初中数学浙教版八年级上册2.7 探索勾股定理教案及反思

这是一份初中数学浙教版八年级上册2.7 探索勾股定理教案及反思，共6页。教案主要包含了教学内容分析，学生情况分析，教学目标和教学重难点，教学准备，教学过程，板书设计，教学反思等内容，欢迎下载使用。

一、教学内容分析
勾股定理是平面几何有关度量的最基本定理，它从边的角度刻画了直角三角形的特征．学习勾股定理是进一步认识和理解直角三角形的需要，也是后续有关代数学习（如无理数的认识）和几何度量运算（如自然引申是一般三角形的余弦定理和平面解析几何中两点间距离公式）的必要基础．
勾股定理把形的特征（三角形中有一个角是直角）转化成数量关系：直角三角形中斜边的平方等于两直角边的平方和，这也就搭建了几何图形与数量关系之间的桥梁．对于勾股定理，可以从数量的角度认识，也可以从几何的角度来认识：直角三角形中，以斜边为边长的正方形面积等于两个以直角边为边长的正方形的面积之和勾股定理的证明，通过几何拼图去证明数量关系，将“数”转化为“形”；证明过程中，又针对几何关系建立了代数等量关系，进行代数运算，将“形”回归到“数”，多次进行数和形的转化．是数形转化充分运用的体现．
勾股定理有不下500种证明方法，这些方法为训练学生几何直观能力、符号运算能力、对角度解决问题的能力以及发展学生数学思维提供了很好的素材．同时，勾股定理多种证明方法的历史背景是数学文化的宝贵财富，勾股定理的历史文化价值也是学生体会数学文化重要素材．
二、学生情况分析
知识方面，学生已经理解直角三角形中三个角的关系，勾股定理揭示的三边关系正是直角三角形相关知识的承接和延续．学生已经学完全等三角形的证明，可以明确直角三角形斜边随着两直角边的确定而确定，这为勾股定理的探索提供了理论保证．
能力方面，结束初一进入初二的学生已在七年级的学习中，经历过一些操作性活动和探究性活动，在教师适当的引导提示下，学生具有探究勾股定理的能力，因此可尝试让学生经历勾股定理的猜想和证明过程，在探究过程中进一步丰富学生的数学活动经验，发展学生的推理能力．
三、教学目标和教学重难点
教学目标：
1. 通过学生从观察实验猜想勾股定理到操作活动证明勾股定理，引导学生经历“获得猜想——证明定理——归纳总结”的过程，在此过程中，熟悉勾股定理公式，理解等面积法，体会数形转化思想．
2. 通过鼓励学生多种方法证明勾股定理，多角度解决问题，发展学生的几何直观，训练学生的符号运算能力，提升学生数学思维．
3. 通过实验对勾股定理的再发现、活动探究证明勾股定理、视频赏析了解勾股定理的历史证明方法，激发学生学习数学的热情和自信心，让学生了解勾股定理历史文化，渗透数学文化价值．
教学重点：勾股定理的再发现；勾股定理证明方法的探索．
教学难点：勾股定理证明方法的探索．
四、教学准备
教师用具：勾股定理注水验证视频、几何画板教学素材（直角三角形三边数量关系验证）、勾股定理证明赏析微视频（2min）、磁铁、记号笔、三角尺
学生用具：学案、直尺、笔、5个全等的等腰直角三角形，5个全等的直角三角形，6个正方形（4个以直角边为边长，2个以斜边为边长），网格纸．
五、教学过程
教学环节
教学内容
教师引导
学生反馈/活动
设计
意图
创设情境
引入课题
展示学校食堂草坪照片
老师这里有一张照片，大家看一下这是哪里？
预期反馈：学校食堂
从贴近学生生活的情境引入，激发学生的好奇心，引入课题．
情境：每天中午和下午的时候，大家都会以百米冲刺的速度冲向这里．冲刺过程中，会遇到一个带直角转弯的草坪．绝大部分同学会沿着草坪外面走（展示路径），极个别同学走捷径（展示路径），从草坪上跑过去．我们把路径从实际问题中抽离出来就形成了一个直角三角形（展示），老师某天去走了一下，沿着草坪竖着走需要12步（展示），横着走需要5步（展示），走捷径的同学到底能节约几步（展示）？
方案1：学生不知道如何求解．
教师引导：这个问题中我们已知直角三角形的两直角边，求直角三角形的斜边．斜边确定吗？理论依据是什么？（SAS）斜边由直角边确定，那么斜边和直角边有怎样的数量关系呢？老师这里有一个神秘的模型，看一看它能不能给我们点启发．
方案2：学生说出三边的平方关系，能够计算．
（板书）提问：这个关系是怎么来的呢？任意直角三角形都可以这样计算吗？我们如何验证呢？
引导：从数量上不好验证，能否从几何角度验证.平方关系的几何意义是什么呢？（正方形面积）．
获得猜想
数量关系：；
几何意义：
老师这里有一个模型，刚好是黑板上所画的形状．
观察
思考
获得(验证)猜想
勾股定理模型注水实验．
方案1：学生不知道勾股定理．实验前：介绍模具．两个小正方形中的水灌向大正方形，水会多出来还是不够呢？实验后：实验结果说明了什么？猜想直角三角形三边可能具有怎样的关系？
实验前，学生猜测两个小正方形的水往大正方形里面灌，结果会如何．学生进行实验．实验后，学生讲解从实验中获得的结论：，，
利用实体实验和几何画板实验引入，激发学生学习兴趣，针对不知道勾股定理的情况，促使学生从实验中获得猜想，针对知道勾股定理的情况，验证猜想．
方案2：学生知道勾股定理．实验前：按照刚才猜想，当两个小正方形中的水灌向大正方形，水会多出来还是不够呢？实验后：是否验证了猜想？
实验前，猜测两个小正方形的水往大正方形里面灌，结果会如何．学生进行实验．实验后，学生判断是否验证成功．
几何画板列举实验．
动画展示几个直角三角形，观察以直角三角形三边为边长正方形面积关系．
我们利用一个特殊的直角三角形，获得（验证）了猜想，其他直角三角形是否适用呢？我们通过几何画板再多观察（验证）几个直角三角形．
学生提出改变哪条直角边的边长，进一步进行观察，验证猜想．
方案1：获得猜想（板书）
数量关系：；
几何意义：
通过观察，猜想直角三角形三边的关系如何？其几何意义是怎样的？（板书）
猜想：直角三角形直角边为a、b，斜边为c，则，几何意义：，其中是以直角边为边长的正方形面积．
探究讨论
证明猜想
通过实验，我们只是获得（验证）猜想，要想以后放心大胆的使用它，我们还需要严格的数学证明．
探究活动1：请合理选择所提供的实验工具，小组讨论，设计一个方案证明勾股定理．
工具：直尺、笔、5个全等的等腰直角三角形，5个全等的直角三角形，6个正方形（4个以直角边为边长，2个以斜边为边长），网格纸．
要求：1. 讨论时，6-7人为一组，分工选择不同工具，设计证明方案；
2. 将证明过程简要记录在学案相应展示区域；
3. 展示时，两名小组成员为代表，一人展示，一人讲解．
我们可以想办法推导证明三边的数量关系，也可以选择画出黑板上的图形，证明直角三角形三边为边长的正方形之间的面积关系．
明确验证勾股定理的证明方向
引导：你们觉得这个证明怎么样？有什么好处，有什么弊端？
方法1. 利用正方形和等腰直角三角形剪拼证明
学生点评：优势——直观．弊端——只能证明等腰直角三角形成立．
利用操作活动，让学生探究勾股定理的证明，激发学生的学习兴趣，发展学生的几何直观．
学生互相点评方法，充分感受各种方法，体现以学生为主体的学习过程．
引导：你们觉得这个证明怎么样？有什么好处，有什么弊端？
方法2. 利用网格纸，数格子或分割算出三个正方形的面积，证明．
学生点评：优势——方便计算；弊端——只能证明顶点在格点的直角三角形．
引导：这个方法证明了勾股定理对所有直角三角形成立吗？你认为该证明最精彩点在哪里？
总结：①用两种方法计算同一图形的面积——等面积法的使用；②通过几何直观拼图去证明数量关系，将“数”转化为“形”；通过把几何面积关系转化为代数等量关系，进行代数运算，将“形”回归到“数”，数和形的有效转化．
方法3. 拼图证明
学生点评：几何回归代数，用不同的方法计算正方形面积，建立等量关系，代数化简后得到结论．
举一反三
发散思维
探究活动2： 请小组讨论，拼一拼或者画一画，设计构造合适的图形，利用不同方法计算其面积，建立等量关系，发现更多勾股定理的证明方法．
工具：直尺、笔、5个全等的直角三角形，3个正方形（2个以直角边为边长，1个以斜边为边长）
要求：1. 讨论时，6-7人为一组，构造图形证明定理；2. 将证明过程简要记录在学案上；3. 展示时，两名小组成员为代表，一人展示，一人讲解．
学生可能出现的拼图证明：


基于探究活动1提出的证明方法，学生举一反三，讨论探究，挖掘更多的证明方法，以此提升学生的数学思维．
勾股定理几种证明方法赏析
刚才同学们已经提出了多种证明勾股定理的方法，你知道勾股定理证明方法有多少种吗？
事实上，证明方法不下500种，我们通过一个简短的微课赏析其中几种证明方法．
学生猜测勾股定理证明方法种数
展示勾股定理多种证明，引发学生对数学文化的思考．
总结提炼
感悟所得
知识总结
通过本节课，你得到了怎样的结论？
生：直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和．
师：事实上，我们之前学习了直角三角形中三个角的关系，今天又了解了直角三角形三条边的数量关系，之后的学习中，我们还会了解直角三角形边和角之间的关系
总结归纳本节课所学的知识和方法，知识方面，构建知识体系，方法方面，渗透数形结合思想
方法感悟
在证明过程中，给你留下印象较深的方法或者感受是什么？
生：对知识的理解——从几何和代数两方面理解，证明过程中数形的转化
生：等面积法
师：多角度思考问题，数形转化思想
总结：探索并证明勾股定理的过程，让我们得到了直角三角形三边的关系，同时，对勾股定理的证明也是对思维的训练，印证了英国哲学家培根的名言“数学是思维的体操”．
回归情境
解决问题
回到本节课情境问题
引导：走捷径到底会节约几步？对于结果你有什么感受？
节约4步，只有4步，一两秒的事情，所以没有必要穿越草坪，遵守公德．
回归引入，首尾呼应，解决问题，感受道德
六、板书设计
勾股定理
几何意义：
数量关系：
直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和．
猜想
证明
展示区域
七、教学反思
通过对教学设计和课堂教学等进行了精心的准备、修正和打磨，自己很多方面都有了成长．
本节课较大的优势体现在以下几个方面．首先，教学环节设计环环相扣，自然衔接．教学设计思路：引入环节（课题研究的必要性）——猜想环节（实验观察获得猜想）——证明环节（证明猜想总结证明方法）——发散环节（运用方法挖掘学生思维）——总结环节（感悟所得）．课堂教学中，环节进行流畅，每个环节的时间分配和整体时间控制得当，重点体现突出——在重点环节（证明环节和发散环节）用时约25min，超过整个课堂比重的60%．其次，设计学生小组探究、学生展示、学生互评等活动，充分体现了以学生为主体的学习过程，同时，充分考虑学生预期反馈，方便教学时及时应对．课堂教学中，我只负责引导，通过引导语和设问调动学生思考积极性，学生在活动中收获知识，发展数学思维，提升数学表达能力和动手操作能力．第三，设计精选引入背景材料、实验、数学史微视频，渗透数学文化，激发学生数学学习兴趣，调动学生学习积极性．课堂首尾均采用学生熟悉生活场景，首尾呼应，从引入到利用所学知识解决和探讨实际生活问题，简单运用知识，并引发学生公德心的思考．课堂教学中，学生对这些材料都表现出了浓厚的兴趣，达到了预期效果．
通过本节课，我更多的看到了自己还需完善的地方．首先，日常教学中可以逐渐完善数学实验的模具整理．本节课一大遗憾之处在于注水实验没能在课堂中让学生实际操作，让学生近距离观察，在自己操作中进行感悟，获得猜想．归其原因，平时教学的时候很少注重数学实验的准备，对于数学实验思考和积累较少，待到需要用的时候来不及准备．在之后的教学中，应该注重模具的收集和积累．其次，针对学生回答和展示后，点评不足．在“证明环节”过程中，学生完成证明后可以及时总结定理，并从数学语言和文字语言两方面处理，学生回答问题后，点评应该有更多的鼓励性，尤其是缺乏对学生回答精彩点的提炼和表扬．学生展示时，板书不太规范，应及时在板书上进行圈画补充修正，提炼主要方法，理清思路．第三，课堂的应急处理有待提高．小组讨论时，应关注每一个学生是否积极参与活动，对没有思路的小组应该及时调动组织．在展示前，应提前给学生指明展示区域，学生的展示贴图混乱时，学生展示完后，可以及时挪动贴图，将板书贴图规范．展示过程中，有一组的展示使之前的展示贴图掉落，之后总结方法时，应该将展示还原，展现板书的完整性．
教学是一门遗憾的艺术，教师只有不断地在反思中消除遗憾，才能不断地改进、完善教学，不断地提高教学水平．教学教育的真理，让我苦苦地思考，“路漫漫其修远兮，吾将上下而求索”．