初中数学浙教版八年级上册2.7 探索勾股定理学案及答案

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1．将下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是(B)


A.eq \r(3)，eq \r(4)，eq \r(5) B．1，eq \r(2)，eq \r(3)


C．6，7，8 D．2，3，4


2．若一个三角形的三边长a，b，c满足(a＋c)(a－c)＝b2，则该三角形是(B)


A．锐角三角形 B．直角三角形


C．钝角三角形 D．都有可能





(第3题)


3．如图，以三角形的三边长为直径向外作三个半圆，若较小的两个半圆的面积之和等于较大的半圆的面积，则这个三角形是(B)


A．锐角三角形


B．直角三角形


C．钝角三角形


D．锐角三角形或钝角三角形





(第4题)


4．如图是一块地的平面示意图，已知AD＝4 m，CD＝3 m，AB＝13 m，BC＝12 m，∠ADC＝90°，则这块地的面积为__24__m2.


5．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题：


(1)画线段AD∥BC，且使AD＝BC，连结CD.


(2)线段AC的长为2eq \r(,5)，CD的长为eq \r(5)，AD的长为5．


(3)△ACD为直角三角形．


,(第5题)) ,(第5题解))


【解】 (1)如解图．


6．如图，在△ABC中，CD是边AB上的高线，BC＝2，CD＝eq \r(3)，AC＝2eq \r(3).求证：△ABC是直角三角形．





(第6题)


【解】 ∵CD⊥AB，


∴∠ADC＝∠BDC＝90°.


在Rt△BCD中，


∵BC＝2，CD＝eq \r(3)，


∴BD＝1.


在Rt△ACD中，


∵AC＝2eq \r(,3)，CD＝eq \r(3)，∴AD＝3.


∵AC2＋BC2＝(2eq \r(,3))2＋22＝16，AB2＝(3＋1)2＝16，


∴AC2＋BC2＝AB2，


∴△ABC是直角三角形．














7．已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足|c2－a2－b2|＋(a－b)2＝0，则△ABC的形状为等腰直角三角形．


【解】 ∵|c2－a2－b2|＋(a－b)2＝0，


∴|c2－a2－b2|＝0，(a－b)2＝0，


∴c2＝a2＋b2，a＝b，


∴△ABC是等腰直角三角形．





(第8题)


8．如图，P为正三角形ABC内一点，PA＝2，PB＝4，PC＝2eq \r(3)，则正三角形ABC的面积为__7eq \r(,3)__．


【解】 ∵△ABC为正三角形，


∴AB＝AC，∠BAC＝60°.


故可以将△ABP绕点A逆时针旋转60°，则AB与AC重合，点P旋转到点D，连结PD.


易得△ACD≌△ABP，


∴DA＝PA，DC＝PB，∠ADC＝∠APB.


∵△ABP逆时针旋转60°，∴∠PAD＝60°，


∴△PAD为正三角形，∴PD＝PA＝2.


∵DC＝PB＝4，PC＝2eq \r(,3)，


∴PD2＋PC2＝CD2，


∴△PCD为直角三角形，∠DPC＝90°.


∵CD＝4，PD＝2，


∴∠PCD＝30°，∴∠PDC＝60°，


∴∠ADC＝120°，∴∠APB＝120°.


∴∠BPC＝360°－∠APB－∠APD－∠CPD＝90°.


∴BC2＝PB2＋PC2.


∵PB＝4，PC＝2 eq \r(3)，∴BC＝2 eq \r(7).


∵△ABC为正三角形，∴S△ABC＝7eq \r(3).


9．已知a，b，c为△ABC的三边长，且满足a2＋b2＋c2＋50＝6a＋8b＋10c，试判断△ABC的形状．


【解】 ∵a2＋b2＋c2＋50＝6a＋8b＋10c，


∴a2－6a＋b2－8b＋c2－10c＋50＝0，


∴(a－3)2＋(b－4)2＋(c－5)2＝0，


∴a＝3，b＝4，c＝5，∴a2＋b2＝c2，


∴△ABC是直角三角形．





(第10题)





10．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，P是△ABC内一点，PA＝1，PB＝3，PC＝eq \r(7).求∠CPA的度数．


【解】 将△APB绕点A逆时针旋转90°到△AQC的位置，连结PQ，则易得△APQ为等腰直角三角形，且△AQC≌△APB，


∴QA＝PA＝1，QC＝PB＝3.


∵△APQ为等腰直角三角形，


∴PQ2＝PA2＋AQ2＝2，∠APQ＝45°.


在△CPQ中，PC2＋PQ2＝7＋2＝9＝QC2，


∴∠QPC＝90°，


∴∠CPA＝∠QPC＋∠APQ＝135°.











11．如图，在正方形ABCD中，点E，G分别在边AB，对角线BD上，EG∥AD，F为GD的中点，连结FC，请利用勾股定理的逆定理，证明EF⊥FC.


,(第11题)) ,(第11题解))


【解】 如解图，过点F作FH⊥AB于点H，FK⊥AD于点K，延长HF交CD于点I.由题意易得四边形FIDK是正方形，四边形AKFH是长方形，


∴AK＝HF，KD＝DI＝FI＝KF＝AH.


∵AD＝CD，∴IC＝AK＝HF.


∵AD∥FH∥EG，F是DG的中点，


∴易证得HA＝HE，∴HE＝FI.


在Rt△HEF和Rt△FIC中，由勾股定理，得


EF2＝HE2＋HF2，FC2＝FI2＋IC2，


∴EF2＋FC2＝HE2＋HF2＋FI2＋IC2＝2HE2＋2HF2.


在Rt△BCE中，由勾股定理，得


EC2＝BE2＋BC2.


∵BE2＝(AB－AE)2＝(AD－2HE)2


＝(HF＋FI－2HE)2＝(HF＋HE－2HE)2


＝(HF－HE)2＝HF2－2HF·HE＋HE2，


BC2＝(HF＋FI)2＝(HF＋HE)2


＝HF2＋2HF·HE＋HE2，


∴EC2＝BE2＋BC2＝HF2－2HF·HE＋HE2＋HF2＋2HF·HE＋HE2


＝2HE2＋2HF2，


即EF2＋FC2＝EC2，


∴△EFC是直角三角形，且∠EFC＝90°，


∴EF⊥FC.