2021届山东高考数学一轮创新教学案：第11章　第2讲　数系的扩充与复数的引入

第2讲　数系的扩充与复数的引入 [考纲解读]　1.理解复数的基本概念及复数相等的充要条件．(重点)2．了解复数的代数表示法及几何意义，能将代数形式的复数在复平面上用点或向量表示，并能将复平面上的点或向量所对应的复数用代数形式表示．3．能进行复数形式的四则运算，并了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．(重点、难点)[考向预测]　 从近三年高考情况来看，本讲在高考中属于必考内容．预测2021年将会考查：①复数的基本概念与四则运算；②复数模的计算；③复数的几何意义．题型为客观题，难度一般不大，属于基础题型．    对应学生用书P1971.复数的有关概念内容意义备注复数的概念形如a＋bi(a∈R，b∈R)的数叫复数，其中实部为a，虚部为b若b＝0，则a＋bi为实数；若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数复数相等a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d实部与实部、虚部与虚部对应相等共轭复数a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R)实数的共轭复数是它本身复平面建立平面直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫实轴，y轴叫虚轴实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，各象限内的点都表示虚数复数的模设对应的复数为z＝a＋bi，则向量的长度叫做复数z＝a＋bi的模|z|＝|a＋bi|＝2.复数的几何意义复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，复数集C与复平面内所有以原点O为起点的向量组成的集合也是一一对应的，即(1)复数z＝a＋bi一一对应复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)．(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)一一对应平面向量.3.复数代数形式的四则运算(1)运算法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则运算名称符号表示语言叙述加减法z1±z2＝(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i把实部、虚部分别相加减乘法z1· z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i按照多项式乘法进行，并把i2换成－1除法＝＝＝＋i(c＋di≠0)把分子、分母分别乘以分母的共轭复数，然后分子、分母分别进行乘法运算(2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．(3)复数乘法的运算定律复数的乘法满足交换律、结合律、分配律，即对于任意z1，z2，z3∈C，有z1·z2＝z2·z1，(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)，z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3.(4)复数加、减法的几何意义①复数加法的几何意义：若复数z1，z2对应的向量，不共线，则复数z1＋z2是＋所对应的复数．②复数减法的几何意义：复数z1－z2是－即所对应的复数．4.模的运算性质：①|z|2＝||2＝z·；②|z1·z2|＝|z1||z2|；③＝.1.概念辨析(1)关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c∈R且a≠0)一定有两个根．(　　)(2)若复数a＋bi中a＝0，则此复数必是纯虚数．(　　)(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．(　　)(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．(　　)答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√2.小题热身(1)已知i为虚数单位，z＝，则复数z的虚部为(　　)A.－2i  B．2i  C．2  D．－2答案　D解析　z＝＝＝＝2－2i，故虚部为－2.故选D.(2)(2019·全国卷Ⅱ)设z＝－3＋2i，则在复平面内对应的点位于(　　)A.第一象限  B．第二象限C.第三象限  D．第四象限答案　C解析　＝－3－2i，故对应的点(－3，－2)位于第三象限．故选C.(3)在复平面内，复数z＝cos3＋isin3(i为虚数单位)，则|z|为(　　)A.4  B．3  C．2  D．1答案　D解析　|z|＝＝1.(4)设复数z1＝2－i，z2＝a＋2i(i为虚数单位，a∈R)，若z1z2∈R，则a＝________.答案　4解析　因为z1z2＝(2－i)(a＋2i)＝2a＋2＋(4－a)i，且z1z2是实数，所以4－a＝0即a＝4.  对应学生用书P198题型 一　复数代数形式的四则运算1.(2019·全国卷Ⅲ)若z(1＋i)＝2i，则z＝(　　)A.－1－i  B．－1＋iC.1－i  D．1＋i答案　D解析　由z(1＋i)＝2i，得z＝＝＝＝i(1－i)＝1＋i.故选D.2.已知i是虚数单位，8＋2020＝________.答案　0解析　原式＝8＋1010＝i8＋1010＝i8＋i1010＝1＋i4×252＋2＝0.1.复数代数形式运算问题的解题策略(1)复数的加减法在进行复数的加减法运算时，可类比合并同类项，运用法则(实部与实部相加减，虚部与虚部相加减)计算即可．(2)复数的乘法复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可．(3)复数的除法除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式．2.记住以下结论，可提高运算速度(1)(1±i)2＝±2i；(2)＝i；(3)＝－i；(4)＝b－ai；(5)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N)．1.＝(　　)A.2  B．－2  C.  D．－答案　A解析　＝＝＝＝2.2.(2019·武汉模拟)设复数z满足＝i，则z＝(　　)A.＋i  B.－iC.－＋i  D．－－i答案　C解析　解法一：由＝i得1＋2z＝i－iz，所以z＝＝＝－＋i.故选C.解法二：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝i可化为1＋2a＋2bi＝i－ai＋b，则1＋2a＋2bi＝b＋(1－a)i，所以解得所以z＝－＋i.故选C.题型 二　复数的有关概念1.(2019·全国卷Ⅱ)设z＝i(2＋i)，则＝(　　)A.1＋2i  B．－1＋2i  C．1－2i  D．－1－2i答案　D解析　∵z＝i(2＋i)＝－1＋2i，∴＝－1－2i.故选D.2.(2019·青岛二模)“a＝2”是“复数z＝(a∈R)为纯虚数”的(　　)A.充分不必要条件  B．必要不充分条件C.充要条件  D．既不充分也不必要条件答案　C解析　当a＝2时，＝＝＝4i，为纯虚数；若＝＝a－2＋(a＋2)i是纯虚数，则a－2＝0，a＋2≠0，所以a＝2.所以“a＝2”是“复数z＝(a∈R)为纯虚数”的充要条件．故选C.3.(2019·全国卷Ⅰ)设z＝，则|z|＝(　　)A.2  B.  C.  D．1答案　C解析　∵z＝＝＝，∴|z|＝＝.故选C.4.(2019·东北育才学校模拟)若复数z＝，且zi3>0，则实数a的值等于(　　)A.1  B．－1  C.  D．－答案　A解析　∵z＝＝＝，∴zi3＝＝.∵zi3>0，∴zi3为实数，∴－＝0，∴a＝1.当a＝1时，zi3＝1>0，符合题意．故选A.处理复数基本概念问题的关键因为复数的分类、相等、模、共轭复数等问题都与实部和虚部有关，所以处理复数有关基本概念问题的关键是找准复数的实部和虚部，即转化为a＋bi(a，b∈R)的形式，再从定义出发，把复数问题转化成实数问题来处理．1.(2019·山西大学附中模拟)复数的实部与虚部之差为(　　)A.－1  B．1  C．－  D.答案　B解析　因为＝－－i，所以实部为－，虚部为－，所以实部与虚部之差为－－－＝1.故选B.2.(2017·浙江高考)已知a，b∈R，(a＋bi)2＝3＋4i(i是虚数单位)，则a2＋b2＝________，ab＝________.答案　5　2解析　因为(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi.由(a＋bi)2＝3＋4i，得解得a2＝4，b2＝1.所以a2＋b2＝5，ab＝2.题型 三　复数的几何意义　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　1.(2020·福州质检)设复数z1，z2在复平面内对应的点关于实轴对称，z1＝2＋i，则＝(　　)A.1＋i  B.＋iC.1＋i  D．1＋i答案　B解析　因为复数z1，z2在复平面内对应的点关于实轴对称，z1＝2＋i，所以z2＝2－i，所以＝＝＝＋i，故选B.2.(2019·长沙一模)在复平面内表示复数的点位于第一象限，则实数m的取值范围是(　　)A.(－∞，－1)  B．(－∞，0)C.(0，＋∞)  D．(1，＋∞)答案　D解析　由题意，得＝＝＝＋i，所以复数对应的点的坐标为，.又此点位于第一象限，所以解得m>1，即实数m的取值范围是(1，＋∞)．故选D.3.(2019·全国卷Ⅰ)设复数z满足|z－i|＝1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则(　　)A.(x＋1)2＋y2＝1  B．(x－1)2＋y2＝1C.x2＋(y－1)2＝1  D．x2＋(y＋1)2＝1答案　C解析　由已知条件，可得z＝x＋yi.∵|z－i|＝1，∴|x＋yi－i|＝1，∴x2＋(y－1)2＝1.故选C.复数的几何意义及应用(1)复数z、复平面上的点Z及向量相互联系，即z＝a＋bi(a，b∈R)⇔Z(a，b)⇔.(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．提醒：|z|的几何意义：令z＝x＋yi(x，y∈R)，则|z|＝，由此可知表示复数z的点到原点的距离就是|z|的几何意义；|z1－z2|的几何意义是复平面内表示复数z1，z2的两点之间的距离．1.(2019·长春二模)已知复数z＝i＋i2，则在复平面内z对应的点位于(　　)A.第一象限  B．第二象限C.第三象限  D．第四象限答案　B解析　∵i＋i2＝－1＋i，∴i＋i2在复平面内对应的点为(－1,1)，在第二象限．故选B.2.在复平面内，若O(0,0)，A(2，－1)，B(0,3)，则在▱OACB中，点C所对应的复数为(　　)A.2＋2i  B．2－2i  C．1＋i  D．1－i答案　A解析　在▱OACB中，＝＋＝(2，－1)＋(0,3)＝(2,2)，所以点C所对应的复数为2＋2i.3.如图所示的网格纸中小正方形的边长是1，复平面内点Z对应的复数z满足(z1－i)·z＝1，则复数z1＝(　　)A．－＋iB.＋iC.－iD.－－i答案　B解析　由图可知z＝2＋i，因为(z1－i)·z＝1，所以z1＝＋i＝＋i＝＋i＝＋i.  对应学生用书P289　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　组　基础关1.(2019·潍坊模拟)设z＝i3＋，则z的虚部是(　　)A.－1  B．－i  C．－2i  D．－2答案　D解析　z＝i3＋＝－i＋＝－i＋＝－i－i＝－2i，∴z的虚部为－2.故选D.2.(2020·大连摸底)在复平面内，复数z＝(i是虚数单位)，则z的共轭复数在复平面内对应的点位于(　　)A.第一象限  B．第二象限C.第三象限  D．第四象限答案　B解析　z＝＝＝＝－1－2i，其共轭复数＝－1＋2i对应的点(－1,2)在第二象限.3.(2019·南宁二模)若复数z满足(1＋z)(1＋i)＝1＋2i(i是虚数单位)，则|z|＝(　　)A.  B.  C.  D.答案　A解析　解法一：由(1＋z)(1＋i)＝1＋2i，得z＝－1＝＋i，所以|z|＝＝.故选A.解法二：设z＝a＋bi(a，b∈R)．由(1＋z)(1＋i)＝1＋2i，得(1＋a＋bi)(1＋i)＝1＋2i，所以(1＋a－b)＋(1＋a＋b)i＝1＋2i，所以解得所以z＝＋i，则|z|＝＝.故选A.4.(2019·广东湛江测试)若z＝(a－)＋ai为纯虚数，其中a∈R，则＝(　　)A.i  B．1  C．－i  D．－1答案　C解析　∵z为纯虚数，∴∴a＝，∴＝＝＝＝－i.故选C.5.已知m为实数，i为虚数单位，若m＋(m2－4)i>0，则＝(　　)A.i  B．1  C．－i  D．－1答案　A解析　因为m＋(m2－4)i>0，所以m＋(m2－4)i是实数，所以故m＝2.所以＝＝＝i.6.(2019·江西省重点中学协作体第一次联考)已知i为虚数单位，(1＋i)x＝2＋yi，其中x，y∈R，则|x＋yi|＝(　　)A.2  B. C．2  D．4答案　A解析　∵(1＋i)x＝2＋yi，x＋ix＝2＋yi.∴x＝2，y＝2，∴|x＋yi|＝2.故选A.7.(2017·全国卷Ⅰ)设有下面四个命题：p1：若复数z满足∈R，则z∈R；p2：若复数z满足z2∈R，则z∈R；p3：若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1＝2；p4：若复数z∈R，则∈R.其中的真命题为(　　)A.p1，p3  B．p1，p4  C．p2，p3  D．p2，p4答案　B解析　设z＝a＋bi(a，b∈R)，z1＝a1＋b1i(a1，b1∈R)，z2＝a2＋b2i(a2，b2∈R)．对于p1，若∈R，即＝∈R，则b＝0且a≠0⇒z＝a＋bi＝a∈R，所以p1为真命题．对于p2，若z2∈R，即(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2∈R，则ab＝0.当a＝0，b≠0时，z＝a＋bi＝bi∈/ R，所以p2为假命题．对于p3，若z1z2∈R，即(a1＋b1i)(a2＋b2i)＝(a1a2－b1b2)＋(a1b2＋a2b1)i∈R，则a1b2＋a2b1＝0.而z1＝2，即a1＋b1i＝a2－b2i⇔a1＝a2，b1＝－b2.因为a1b2＋a2b1＝0⇒/ a1＝a2，b1＝－b2，所以p3为假命题．对于p4，若z∈R，即a＋bi∈R，则b＝0⇒＝a－bi＝a∈R，所以p4为真命题．故选B.8.(2017·天津高考)已知a∈R，i为虚数单位，若为实数，则a的值为________．答案　－2解析　∵a∈R，＝＝＝－i为实数，∴－＝0，∴a＝－2.9.设i是虚数单位，若z＝，则复数z的虚部是________．答案　－解析　因为z＝＝＝＝－－i，所以复数z的虚部是－.10.已知复数z满足z＋|z|＝3＋i，则z＝________.答案　＋i解析　设z＝a＋bi(a，b∈R)．因为z＋|z|＝3＋i，所以a＋＋bi＝3＋i，即解得所以z＝＋i.　组　能力关1.(2019·哈尔滨模拟)复数z＝a＋bi(a，b∈R)，i为虚数单位，为z的共轭复数，则以下结论正确的是(　　)A.z2＝|z|2B.若a＝0则z为纯虚数C.(z－)(z＋)＝0D.若a＝b，则z对应复平面上的点在复平面一、三象限角平分线上答案　D解析　z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi，|z|2＝()2＝a2＋b2，故A错误；当a＝0，b≠0时，z为纯虚数，故B错误；因为z＝a＋bi(a，b∈R)，所以＝a－bi，(z－)(z＋)＝2bi·2a＝4abi≠0，故C错误；z＝a＋bi，对应复平面上的点坐标为(a，b)，若a＝b，则此点在复平面一、三象限角平分线上，故D正确.2.(2019·湖北四地七校联考)欧拉公式eiθ＝cosθ＋isinθ(e是自然对数的底数，i是虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的．它将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，当θ＝π时，就有eiπ＋1＝0.根据上述背景知识，试判断e－i表示的复数在复平面内对应的点位于(　　)A.第一象限  B．第二象限C.第三象限  D．第四象限答案　B解析　由题意，e－i＝cos＋isin＝－cos＋isin＝－＋i，则e－i表示的复数在复平面内对应的点为，位于第二象限．选B.3.(2019·西安模拟)已知方程x2＋(4＋i)x＋4＋ai＝0(a∈R)有实根b，且z＝a＋bi，则复数z等于(　　)A.2－2i  B．2＋2iC.－2＋2i  D．－2－2i答案　A解析　由题意得b2＋(4＋i)b＋4＋ai＝0，整理得(b2＋4b＋4)＋(a＋b)i＝0，所以所以所以z＝2－2i.4.已知复数z在复平面内对应的点在第三象限，则z1＝＋|z|在复平面内对应的点在(　　)A.第一象限  B．第二象限C.第三象限  D．第四象限答案　A解析　令z＝a＋bi(a<0，b<0)，则|z|＝>|a|，z1＝＋|z|＝(＋a)－bi，又＋a>0，－b>0，所以z1在复平面内对应的点在第一象限.5.已知复数z＝(a－2)＋(a＋1)i(a∈R)的对应点在复平面的第二象限，则|1＋ai|的取值范围是________．答案　[1，)解析　复数z＝(a－2)＋(a＋1)i对应的点的坐标为(a－2，a＋1)，因为该点位于第二象限，所以解得－1<a<2.所以|1＋ai|＝∈[1，).6.复数z1，z2满足z1＝m＋(4－m2)i，z2＝2cosθ＋(λ＋3sinθ)i(m，λ，θ∈R)，并且z1＝z2，则λ的取值范围是________．答案　解析　由复数相等的充要条件，可得化简得4－4cos2θ＝λ＋3sinθ，由此可得λ＝－4cos2θ－3sinθ＋4＝－4(1－sin2θ)－3sinθ＋4＝4sin2θ－3sinθ＝42－，因为sinθ∈[－1,1]，所以λ∈.