2021届山东高考数学一轮创新教学案：第12章　第3讲　绝对值不等式

第3讲　绝对值不等式

1.绝对值不等式

(1)定理

如果a，b是实数，那么|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．

(2)如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|.当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立，即b落在a，c之间．

(3)由绝对值不等式定理还可以推得以下几个不等式

①|a1＋a2＋…＋an|≤|a1|＋|a2|＋…＋|an|.

②||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.

2.绝对值不等式的解法

(1)形如|ax＋b|≥|cx＋d|的不等式，可以利用两边平方的形式转化为二次不等式求解．

(2)①绝对值不等式|x|>a与|x|<a的解集．

②|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法．

|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c(c>0)，

|ax＋b|≥c⇔ax＋b≤－c或ax＋b≥c(c>0)．

1.概念辨析

(1)不等式|x－1|＋|x＋2|<2的解集为∅.(　　)

(2)若|x|>c的解集为R，则c≤0.(　　)

(3)|x－a|＋|x－b|的几何意义是表示数轴上的点x到点a，b的距离之和．(　　)

(4)对|a－b|≤|a|＋|b|当且仅当ab≤0时等号成立．(　　)

答案　(1)√　(2)×　(3)√　(4)√

2.小题热身

(1)设a，b为满足ab<0的实数，那么(　　)

A.|a＋b|>|a－b|  B．|a＋b|<|a－b|

C.|a－b|<||a|－|b||  D．|a－b|<|a|＋|b|

答案　B

解析　∵ab<0，∴|a－b|＝|a|＋|b|>|a＋b|.

(2)若不等式|kx－4|≤2的解集为{x|1≤x≤3}，则实数k＝________.

答案　2

解析　由|kx－4|≤2⇔2≤kx≤6.∵不等式的解集为{x|1≤x≤3}，∴k＝2.

(3)函数y＝|x－3|＋|x＋3|的最小值为________．

答案　6

解析　因为|x－3|＋|x＋3|≥|(x－3)－(x＋3)|＝6，当－3≤x≤3时，|x－3|＋|x＋3|＝6，所以函数y＝|x－3|＋|x＋3|的最小值为6.

(4)不等式|x－1|－|x－5|<2的解集是________．

答案　(－∞，4)

解析　|x－1|－|x－5|表示数轴上对应的点x到1和5的距离之差．而数轴上满足|x－1|－|x－5|＝2的点的数是4，结合数轴可知，满足|x－1|－|x－5|<2的解集是(－∞，4).

题型 一　解绝对值不等式

1.(2019·全国卷Ⅱ)已知f(x)＝|x－a|x＋|x－2|·(x－a)．

(1)当a＝1时，求不等式f(x)<0的解集；

(2)若x∈(－∞，1)时，f(x)<0，求a的取值范围．

解　(1)当a＝1时，f(x)＝|x－1|x＋|x－2|(x－1)．

当x<1时，f(x)＝－2(x－1)2<0；

当x≥1时，f(x)≥0.

所以，不等式f(x)<0的解集为(－∞，1)．

(2)因为f(a)＝0，所以a≥1.

当a≥1，x∈(－∞，1)时，f(x)＝(a－x)x＋(2－x)·(x－a)＝2(a－x)(x－1)<0.所以，a的取值范围是[1，＋∞).

2.设函数f(x)＝|2x＋1|－|x－4|.

(1)解不等式f(x)>2；

(2)求函数y＝f(x)的最小值．

解　(1)解法一：令2x＋1＝0，x－4＝0分别得

x＝－，x＝4.原不等式可化为：

或或

∴原不等式的解集为x.

解法二：f(x)＝|2x＋1|－|x－4|

＝

画出f(x)的图象，如图所示．

求得y＝2与f(x)图象的交点为(－7,2)，，2.

由图象知f(x)>2的解集为x.

(2)由(1)的解法二知，f(x)min＝－.

解|x－a|＋|x－b|≥c或|x－a|＋|x－b|≤c的方法

(1)零点分段法

①令每个含绝对值符号的代数式为零，并求出相应的根；

②将这些根按从小到大排序并以这些根为端点把实数集分为若干个区间；

③由所分区间去掉绝对值符号组成若干个不等式，解这些不等式，求出解集；

④取各个不等式解集的并集求得原不等式的解集．

(2)利用|x－a|＋|x－b|的几何意义

数轴上到点x1＝a和x2＝b的距离之和大于c的全体，|x－a|＋|x－b|≥|x－a－(x－b)|＝|a－b|.

(3)图象法：作出函数y1＝|x－a|＋|x－b|和y2＝c的图象，结合图象求解．见举例说明2.

提醒：易出现解集不全的错误．对于含绝对值的不等式，不论是分段去绝对值号还是利用几何意义，都要不重不漏．

(2019·石家庄模拟)设函数f(x)＝|x＋1|.

(1)求不等式f(x)≤5－f(x－3)的解集；

(2)已知关于x的不等式2f(x)＋|x＋a|≤x＋4在[－1，1]上有解，求实数a的取值范围．

解　(1)不等式f(x)≤5－f(x－3)，即|x＋1|＋|x－2|≤5，

等价于或

或解得－2≤x≤3.

所以原不等式的解集为{x|－2≤x≤3}．

(2)当x∈[－1,1]时，不等式2f(x)＋|x＋a|≤x＋4，即|x＋a|≤2－x，

所以|x＋a|≤2－x在[－1,1]上有解，

即－2≤a≤2－2x在[－1,1]上有解，

解得－2≤a≤4，所以实数a的取值范围为[－2,4].

题型 二　绝对值不等式性质的应用　

角度1　用绝对值不等式的性质求最值

1.(1)对任意x，y∈R，求|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|的最小值；

(2)对于实数x，y，若|x－1|≤1，|y－2|≤1，求|x－2y＋1|的最大值．

解　(1)∵x，y∈R，

∴|x－1|＋|x|≥|(x－1)－x|＝1，

当且仅当0≤x≤1时等号成立，

∴|y－1|＋|y＋1|≥|(y－1)－(y＋1)|＝2，

当且仅当－1≤y≤1时等号成立，

∴|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|≥1＋2＝3，

当且仅当0≤x≤1，－1≤y≤1同时成立时等号成立，

∴|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|的最小值为3.

(2)|x－2y＋1|＝|(x－1)－2(y－1)|≤|x－1|＋|2(y－2)＋2|≤1＋2|y－2|＋2≤5，

即|x－2y＋1|的最大值为5.

角度2　用绝对值不等式的性质证明不等式

2.设a>0，|x－1|<，|y－2|<，求证：|2x＋y－4|<a.

证明　因为|x－1|<，|y－2|<，

所以|2x＋y－4|＝|2(x－1)＋(y－2)|

≤2|x－1|＋|y－2|<2×＋＝a.

即|2x＋y－4|<a.

1.证明绝对值不等式的三种主要方法

(1)利用绝对值的定义去掉绝对值符号，转化为普通不等式再证明．

(2)利用三角不等式||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|进行证明．

(3)转化为函数问题，利用数形结合进行证明.

2.用绝对值不等式的性质求最值的方法

利用不等式|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R)和|a－b|≤|a－c|＋|c－b|(a，b∈R)，通过确定适当的a，b，利用整体思想或使函数、不等式中不含变量，可以求最值．

1.已知x，y∈R，且|x＋y|≤，|x－y|≤，求证：|x＋5y|≤1.

证明　∵|x＋5y|＝|3(x＋y)－2(x－y)|，

∴由绝对值不等式的性质，得

|x＋5y|＝|3(x＋y)－2(x－y)|

≤|3(x＋y)|＋|2(x－y)|

＝3|x＋y|＋2|x－y|

≤3×＋2×＝1.

即|x＋5y|≤1.

2.已知函数f(x)＝|x－4|＋|x－a|(a∈R)的最小值为a.

(1)求实数a的值；

(2)解不等式f(x)≤5.

解　(1)f(x)＝|x－4|＋|x－a|≥|a－4|＝a，

解得a＝2.

(2)由(1)知，f(x)＝|x－4|＋|x－2|

＝

故当x≤2时，由－2x＋6≤5，得≤x≤2，

当2<x≤4时，显然不等式成立，

当x>4时，由2x－6≤5，得4<x≤，

故不等式f(x)≤5的解集为x≤x≤.

题型 三　与绝对值不等式有关的参数范围问题　

(2018·全国卷Ⅰ)已知f(x)＝|x＋1|－|ax－1|.

(1)当a＝1时，求不等式f(x)>1的解集；

(2)若x∈(0,1)时不等式f(x)>x成立，求a的取值范围．

解　(1)当a＝1时，f(x)＝|x＋1|－|x－1|，

即f(x)＝

故不等式f(x)>1的解集为x>.

(2)当x∈(0,1)时|x＋1|－|ax－1|>x成立等价于当x∈(0,1)时|ax－1|<1成立．

若a≤0，则当x∈(0,1)时，|ax－1|≥1，不符合题意；

若a>0，|ax－1|<1的解集为0<x<，所以≥1，故0<a≤2.综上，a的取值范围为(0,2].

条件探究　将本例中的函数改为“f(x)＝|2x－1|－|x－a|”，若x∈(－1,0)时，f(x)>1有解，求a的取值范围．

解　当x∈(－1,0)时，f(x)>1有解⇔|x－a|<－2x有解⇔2x<x－a<－2x有解⇔3x<a<－x有解，

∵3x>－3，－x<1，∴－3<a<1，即实数a的取值范围是(－3,1).

两招解不等式问题中的含参问题

(1)第一招是转化．①把存在性问题转化为求最值问题；②不等式的解集为R是指不等式的恒成立问题；③不等式的解集为∅的对立面也是不等式的恒成立问题，此类问题都可转化为最值问题，即f(x)<a恒成立⇔a>f(x)max，f(x)>a恒成立⇔a<f(x)min.

(2)第二招是求最值．求含绝对值的函数最值时，常用的方法有三种：①利用绝对值的几何意义；②利用绝对值三角不等式，即|a|＋|b|≥|a±b|≥||a|－|b||；③利用零点分区间法．

(2019·安徽省江南十校联考)设函数f(x)＝lg (|2x－1|＋2|x＋1|－a)．

(1)当a＝4时，求函数f(x)的定义域；

(2)若函数f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围．

解　(1)当a＝4时，f(x)＝lg (|2x－1|＋2|x＋1|－4)，此时x应满足|2x－1|＋2|x＋1|>4.

当x≤－1时，1－2x－2x－2>4，解得x<－；

当－1<x<时，1－2x＋2x＋2>4，无解；

当x≥时，2x－1＋2x＋2>4，解得x>.

综上所述，函数f(x)的定义域为

xx<－或x>.

(2)函数f(x)的定义域为R，

即|2x－1|＋2|x＋1|－a>0在R上恒成立，

即a<(|2x－1|＋2|x＋1|)min.

因为|2x－1|＋2|x＋1|＝|2x－1|＋|2x＋2|≥|(2x－1)－(2x＋2)|＝3，

所以a<3，即实数a的取值范围为(－∞，3).

　组　基础关

1.(2019·衡水模拟)已知函数f(x)＝|x－2|.

(1)求不等式f(x＋1)<xf(x＋3)的解集；

(2)若函数g(x)＝log2[f(x＋3)＋f(x)－2a]的值域为R，求实数a的取值范围．

解　(1)由已知不等式，得|x－1|<x|x＋1|.

考虑到x>0，不等式又可化为

或

解得－1<x≤1或x>1.

所以不等式f(x＋1)<xf(x＋3)的解集为(－1，＋∞)．

(2)设h(x)＝f(x＋3)＋f(x)－2a，

则h(x)＝|x－2|＋|x＋1|－2a.

因为|x－2|＋|x＋1|－2a≥3－2a当且仅当x∈[－1,2]时取等号，所以h(x)min＝3－2a.

因为函数g(x)＝log2[f(x＋3)＋f(x)－2a]的值域为R，

所以f(x＋3)＋f(x)－2a≤0有解，即|x－2|＋|x＋1|≤2a.

因为|x－2|＋|x＋1|≥3，所以2a≥3，即a≥.所以实数a的取值范围是，＋∞.

2.(2019·湖北四地七校模拟)已知函数f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a|，g(x)＝x＋3.

(1)当a＝2时，求不等式f(x)＜g(x)的解集；

(2)设a＞－1，且当x∈时，f(x)≤g(x)，求实数a的取值范围．

解　(1)当a＝2时，不等式f(x)＜g(x)可化为

|2x－1|＋|2x＋2|－x－3＜0，

设函数y＝|2x－1|＋|2x＋2|－x－3，

则y＝令y＜0，得0＜x＜，

∴原不等式的解集是x.

(2)当x∈时，f(x)＝1＋a，不等式f(x)≤g(x)可化为1＋a≤x＋3，

∴x≥a－2对x∈都成立，故－≥a－2，即a≤，

∴实数a的取值范围为.

3.(2018·全国卷Ⅲ)设函数f(x)＝|2x＋1|＋|x－1|.

(1)画出y＝f(x)的图象；

(2)当x∈[0，＋∞)，f(x)≤ax＋b，求a＋b的最小值．

解　(1)f(x)＝

y＝f(x)的图象如图所示．

(2)由(1)知，y＝f(x)的图象与y轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当a≥3且b≥2时，f(x)≤ax＋b在x∈[0，＋∞)上成立，因此a＋b的最小值为5.

4.(2019·潍坊模拟)设函数f(x)＝|x－a|＋x＋(a>0)．

(1)求证：f(x)≥4；

(2)若不等式f(x)－x＋≥4x的解集为{x|x≤2}，求实数a的值．

解　(1)证明：f(x)＝|x－a|＋x＋

≥x－a－x－

＝a＋≥2＝4，当且仅当a＝2时取等号．

(2)解法一：由f(x)－x＋≥4x，得

|x－a|≥4x(a>0)．

当x≥a时，x－a≥4x，解得x≤－，

这与x≥a>0相矛盾，故不成立．

当x<a时，a－x≥4x，解得x≤.

又不等式的解集是{x|x≤2}，

∴＝2，解得a＝10.

解法二：由f(x)－x＋≥4x，得

|x－a|≥4x(a>0)．

∵不等式|x－a|≥4x(a>0)的解集为{x|x≤2}．

∴x＝2是方程|x－a|＝4x的解，

∴|2－a|＝4×2，

解得a＝10或a＝－6.

∵a>0，∴a＝10.

　组　能力关

1.(2019·华中师范大学第一附中模拟)已知函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|.

(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥7的解集；

(2)若f(x)≤|x－4|＋|x＋2a|的解集包含[0,2]，求实数a的取值范围．

解　(1)当a＝1时，f(x)＝

当x≤－1时，由f(x)≥7得－2x＋1≥7，解得x≤－3；

当－1<x<2时，f(x)≥7无解；

当x≥2时，由f(x)≥7得2x－1≥7，解得x≥4.

所以f(x)≥7的解集为(－∞，－3]∪[4，＋∞)．

(2)若f(x)≤|x－4|＋|x＋2a|的解集包含[0,2]，

则|x＋a|－|x＋2a|≤|x－4|－|x－2|在[0,2]上恒成立．

所以当x∈[0,2]时，|x＋a|－|x＋2a|≤|x－4|－|x－2|＝2，

即(|x＋a|－|x＋2a|)max≤2恒成立．

又|x＋a|－|x＋2a|≤|(x＋a)－(x＋2a)|＝|a|，

所以|a|≤2，故－2≤a≤2.

所以实数a的取值范围是[－2,2].

2.已知函数f(x)＝|2x－a|＋|2x＋3|，g(x)＝|x－1|＋2.

(1)解不等式：|g(x)|<5；

(2)若对任意的x1∈R，都有x2∈R，使得f(x1)＝g(x2)成立，求实数a的取值范围．

解　(1)由||x－1|＋2|<5，得－5<|x－1|＋2<5，

所以－7<|x－1|<3，解不等式得－2<x<4，

所以原不等式的解集是{x|－2<x<4}．

(2)因为对任意的x1∈R，都有x2∈R，使得f(x1)＝g(x2)成立，所以{y|y＝f(x)}⊆{y|y＝g(x)}，又f(x)＝|2x－a|＋|2x＋3|≥|(2x－a)－(2x＋3)|＝|a＋3|，g(x)＝|x－1|＋2≥2，所以|a＋3|≥2，解得a≥－1或a≤－5，所以实数a的取值范围是{a|a≥－1或a≤－5}.

3.(2019·安徽师大附中、马鞍山二中阶段测试)已知函数f(x)＝|x－2|.

(1)解不等式：f(x)＋f(x＋1)≤2；

(2)若a<0，求证：f(ax)－af(x)≥f(2a)．

解　(1)由题意，得f(x)＋f(x＋1)＝|x－1|＋|x－2|.

因此只要解不等式|x－1|＋|x－2|≤2.

当x≤1时，原不等式等价于－2x＋3≤2，

解得≤x≤1；

当1<x≤2时，原不等式等价于1≤2，解得1<x≤2；

当x>2时，原不等式等价于2x－3≤2，解得2<x≤.

综上，原不等式的解集为x≤x≤.

(2)证明：由题意得f(ax)－af(x)＝|ax－2|－a|x－2|＝|ax－2|＋|2a－ax|≥|ax－2＋2a－ax|＝|2a－2|＝f(2a)，

所以f(ax)－af(x)≥f(2a)成立.

4.(2019·武汉模拟)已知函数f(x)＝|2x＋1|＋|x－1|.

(1)求不等式f(x)≥3的解集；

(2)若直线y＝x＋a与y＝f(x)的图象所围成的多边形面积为，求实数a的值．

解　(1)由题意，得f(x)＝

当x≥1时，由f(x)≥3得3x≥3，解得x≥1；

当－<x<1时，由f(x)≥3得x＋2≥3，解得x≥1，

这与－<x<1矛盾，故舍去；

当x≤－时，由f(x)≥3得－3x≥3，解得x≤－1.

综上可知，不等式f(x)≥3的解集为

{x|x≤－1或x≥1}．

(2)画出函数y＝f(x)的图象，

如图所示，其中A－，，B(1,3)，

∴kAB＝＝1，

∴直线y＝x＋a与直线AB平行．

若要围成多边形，则a>2.

易得直线y＝x＋a与y＝f(x)的图象交于两点

C，，D－，，

则|CD|＝·＋＝a，

平行线AB与CD间的距离

d＝＝，|AB|＝，

∴梯形ABCD的面积

S＝·＝·(a－2)

＝(a>2)，

即(a＋2)(a－2)＝12，∴a＝4.

故所求实数a的值为4.