浙教版八年级上册2.7 探索勾股定理导学案

这是一份浙教版八年级上册2.7 探索勾股定理导学案，共4页。
A组


1．将下列各组数据中的三个数作为三角形的三边长，其中能构成直角三角形的是(B)


A．eq \r(3)，eq \r(4)，eq \r(5) B．1，eq \r(2)，eq \r(3)


C．6，7，8 D．2，3，4


2．若一个三角形的三边长a，b，c满足(a＋c)(a－c)＝b2，则该三角形是(B)


A．锐角三角形 B．直角三角形


C．钝角三角形 D．都有可能


3．一个三角形的三边长分别为15，20，25，那么它的最长边上的高是(B)


A．12．5 B．12


C．eq \f(15 \r(2),2) D．9





(第4题)


4．如图，在△ABC中，AC＝5，BC＝12，AB＝13，CD是AB边上的中线，则CD＝__6．5__．


5．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题：


(1)画线段AD∥BC，且使AD＝BC，连结CD．


(2)线段CD的长为__eq \r(5)__，AD的长为__5__．


(3)△ACD为__直角__三角形．


,(第5题)) ,(第5题解))


【解】 (1)如解图．


6．如图，在△ABC中，AB＝AC＝41，D是AC上的点，DC＝1，BD＝9，求△ABC的面积．





(第6题)


【解】 ∵AC＝41，CD＝1，


∴AD＝AC－CD＝40．


又∵BD＝9，


∴BD2＋AD2＝92＋402＝1681．


又∵AB2＝412＝1681，


∴AB2＝BD2＋AD2，


∴△ADB是直角三角形，且∠ADB＝90°，


∴S△ABC＝eq \f(1,2)AC·BD＝eq \f(1,2)×41×9＝184．5．


B组








7．已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足|c2－a2－b2|＋(a－b)2＝0，则△ABC的形状为等腰直角三角形．


【解】 ∵|c2－a2－b2|＋(a－b)2＝0，


∴|c2－a2－b2|＝0，(a－b)2＝0，


∴c2＝a2＋b2，a＝b，


∴△ABC是等腰直角三角形．





(第8题)


8．如图，P为正三角形ABC内一点，PA＝1，PB＝2，PC＝eq \r(3)，则正三角形ABC的面积为__eq \f(7\r(,3),4)__．


【解】 ∵△ABC为正三角形，


∴AB＝AC，∠BAC＝60°．


将△ABP绕点A逆时针旋转60°到△ACD的位置，连结PD．


∵△ACD≌△ABP，


∴DA＝PA，DC＝PB，∠ADC＝∠APB．


∵△ABP逆时针旋转60°，∴∠PAD＝60°，


∴△PAD为正三角形，∴PD＝PA＝1．


∵DC＝PB＝2，PC＝eq \r(,3)，


∴PD2＋PC2＝CD2，


∴△PCD为直角三角形，∠DPC＝90°．


∵CD＝2，PD＝1，


∴∠PCD＝30°，∴∠PDC＝60°，


∴∠ADC＝120°，∴∠APB＝120°．


∴∠BPC＝360°－∠APB－∠APD－∠CPD＝90°．


∴BC2＝PB2＋PC2．


∵PB＝2，PC＝eq \r(3)，∴BC＝eq \r(7)．


∵△ABC为正三角形，∴S△ABC＝eq \f(\r(3),4)BC2＝eq \f(7\r(3),4)．


9．已知a，b，c满足eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a－\r(7)))＋eq \r(b－5)＋(c－eq \r(32))2＝0．


(1)求a，b，c的值．


(2)判断以a，b，c为边能否构成三角形？若能构成三角形，此三角形是什么形状？并求出三角形的面积；若不能，请说明理由．


【解】 (1)∵a，b，c满足eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a－\r(7)))＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(b－5))＋(c－eq \r(32))2＝0．


∴eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a－\r(7)))＝0，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(b－5))＝0，(c－eq \r(32))2＝0，


解得a＝eq \r(7)，b＝5，c＝eq \r(32)．


(2)∵a＝eq \r(7)，b＝5，c＝eq \r(32)，


∴a＋b＝eq \r(7)＋5>2＋5＝7＝eq \r(49)>eq \r(32)，


∴以a，b，c为边能构成三角形．


∵a2＋b2＝(eq \r(7))2＋52＝32＝c2，


∴此三角形是直角三角形，


∴S＝eq \f(1,2)×eq \r(7)×5＝eq \f(5 \r(7),2)．





(第10题)





10．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，P是△ABC内一点，PA＝1，PB＝3，PC＝eq \r(7)．求∠CPA的度数．


【解】 将△APB绕点A逆时针旋转90°到△AQC的位置，连结PQ，则易得△APQ为等腰直角三角形，且△AQC≌△APB，


∴QA＝PA＝1，QC＝PB＝3．


∵△APQ为等腰直角三角形，


∴PQ2＝PA2＋AQ2＝2，∠APQ＝45°．


在△CPQ中，PC2＋PQ2＝7＋2＝9＝QC2，


∴∠QPC＝90°，


∴∠CPA＝∠QPC＋∠APQ＝135°．


数学乐园








11．如图，在正方形ABCD中，点E，G分别在边AB，对角线BD上，EG∥AD，F为GD的中点，连结FC．求证：EF⊥FC．导学号：91354014


,(第11题)) ,(第11题解))


【解】 如解图，过点F作FH⊥AB于点H，FK⊥AD于点K，延长HF交CD于点I．


由题意易得四边形FIDK是正方形，四边形AKFH是长方形，


∴AK＝HF，KD＝DI＝FI＝KF＝AH．


∵AD＝CD，∴IC＝AK＝HF．


∵AD∥FH∥EG，F是DG的中点，


∴易证得HA＝HE，∴HE＝FI．


在Rt△HEF和Rt△FIC中，由勾股定理，得


EF2＝HE2＋HF2，FC2＝FI2＋IC2，


∴EF2＋FC2＝HE2＋HF2＋FI2＋IC2＝2HE2＋2HF2．


在Rt△BCE中，由勾股定理，得


EC2＝BE2＋BC2．


∵BE2＝(AB－AE)2＝(AD－2HE)2


＝(HF＋FI－2HE)2＝(HF＋HE－2HE)2


＝(HF－HE)2＝HF2－2HF·HE＋HE2，


BC2＝(HF＋FI)2＝(HF＋HE)2


＝HF2＋2HF·HE＋HE2，


∴EC2＝BE2＋BC2＝HF2－2HF·HE＋HE2＋HF2＋2HF·HE＋HE2


＝2HE2＋2HF2，


即EF2＋FC2＝EC2，


∴△EFC是直角三角形，且∠EFC＝90°，


∴EF⊥FC．