，180°＋n·360°＜α＜270°＋n·360°(n∈Z)，所以α在第三象限．故α是第一或第三象限角．]


二、填空题


6．已知角α的终边在图中阴影所表示的范围内(不包括边界)，那么α∈________.





{α|n·180°＋30°＜α＜n·180°＋150°，n∈Z} [在0°～360°范围内，终边落在阴影内的角为30°＜α＜150°和210°＜α＜330°.


所以α∈{α|k·360°＋30°＜α＜k·360°＋150°，k∈Z}∪{α|k·360°＋210°＜α＜k·360°＋330°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°＜α＜2k·180°＋150°，k∈Z}∪{α|(2k＋1)·180°＋30°＜α＜(2k＋1)·180°＋150°，k∈Z}＝{α|n·180°＋30°＜α＜n·180°＋150°，n∈Z}．]


7．(一题两空)与2 019°角的终边相同的最小正角是________，绝对值最小的角是________．


219° －141° [与2 019°角的终边相同的角为2 019°＋k·360°(k∈Z)．当k＝－5时，219°为最小正角；当k＝－6时，－141°为绝对值最小的角．]


8．若α，β两角的终边互为反向延长线，且α＝－120°，则β＝________.


k·360°＋60°(k∈Z) [在0°～360°范围内与α＝－120°的终边互为反向延长线的角是60°，所以β＝k·360°＋60°(k∈Z)．]


三、解答题


9．在与530°终边相同的角中，求满足下列条件的角．


(1)最大的负角；


(2)最小的正角；


(3)－720°到－360°的角．


[解] 与530°终边相同的角为k·360°＋530°，k∈Z.


(1)由－360°＜k·360°＋530°＜0°且k∈Z，可得k＝－2，故所求的最大负角为－190°.


(2)由0°＜k·360°＋530°＜360°且k∈Z，可得k＝－1，


故所求的最小正角为170°.


(3)由－720°≤k·360°＋530°≤－360°且k∈Z，可得k＝－3，故所求的角为－550°.


10．已知集合A＝{α|k·180°＋45°＜α＜k·180°＋60°，k∈Z}，集合B＝{β|k·360°－55°＜β＜k·360°＋55°，k∈Z}．


(1)在平面直角坐标系中，表示出角α终边所在区域；


(2)在平面直角坐标系中，表示出角β终边所在区域；


(3)求A∩B.


[解] (1)角α终边所在区域如图(1)所示．


(2)角β终边所在区域如图(2)所示．





图(1) 图(2)


(3)由(1)(2)知A∩B＝{γ|k·360°＋45°＜γ＜k·360°＋55°，k∈Z} .





11．已知θ为第二象限角，那么eq \f(θ,3)是( )


A．第一或第二象限角


B．第一或第四象限角


C．第二或第四象限角


D．第一、二或第四象限角


D [∵θ为第二象限角，∴90°＋k·360°＜θ＜180°＋k·360°，k∈Z，


∴30°＋k·120°＜eq \f(θ,3)＜60°＋k·120°，k∈Z，


当k＝0时，30°＜eq \f(θ,3)＜60°，属于第一象限，


当k＝1时，150°＜eq \f(θ,3)＜180°，属于第二象限，


当k＝－1时，－90°＜eq \f(θ,3)＜－60°，属于第四象限，


∴eq \f(θ,3)是第一、二或第四象限角．]


12．角α与角β的终边关于y轴对称，则α与β的关系为( )


A．α＋β＝k·360°，k∈Z


B．α＋β＝k·360°＋180°，k∈Z


C．α－β＝k·360°＋180°，k∈Z


D．α－β＝k·360°，k∈Z


B [法一：(特殊值法)令α＝30°，β＝150°，则α＋β＝180°.故α与β的关系为α＋β＝k·360°＋180°，k∈Z.


法二：(直接法)因为角α与角β的终边关于y轴对称，所以β＝180°－α＋k·360°，k∈Z，即α＋β＝k·360°＋180°，k∈Z.]


13．终边落在直线y＝eq \r(3)x上的角的集合为________．





{α|α＝60°＋n·180°，n∈Z} [如图所示终边落在射线y＝eq \r(3)x(x≥0)上的角的集合是S1＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}，终边落在射线y＝eq \r(3)x(x≤0)上的角的集合是S2＝{α|α＝240°＋k·360°，k∈Z}．于是终边落在直线y＝eq \r(3)x上的角的集合是S＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝240°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝60°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝60°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|α＝60°＋n·180°，n∈Z}．]


14．(一题两空)已知α，β都是锐角，且α＋β的终边与－280°角的终边相同，α－β的终边与670°角的终边相同，则α＝________，β＝________.


15° 65° [由题意可知：α＋β＝－280°＋k·360°，k∈Z.


∵α，β为锐角，


∴0°＜α＋β＜180°.


取k＝1，得α＋β＝80°，①


α－β＝670°＋k·360°，k∈Z.


∵α，β为锐角，


∴－90°＜α－β＜90°.


取k＝－2，得α－β＝－50°，②


由①②得：α＝15°，β＝65°.]





15．如图，一只红蚂蚁与一只黑蚂蚁在一个半径为1的圆上爬动，若两只蚂蚁同时从点A(1,0)按逆时针匀速爬动，红蚂蚁每秒爬过α角，黑蚂蚁每秒爬过β角(其中0°＜α＜β＜180°)，如果两只蚂蚁都在第14秒回到A点，并且在第2秒时均位于第二象限，求α，β的值．





[解] 根据题意可知14α，14β均为360°的整数倍，故可设14α＝m·360°，m∈Z,14β＝n·360°，n∈Z.


由于两只蚂蚁在第2秒时均位于第二象限，又由0°＜α＜β＜180°，知0°＜2α＜2β＜360°，


进而知2α，2β都是钝角，即90°＜2α＜2β＜180°，即45°＜α＜β＜90°，


所以45°＜α＝eq \f(m,7)·180°＜90°，45°＜β＝eq \f(n,7)·180°＜90°，


所以eq \f(7,4)＜m＜eq \f(7,2)，eq \f(7,4)＜n＜eq \f(7,2).


因为α＜β，


所以m＜n，又m，n∈Z，


所以m＝2，n＝3，


所以α＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(360,7)))eq \s\up12(°)，β＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(540,7)))eq \s\up12(°).