2021届山东高考数学一轮创新教学案：第2章　第6讲　对数与对数函数

第6讲　对数与对数函数 [考纲解读]　1.理解对数的概念及其运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数，熟悉对数在简化运算中的作用．2．理解对数函数的概念及对数函数的相关性质，掌握其图象通过的特殊点．(重点、难点)3．通过具体实例了解对数函数模型所刻画的数量关系，并体会对数函数是一类重要的函数模型．4．了解指数函数y＝ax(a>0且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0且a≠1)互为反函数． [考向预测]　从近三年高考情况来看，本讲为高考中的一个热点．预测2021年高考主要以考查对数函数的单调性的应用、最值、比较大小为主要命题方向，此外，与对数函数有关的复合函数也是一个重要的考查方向，主要以复合函数的单调性、恒成立问题呈现．    对应学生用书P0271.对数的概念如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．2.对数的性质与运算法则(1)对数的性质①alogaN＝N(a>0，且a≠1)；②logaaN＝N(a＞0，且a≠1)；③零和负数没有对数．(2)对数的运算法则(a＞0，且a≠1，M ＞0，N＞0)①loga(M·N)＝logaM＋logaN；②loga＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM(n∈R)．(3)对数的换底公式logab＝(a＞0，且a≠1；c＞0，且c≠1；b＞0)．3.对数函数的图象与性质     函数y＝logax(a>0，且a≠1)图象a>10<a<1图象特征在y轴右侧，过定点(1,0)当x逐渐增大时，图象是上升的当x逐渐增大时，图象是下降的续表函数y＝logax(a>0，且a≠1)性质定义域(0，＋∞)值域R单调性在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数函数值变化规律当x＝1时，y＝0当x>1时，y>0；当0<x<1时，y<0当x>1时，y<0；当0<x<1时，y>04.反函数指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．1.概念辨析(1)若MN＞0，则loga(MN)＝logaM＋logaN.(　　)(2)若a，b均大于零且不等于1，则logab＝.(　　)(3)函数y＝logax2与函数y＝2logax是相等函数．(　　)(4)若M＞N＞0，则logaM＞logaN.(　　)(5)对数函数y＝logax(a＞0且a≠1)的图象过定点(1,0)，且过点(a,1)，.(　　)答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×　(5)√2.小题热身(1)已知函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a＞0，a≠1)的图象如图，则下列结论成立的是(　　)A.a＞1，c＞1B.a＞1,0＜c＜1C.0＜a＜1，c＞1D.0＜a＜1,0＜c＜1答案　D解析　由选项可知，只需研究c＞0的情况．y＝logax的图象向左平移c个单位可得函数y＝loga(x＋c)的图象，结合图象可知0＜a＜1,0＜c＜1.(2)若a＝log0.20.3，b＝log0.20.4，c＝20.2，则(　　)A.a＜b＜c  B．b＜a＜cC.b＜c＜a  D．a＜c＜b答案　B解析　因为y＝log0.2x是减函数，所以log0.20.2＞log0.20.3＞log0.20.4，即1＞a＞b.又c＝20.2＞20＝1，所以b＜a＜c.(3)有下列结论：①lg (lg 10)＝0；②lg (ln e)＝0；③若lg x＝1，则x＝10；④若log22＝x，则x＝1；⑤若logmn·log3m＝2，则n＝9.其中正确结论的序号是________．答案　①②③④⑤解析　lg (lg 10)＝lg 1＝0，故①正确；lg (ln e)＝lg 1＝0，故②正确；③④正确；logmn·log3m＝·log3m＝log3n＝2，故n＝9，故⑤正确．(4)若函数y＝f(x)是函数y＝2x的反函数，则f(2)＝________.答案　1解析　由已知得f(x)＝log2x，所以f(2)＝log22＝1.  对应学生用书P028题型 一　对数式的化简与求值1.计算log29×log34＋2log510＋log50.25等于(　　)A.0  B．2  C．4  D．6答案　D解析　log29×log34＋2log510＋log50.25＝2log23×＋log5(102×0.25)＝4＋2＝6.2.设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m等于(　　)A.  B．10  C．20  D．100答案　A解析　由2a＝5b＝m，得a＝log2m，b＝log5m，所以＋＝logm2＋logm5＝logm10＝2，所以m＝.3.已知log189＝a,18b＝5，则用a，b表示log3645＝________.答案　解析　因为log189＝a,18b＝5，所以log185＝b，于是log3645＝＝＝＝.4.(2019·全国卷Ⅱ)已知f(x)是奇函数，且当x<0时，f(x)＝－eax，若f(ln 2)＝8，则a＝________.答案　－3解析　设x>0，则－x<0.∵当x<0时，f(x)＝－eax，∴f(－x)＝－e－ax.∵f(x)是奇函数，∴f(x)＝－f(－x)＝e－ax，∴f(ln 2)＝e－aln 2＝(eln 2)－a＝2－a.又f(ln 2)＝8，∴2－a＝8，∴a＝－3.对数运算的一般思路(1)转化：①利用ab＝N⇔b＝logaN(a>0，且a≠1)对题目条件进行转化．如举例说明2.②利用换底公式化为同底数的对数运算．如举例说明3.(2)恒等式：关注loga1＝0，logaaN＝N，alogaN＝N的应用．如举例说明4.(3)拆分：将真数化为积、商或底数的指数幂形式，正用对数的运算法则化简．如举例说明3.(4)合并：将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．如举例说明1.1.(2019·山东省实验中学模拟)已知正实数a，b，c满足log2a＝log3b＝log6c，则(　　)A.a＝bc  B．b2＝acC.c＝ab  D．c2＝ab答案　C解析　设log2a＝log3b＝log6c＝k，则a＝2k，b＝3k，c＝6k，所以ab＝2k·3k＝(2×3)k＝6k＝c.2.计算(lg 2)2＋lg 2×lg 50＋lg 25的结果为________．答案　2解析　原式＝lg 2(lg 2＋lg 50)＋lg 52＝lg 2×lg 100＋2lg 5＝2(lg 2＋lg 5)＝2lg 10＝2.3.设35x＝49，若用含x的式子表示log535，则log535＝________.答案　解析　因为35x＝49，所以x＝log3549＝＝＝＝，解得log535＝.题型 二　对数函数的图象及应用　1.(2019·浙江高考)在同一直角坐标系中，函数y＝，y＝loga(a>0，且a≠1)的图象可能是(　　)答案　D解析　当0<a<1时，函数y＝ax的图象过定点(0,1)，在R上单调递减，于是函数y＝的图象过定点(0,1)，在R上单调递增，函数y＝loga的图象过定点，在上单调递减．因此，D中的两个图象符合．当a>1时，函数y＝ax的图象过定点(0,1)，在R上单调递增，于是函数y＝的图象过定点(0,1)，在R上单调递减，函数y＝loga的图象过定点，在上单调递增．显然A，B，C都不符合．故选D.2.当0<x≤时，4x<logax，则a的取值范围是(　　)A.  B.  C．(1，)  D．(，2)答案　B解析　构造函数f(x)＝4x和g(x)＝logax，要使0＜x≤时，4x＜logax，只需f(x)在上的图象在g(x)的图象下方即可．当a＞1时不满足条件；当0＜a＜1时，画出两个函数在上的图象，可知只需f＜g，即2＜loga，则a＞，所以a的取值范围为.条件探究1　将本例变为：若方程4x＝logax在上有解，则实数a的取值范围是________．答案　解析　若方程4x＝logax在上有解，则函数y＝4x和函数y＝logax在上有交点，由图象知解得0<a≤.条件探究2　将本例变为：若不等式x2－logax<0对x∈恒成立，则实数a的取值范围是________．答案　解析　由x2－logax<0得x2<logax，设f1(x)＝x2，f2(x)＝logax，要使x∈时，不等式x2<logax恒成立，只需f1(x)＝x2在上的图象在f2(x)＝logax图象的下方即可．当a>1时，显然不成立；当0<a<1时，如图所示，要使x2<logax在x∈上恒成立，需f1≤f2，所以有2≤loga，解得a≥，所以≤a<1.即实数a的取值范围是.1.对数函数图象的特征(1)底数与1的大小关系决定了图象的升降，即a>1时，图象上升；0<a<1时，图象下降．如举例说明1.(2)对数函数在同一直角坐标系中的图象如图，其中图象的相对位置与底数大小有关，图中0<c<d<1<a<b.在x轴上侧，图象从左到右相应的底数由小变大；在x轴下侧，图象从右到左相应的底数由小变大．(无论在x轴的上侧还是下侧，底数都按顺时针方向变大)2.利用对数函数的图象可求解的三类问题(1)对数型函数图象的识别．解此类问题应从对数函数y＝logax的图象入手，抓住图象上的三个关键点(a,1)，(1,0)，，特别地要注意a>1和0<a<1的两种不同情况．(2)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解．(3)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．如举例说明2.1.已知lg a＋lg b＝0(a>0且a≠1，b>0且b≠1)，则函数f(x)＝ax与g(x)＝－logbx的图象可能是(　　)答案　B解析　因为lg a＋lg b＝0，所以lg (ab)＝0，所以ab＝1，即b＝，故g(x)＝－logbx＝－logx＝logax，则f(x)与g(x)互为反函数，其图象关于直线y＝x对称，结合图象知，B正确.2.设实数a，b是关于x的方程|lg x|＝c的两个不同实数根，且a<b<10，则abc的取值范围是________．答案　(0,1)解析　由图象可知0<a<1<b<10，又|lg a|＝|lg b|＝c，所以lg a＝－c，lg b＝c，即lg a＝－lg b，lg a＋lg b＝0，所以ab＝1，于是abc＝c，而0<c<1.故abc的取值范围是(0,1).题型 三　对数函数的性质及应用　角度1　比较对数值的大小1.(2019·天津高考)已知a＝log52，b＝log0.50.2，c＝0.50.2，则a，b，c的大小关系为(　　)A.a<c<b  B．a<b<cC.b<c<a  D．c<a<b答案　A解析　因为y＝log5x是增函数，所以a＝log52<log5＝0.5.因为y＝log0.5x是减函数，所以b＝log0.50.2>log0.50.5＝1.因为y＝0.5x是减函数，所以0.5＝0.51<c＝0.50.2<0.50＝1，即0.5<c<1.所以a<c<b.故选A.角度2　解对数不等式2.设函数f(x)＝若f(a)>f(－a)，则实数a的取值范围是(　　)A.(－1,0)∪(0,1)B.(－∞，－1)∪(1，＋∞)C.(－1,0)∪(1，＋∞)D.(－∞，－1)∪(0,1)答案　C解析　若a>0，则log2a>loga，即2log2a>0，所以a>1.若a<0，则log(－a)>log2(－a)，即2log2(－a)<0，所以0<－a<1，所以－1<a<0.综上知，实数a的取值范围是(－1,0)∪(1，＋∞).角度3　与对数函数有关的函数性质问题3.函数y＝loga(2－ax)在区间[0,1]上是减函数，则a的取值范围是(　　)A.(0,1)  B．(0,2)  C．(1,2)  D．(2，＋∞)答案　C解析　题中隐含a>0，∴2－ax在区间[0,1]上是减函数．∴y＝logau应为增函数，且u＝2－ax在区间[0,1]上应恒大于零，∴∴1<a<2.4.若函数f(x)＝(a＞0，且a≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a的取值范围是________．答案　(1,2]解析　当x≤2时，f(x)＝－x＋6≥4.因为f(x)的值域为[4，＋∞)，所以当a＞1时，3＋logax＞3＋loga2≥4，所以loga2≥1，所以1＜a≤2；当0＜a＜1时，3＋logax＜3＋loga2，不符合题意．故a∈(1,2].1.比较对数值大小的方法若底数相同，真数不同若底数为同一常数，可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需对底数进行分类讨论若底数不同，真数相同可以先用换底公式化为同底后，再进行比较若底数与真数都不同常借助1,0等中间量进行比较，如举例说明12.求解对数不等式的两种类型及方法类型方法形如logax>logab借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0<a<1两种情况讨论形如logax>b需先将b化为以a为底的对数式的形式，再借助y＝logax的单调性求解 3.解与对数函数有关的函数性质问题的三个关注点(1)定义域，所有问题都必须在定义域内讨论．如举例说明3.(2)底数与1的大小关系．(3)复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的．　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　1.(2019·遵义模拟)已知a＝log26，b＝log515，c＝log721，则a，b，c的大小关系为(　　)A.a＜b＜c  B．c＜b＜aC.c＜a＜b  D．b＜c＜a答案　B解析　因为a＝log26＞log24＝2，b＝log515＝1＋log53，c＝log721＝1＋log73，又log37＞log35＞1，所以＜＜1，即log73＜log53＜1，所以c＜b＜2＜a.2.函数y＝的定义域是(　　)A.[1,2]  B．[1,2)  C.  D.答案　D解析　要使函数解析式有意义，须有log(2x－1)≥0，所以0<2x－1≤1，所以<x≤1，所以函数y＝的定义域是.3.函数f(x)＝log2·log (2x)的最小值为________．答案　－解析　f(x)＝log2x·2log2(2x)＝log2x(log22＋log2x)＝log2x＋(log2x)2＝2－，所以当log2x＝－，即x＝时，f(x)取得最小值－.  对应学生用书P227　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　组　基础关1.(2019·沈阳模拟)设函数f(x)＝则f＝(　　)A.－1  B．1  C．－  D.答案　A解析　f＝log2＝－1.2.(2019·全国卷Ⅰ)已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则(　　)A.a<b<c  B．a<c<bC.c<a<b  D．b<c<a答案　B解析　因为a＝log20.2<0，b＝20.2>1,0<c＝0.20.3<1，所以b>c>a.故选B.3.函数f(x)＝loga(x＋b)的大致图象如图，则函数g(x)＝ax－b的图象可能是(　　)答案　D解析　由图象可知0<a<1且0<f(0)<1，即由②得loga1<logab<logaa，∵0<a<1，∴由对数函数的单调性可知a<b<1，结合①可得a，b满足的关系为0<a<b<1，由指数函数的图象和性质可知，g(x)＝ax－b的图象是单调递减的，当x→＋∞时，g(x)→－1，且一定在直线y＝－1上方．故选D.4.若实数a满足loga＞1＞loga，则a的取值范围是(　　)A.  B.C.  D.答案　A解析　由loga>1>loga，得由①得，当a>1时，a<，此时a∈∅；当0<a<1时，a>，则<a<1.由②得，a>.因此<a<1.5.(2019·北京高考)在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2－m1＝lg ，其中星等为mk的星的亮度为Ek(k＝1,2)．已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为(　　)A.1010.1  B．10.1  C．lg 10.1  D．10－10.1答案　A解析　由题意知，m1＝－26.7，m2＝－1.45，代入所给公式得－1.45－(－26.7)＝lg ，所以lg＝10.1，所以＝1010.1.故选A.6.(2019·曲靖模拟)设a＝log0.30.4，b＝log30.4，则(　　)A.ab＜a＋b＜0  B．a＋b＜ab＜0C.ab＜0＜a＋b  D．a＋b＜0＜ab答案　A解析　因为a＝log0.30.4＞log0.31＝0，b＝log30.4＜log31＝0，所以ab＜0，又＝＋＝log0.40.3＋log0.43＝log0.40.9∈(0,1)，所以0＜＜1，所以ab＜a＋b＜0.7.已知函数f(x)＝ln x＋ln (2－x)，则(　　)A.f(x)在(0,2)上单调递增B.f(x)在(0,2)上单调递减C.y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称D.y＝f(x)的图象关于点(1,0)对称答案　C解析　f(x)的定义域为(0,2)．f(x)＝ln x＋ln (2－x)＝ln  [x(2－x)]＝ln (－x2＋2x)．设u＝－x2＋2x，x∈(0,2)，则u＝－x2＋2x在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减．又y＝ln u在其定义域上单调递增，∴f(x)＝ln (－x2＋2x)在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减．∴A，B错误．∵f(x)＝ln x＋ln (2－x)＝f(2－x)，∴f(x)的图象关于直线x＝1对称，∴C正确．∵f(2－x)＋f(x)＝[ln (2－x)＋ln x]＋[ln x＋ln (2－x)]＝2[ln x＋ln (2－x)]，不恒为0，∴f(x)的图象不关于点(1,0)对称，∴D错误．故选C.8.计算：log23·log38＋()log34＝________.答案　5解析　原式＝·＋3log34＝3＋3log32＝3＋2＝5.9.已知函数y＝loga(x－1)(a＞0，且a≠1)的图象过定点A，若点A也在函数f(x)＝2x＋b的图象上，则f(log23)＝________.答案　－1解析　函数y＝loga(x－1)(a＞0，且a≠1)的图象过定点A(2,0)，因为点A在函数f(x)＝2x＋b的图象上，所以22＋b＝0，所以b＝－4.f(x)＝2x－4.所以f(log23)＝2log23－4＝3－4＝－1.10.已知函数y＝logax(2≤x≤4)的最大值比最小值大1，则a的值为________．答案　2或解析　①当a>1时，y＝logax在[2,4]上为增函数．由已知得loga4－loga2＝1，所以loga2＝1，所以a＝2.②当0<a<1时，y＝logax在[2,4]上为减函数．由已知得loga2－loga4＝1，所以loga＝1，所以a＝.综上可知，a的值为2或.　组　能力关1.设x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则(　　)A.2x＜3y＜5z  B．5z＜2x＜3yC.3y＜5z＜2x  D．3y＜2x＜5z答案　D解析　∵2x＝3y＝5z，∴ln 2x＝ln 3y＝ln 5z，∴xln 2＝yln 3＝zln 5，∴＝，∴＝＝＝＞1，∴2x＞3y，同理可得2x＜5z.∴3y＜2x＜5z.故选D.2.(2020·北京海淀模拟)如图，点A，B在函数y＝log2x＋2的图象上，点C在函数y＝log2x的图象上，若△ABC为等边三角形，且直线BC∥y轴，设点A的坐标为(m，n)，则m＝(　　)A．2  B．3  C.  D.答案　D解析　因为直线BC∥y轴，所以B，C的横坐标相同；又B在函数y＝log2x＋2的图象上，点C在函数y＝log2x的图象上，所以|BC|＝2.即正三角形ABC的边长为2.由点A的坐标为(m，n)，得B(m＋，n＋1)，所以所以log2m＋2＋1＝log2(m＋)＋2，所以m＝.3.(2019·湖北宜昌一中模拟)若函数f(x)＝log0.9(5＋4x－x2)在区间(a－1，a＋1)上单调递增，且b＝lg 0.9，c＝20.9，则(　　)A.c<b<a  B．b<c<aC.a<b<c  D．b<a<c答案　B解析　由5＋4x－x2>0，得－1<x<5，又函数t＝5＋4x－x2的对称轴方程为x＝2，∴复合函数f(x)＝log0.9(5＋4x－x2)的单调递增区间为(2,5)，∵函数f(x)＝log0.9(5＋4x－x2)在区间(a－1，a＋1)上单调递增，∴则3≤a≤4，而b＝lg 0.9<0，1<c＝20.9<2，所以b<c<a.4.(2019·郑州模拟)函数f(x)的定义域为D，若f(x)满足在D内是单调函数且存在[m，n]⊆D使f(x)在[m，n]上的值域为，那么就称y＝f(x)为“半保值函数”，若函数f(x)＝loga(ax＋t)(a＞0且a≠1)是“半保值函数”，则正实数t的取值范围是(　　)A.  B.C.(0，＋∞)  D.答案　B解析　因为函数f(x)＝loga(ax＋t)(a＞0且a≠1)在其定义域内为增函数，若函数f(x)为“半保值函数”；则方程f(x)＝x必有两个不同的实数根，loga(ax＋t)＝x⇔ax＋t＝a⇔ax－a＋t＝0，令s＝a，则关于s的方程s2－s＋t＝0有两个不同的正根．所以Δ＝(－1)2－4t＞0，结合t＞0，知t∈.5.已知a>b>1，若logab＋logba＝，ab＝ba，则a＝________，b＝________.答案　4　2解析　令logab＝t，∵a>b>1，∴0<t<1，由logab＋logba＝得，t＋＝，解得t＝或t＝2(舍去)，即logab＝，∴b＝，又ab＝ba，∴a＝()a，即a＝a，亦即＝，解得a＝4，∴b＝2.6.若函数f(x)＝loga(x2－ax＋1)(a＞0且a≠1)没有最小值，则a的取值范围是________．答案　(0,1)∪[2，＋∞)解析　当0＜a＜1时，函数f(x)＝loga(x2－ax＋1)(a＞0且a≠1)没有最小值，当a＞1时，若函数f(x)＝loga(x2－ax＋1)(a＞0且a≠1)没有最小值，则x2－ax＋1≤0有解，所以Δ＝a2－4≥0，解得a≥2，综上可知，a的取值范围是(0,1)∪[2，＋∞).