2021届山东高考数学一轮创新教学案：第10章　第1讲　随机事件的概率

第十章　概率

第1讲　随机事件的概率

1.事件的分类

2．频率和概率

(1)在相同的条件S下重复n次实验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝为事件A出现的频率．

(2)对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P(A)，称为事件A的概率，简称为A的概率．

3．事件的关系与运算

续表

4．概率的几个基本性质

(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1.

(2)必然事件的概率P(E)＝1.

(3)不可能事件的概率P(F)＝0.

(4)概率的加法公式

如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．

(5)对立事件的概率

若事件A与事件B互为对立事件，则P(A)＝1－P(B)．

1．概念辨析

(1)“方程x2＋x＋1＝0有两个实根”是不可能事件．(　　)

(2)频率随着试验次数变化而变化，而概率是一个常数．(　　)

(3)两个事件的和事件发生是指两个事件同时发生．(　　)

(4)对于任意事件A，B，总有公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．(　　)

(5)对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件．(　　)

答案　(1)√　(2)√　(3)×　(4)×　(5)√

2．小题热身

(1)某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛，事件“至少有一名女生”与事件“全是男生”(　　)

A．是互斥事件，不是对立事件

B．是对立事件，不是互斥事件

C．既是互斥事件，也是对立事件

D．既不是互斥事件也不是对立事件

答案　C

解析　3名男生和2名女生，从中任选2名有以下可能：①全是男生；②恰有1名女生；③全是女生，所以“至少有一名女生”与“全是男生”既是互斥事件，也是对立事件．

(2)给出下列三个命题，其中正确的命题有________个．

①有一大批产品，已知次品率为10%，从中任取100件，必有10件是次品；

②做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此正面出现的概率是；

③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率．

答案　0

解析　由概率的概念，知从中任取100件，可能有10件次品，并不是必有10件次品，则①是假命题；抛硬币时出现正面的概率是，不是，则②是假命题；频率和概率不是同一个概念，则③是假命题．综上可知，正确的命题有0个．

(3)从一箱产品中随机抽取一件，设事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，则事件“抽到的不是一等品”的概率为________．

答案　0.35

解析　“抽到的不是一等品”与“抽到一等品”是对立事件，所以抽到的不是一等品的概率P＝1－P(A)＝1－0.65＝0.35.

(4)刘老师在某大学连续3年主讲经济学院的高等数学，下表是刘老师这门课3年来学生的考试成绩分布：

经济学院一年级的学生王小明下学期将选修刘老师的高等数学课，用已有的信息估计他得以下分数的概率：

①90分以上的概率是________；

②不及格(60分及以上为及格)的概率是________．

答案　①0.07　②0.1

解析　用已有的信息估计王小明得90分以上的概率为＝0.07，不及格的概率为＝0.1.

题型 一　互斥、对立事件的判断

1．有一个游戏，其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进，每人一个方向．事件“甲向南”与事件“乙向南”是(　　)

A．互斥但非对立事件  B．对立事件

C．相互独立事件  D．以上都不对

答案　A

解析　“甲向南”与“乙向南”不会同时发生，但有可能都不发生，所以这两个事件互斥但不对立．

2．从1,2,3,4,5中有放回地依次取出两个数，则下列各对事件是互斥而不是对立事件的是(　　)

A．恰有1个是奇数和全是奇数

B．恰有1个是偶数和至少有1个是偶数

C．至少有1个是奇数和全是奇数

D．至少有1个是偶数和全是偶数

答案　A

解析　从1,2,3,4,5中有放回地依次取出两个数，共有三种情况：A＝{两个奇数}，B＝{一个奇数，一个偶数}，C＝{两个偶数}，且两两互斥，A中两个事件是互斥事件而不是对立事件；B，C，D中两个事件不互斥．

判断互斥、对立事件的两种方法

(1)定义法

判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，在任何一次试验中，若有且仅有一个发生，则这两个事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件．

(2)集合法

①由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥．

②事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集.

某小组有3名男生和2名女生，从中选2名同学去参加演讲比赛，下列有4个事件：①恰有1名男生和恰有2名男生；②至少有1名男生和至少有1名女生；③至少有1名男生和全是男生；④至少有1名男生和全是女生，其中是互斥事件的是________(填序号)．

答案　①④

解析　对于事件①，恰有1名男生是1男1女和恰有2名男生互斥；对于事件②，至少有1名男生和至少有1名女生两者有可能同时发生，所以不是互斥事件；对于③，至少有1名男生和全是男生也有可能同时发生，所以不是互斥事件；对于事件④，至少有1名男生和全是女生不可能同时发生，是互斥事件.

题型 二　随机事件的频率与概率

1.(2019·石家庄模拟)袋中有大小、形状完全相同的四个小球，分别写有“和”“谐”“校”“园”四个字，有放回地从中任意摸出一个小球，直到“和”“谐”两个字都摸到就停止摸球，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止摸球的概率．利用电脑随机产生1到4之间取整数值的随机数，分别用1,2,3,4代表“和”“谐”“校”“园”这四个字，以每三个随机数为一组，表示摸球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：

343　432　341　342　234　142　243　331　112

342　241　244　431　233　214　344　142　134

由此可以估计，恰好第三次就停止摸球的概率为(　　)

A.  B. 

C.  D.

答案　C

解析　由题意，得随机数的前两位只能出现1或2中的一个，第三位出现另外一个，所以满足条件的随机数为142,112,241,142，故恰好第三次就停止摸球的概率为＝.故选C.

2.某教授为了测试贫困地区和发达地区的同龄儿童的智力，出了10道智力题，每道题10分，然后作了统计，结果如表．

贫困地区

发达地区

(1)计算两地区参加测试的儿童得60分以上的频率(保留两位小数)；

(2)根据频率估计两地区参加测试的儿童得60分以上的概率．

解　(1)贫困地区表格从左到右分别为0.53,0.54,0.52,0.52,0.51,0.50；发达地区表格从左到右分别为0.57,0.58,0.56,0.56,0.55,0.55.

(2)根据频率估计贫困地区参加测试的儿童得60分以上的概率为0.52，发达地区参加测试的儿童得60分以上的概率为0.56.

1.概率与频率的关系

2.随机事件概率的求法

对一批衬衣进行抽样检查，结果如表：

(1)求次品出现的频率(次品率)；

(2)记“任取一件衬衣是次品”为事件A，求P(A)；

(3)为了保证买到次品的顾客能够及时更换，销售1000件衬衣，至少需进货多少件？

解　(1)次品率依次为0,0.02,0.06,0.054,0.045,0.05,0.05.

(2)由(1)，知出现次品的频率在0.05附近摆动，故P(A)＝0.05.

(3)设需进货x件，则x(1－0.05)≥1000，解得x≥1053，故至少需进货1053件.

题型 三　互斥事件与对立事件的概率　

角度1　互斥事件概率公式的应用

1.(2018·全国卷Ⅲ)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为(　　)

A.0.3  B．0.4 

C．0.6  D．0.7

答案　B

解析　设事件A为只用现金支付，事件B为只用非现金支付，事件C为既用现金支付也用非现金支付，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1，因为P(A)＝0.45，P(C)＝0.15，所以P(B)＝0.4.故选B.

角度2　对立事件概率公式的应用

2.某班选派5人参加学校举行的数学竞赛，获奖的人数及其概率如下：

(1)若获奖人数不超过2人的概率为0.56，求x的值；

(2)若获奖人数最多4人的概率为0.96，最少3人的概率为0.44，求y，z的值．

解　记事件“在数学竞赛中，有k人获奖”为Ak(k∈N，k≤5)，则事件Ak彼此互斥．

(1)∵获奖人数不超过2人的概率为0.56，

∴P(A0)＋P(A1)＋P(A2)＝0.1＋0.16＋x＝0.56.

解得x＝0.3.

(2)由获奖人数最多4人的概率为0.96，得

P(A5)＝1－0.96＝0.04，即z＝0.04.

由获奖人数最少3人的概率为0.44，得

P(A3)＋P(A4)＋P(A5)＝0.44，

即y＋0.2＋0.04＝0.44，解得y＝0.2.

求复杂的互斥事件概率的方法

(1)直接法

(2)间接法(正难则反)

1.(2019·天津红桥一模)经统计，在银行一个营业窗口每天上午9点钟排队等候的人数及相应概率如下表：

则该营业窗口上午9点钟时，至少有2人排队的概率是________．

答案　0.74

解析　由已知条件可得，至少有2人排队的概率是0.3＋0.3＋0.1＋0.04＝0.74.

2.某超市为了了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示．

已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.

(1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；

(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率(将频率视为概率)．

解　(1)由已知，得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20.

该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为

＝1.9(分钟)．

(2)记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A1，A2分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为2.5分钟”和事件“该顾客一次购物的结算时间为3分钟”，将频率视为概率，得

P(A1)＝＝，P(A2)＝＝.

P(A)＝1－P(A1)－P(A2)＝1－－＝.

故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为.

　组　基础关

1.(2019·银川四校联考)下列结论正确的是(　　)

A.事件A的概率P(A)必满足0<P(A)<1

B.事件A的概率P(A)＝0.999，则事件A是必然事件

C.用某种药物对患有胃溃疡的500名病人进行治疗，结果有380人有明显疗效，现有一名胃溃疡病人服用此药，则估计有明显疗效的可能性为76%

D.某奖券中奖率为50%，则某人购买此奖券10张，一定有5张中奖

答案　C

解析　A错误，应该有0≤P(A)≤1；由概率的意义可知，B，D错误，C正确.

2.把红、黄、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四人，则事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”(　　)

A.是对立事件

B.是不可能事件

C.是互斥事件但不是对立事件

D.不是互斥事件

答案　C

解析　“甲分得红牌”与“乙分得红牌”不会同时发生，但可能都不发生，所以这两个事件互斥但不对立.

3.围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率是，都是白子的概率是.则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是(　　)

A.  B. 

C.  D．1

答案　C

解析　因为从中取出2粒都是黑子的概率为，都是白子的概率是，所以从中任意取出2粒恰好是同一色的概率为＋＝.

4.(2019·石家庄模拟)某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产情况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是5%和3%，则抽检一件是正品(甲级)的概率为(　　)

A.0.95  B．0.97 

C．0.92  D．0.08

答案　C

解析　记抽检的产品是甲级品为事件A，是乙级品为事件B，是丙级品为事件C，这三个事件彼此互斥，因而所求概率为P(A)＝1－P(B)－P(C)＝1－5%－3%＝92%＝0.92.

5.从某班学生中任意找出一人，如果该同学的身高小于160 cm的概率为0.3，该同学的身高在[160,175](单位：cm)内的概率为0.5，那么该同学的身高超过175 cm的概率为(　　)

A.0.2  B．0.3 

C．0.7  D．0.8

答案　A

解析　由题意，得身高超过175 cm的概率为P＝1－0.3－0.5＝0.2.

6.根据某医疗研究所的调查，某地区居民血型的分布为O型50%，A型15%，B型30%，AB型5%.现有一血液为A型的病人需要输血，若在该地区任选一人，那么能为病人输血的概率为(　　)

A.15%  B．20% 

C．45%  D．65%

答案　D

解析　因为该地区居民血型的分布为：O型50%，A型15%，B型30%，AB型5%.现在能为A型病人输血的有O型和A型，故能为该病人输血的概率为50%＋15%＝65%.故选D.

7.掷一个骰子的试验，事件A表示“出现小于5的偶数点”，事件B表示“出现小于5的点数”，若表示B的对立事件，则一次试验中，事件A∪发生的概率为(　　)

A.  B. 

C.  D.

答案　C

解析　掷一个骰子的试验有6种可能结果．依题意P(A)＝＝，P(B)＝＝，∴P()＝1－P(B)＝1－＝.∵表示“出现5点或6点”的事件，因此事件A与互斥，从而P(A∪)＝P(A)＋P()＝＋＝.

8.某射击选手在同一条件下进行射击，结果如下：

则这名射击选手射击一次，击中靶心的概率约为________(精确到0.1)．

答案　0.9

解析　根据已知条件列出下表：

由表中数据可估计这名射击选手射击一次，击中靶心的概率约为0.9.

9.如果事件A与B是互斥事件，且事件A∪B发生的概率是0.64，事件B发生的概率是事件A发生的概率的3倍，则事件A发生的概率为________．

答案　0.16

解析　设P(A)＝x，则P(B)＝3x，又因为P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝x＋3x＝0.64，所以x＝0.16，则P(A)＝0.16.

10.一个不透明的袋子中装有7个红球，3个绿球，这些球除颜色外完全相同，从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个，取得两个红球的概率为，取得两个绿球的概率为，则取得两个同颜色球的概率为________；至少取得一个红球的概率为________．

答案　　

解析　由于“取得两个红球”与“取得两个绿球”是互斥事件，因此事件C：“取得两个同颜色球”，只需两互斥事件有一个发生即可，因而取得两个同颜色球的概率为P(C)＝＋＝.

由于事件A：“至少取得一个红球”与事件B：“取得两个绿球”是对立事件，则至少取得一个红球的概率为P(A)＝1－P(B)＝1－＝.

　组　能力关

1.在一次随机试验中，彼此互斥的事件A，B，C，D发生的概率分别是0.2,0.2,0.3,0.3，则下列说法正确的是(　　)

A.A∪B与C是互斥事件，也是对立事件

B.B∪C与D是互斥事件，也是对立事件

C.A∪C与B∪D是互斥事件，但不是对立事件

D.A与B∪C∪D是互斥事件，也是对立事件

答案　D

解析　由于A，B，C，D彼此互斥，且A∪B∪C∪D是一个必然事件，故各事件的关系可由如图所示的Venn图表示，由图可知，任何一个事件与其余3个事件的和事件必然是对立事件，任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件也是对立事件.

2.若随机事件A，B互斥，A，B发生的概率均不等于0，且P(A)＝2－a，P(B)＝4a－5，则实数a的取值范围是(　　)

A.  B. 

C.  D.

答案　D

解析　由题意可得即

解得<a≤.

3.已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：

907　966　191　925　271　932　812　458　569　683

431　257　393　027　556　488　730　113　537　989

据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为________．

答案　0.25

解析　20组随机数中表示三次投篮恰有两次命中的是191,271,932,812,393，其频率为＝0.25，以此估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为0.25.

4.某电子商务公司随机抽取1000名网络购物者进行调查．这1000名购物者2019年网上购物金额(单位：万元)均在区间[0.3,0.9]内，样本分组为：[0.3,0.4)，[0.4,0.5)，[0.5,0.6)，[0.6,0.7)，[0.7,0.8)，[0.8,0.9]，购物金额的频率分布直方图如下：

电子商务公司决定给购物者发放优惠券，其金额(单位：元)与购物金额关系如下：

(1)求这1000名购物者获得优惠券金额的平均数；

(2)以这1000名购物者购物金额落在相应区间的频率作为概率，求一个购物者获得优惠券金额不少于150元的概率．

解　(1)购物者的购物金额x与获得优惠券金额y的频率分布如下表：

这1000名购物者获得优惠券金额的平均数为×(50×400＋100×300＋150×280＋200×20)＝96.

(2)由获得优惠券金额y与购物金额x的对应关系及(1)，知

P(y＝150)＝P(0.6≤x<0.8)＝0.28，

P(y＝200)＝P(0.8≤x≤0.9)＝0.02，

从而，获得优惠券金额不少于150元的概率为P(y≥150)＝P(y＝150)＋P(y＝200)＝0.28＋0.02＝0.3.

　组　素养关

1．如图，从A地到火车站共有两条路径L1和L2，现随机抽取100位从A地到达火车站的人进行调查，调查结果如下：

(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率；

(2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率；

(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径．

解　(1)由已知共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12＋12＋16＋4＝44(人)，所以用频率估计相应的概率为44÷100＝0.44.

(2)选择L1的有60人，选择L2的有40人，故由调查结果得频率为

(3)设A1，A2分别表示甲选择L1和L2时，在40分钟内赶到火车站；B1，B2分别表示乙选择L1和L2时，在50分钟内赶到火车站，由(2)，知P(A1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5，

因为P(A1)>P(A2)，所以甲应选择L1.

同理，P(B1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8，

P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9，

因为P(B1)<P(B2)，所以乙应选择L2.

2.某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：

随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：

(1)记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”，求P(A)的估计值；

(2)记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”，求P(B)的估计值；

(3)求续保人本年度平均保费的估计值．

解　(1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2.

由所给数据，知一年内出险次数小于2的频率为＝0.55，故P(A)的估计值为0.55.

(2)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由所给数据，知一年内出险次数大于1且小于4的频率为＝0.3，故P(B)的估计值为0.3.

(3)由所给数据，得

调查的200名续保人的平均保费为0.85a×0.30＋a×0.25＋1.25a×0.15＋1.5a×0.15＋1.75a×0.10＋2a×0.05＝1.1925a.

因此，续保人本年度平均保费的估计值为1.1925a.