高中数学1.1 集合的概念与表示一等奖教案设计

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§1 集合


1.1 集合的概念与表示











1．集合的相关概念


(1)集合的概念：一般地，我们把指定的某些对象的全体称为集合．


(2)元素：集合中的每个对象叫作这个集合的元素．


(3)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．


思考1：(1)某班的所有“高个子”同学能否构成一个集合？


(2)某班身高高于175 cm的所有男生能否构成一个集合？


提示：(1)不能构成一个集合，因为“高个子”没有明确的标准．


(2)能构成一个集合，因为标准确定．


2．元素与集合的关系


(1)元素与集合的关系


(2)常用数集及表示符号


3.集合的表示方法


(1)列举法：一般地，把集合中的所有元素一一列举出来，写在花括号内，这种表示集合的方法叫作列举法．


(2)描述法：通过描述元素满足的条件表示集合的方法叫作描述法．一般的形式为{x|p(x}，其中x为元素，p(x)为元素满足的条件．


思考2：偶数集中的元素有什么共同特征？如何用描述法表示？


提示：其共同特征是能被2整除，可以表示为


eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)∈Z))))或 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x＝2n，n∈Z)))).


4．集合的分类


集合 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(非空集合\b\lc\{(\a\vs4\al\c1(有限集：含有有限个元素的集合．,无限集：含有无限个元素的集合．)),空集：不含任何元素的集合，用∅表示．))


5．数集的区间表示


设a，b是两个实数，且a

“∞”读作“无穷大∞”，它不是一个数，仅表示书写端是无边界的，可以无限制的增大或减小．





1．下列给出的对象中，能构成集合的是( )


A．一切很大的数 B．好心人


C．营养丰富的食品 D．所有有理数


D [“很大”、“好心”、“丰富”等词所描述的对象没有确定性，故选D.]


2．由英文单词“bk”中的所有字母构成的集合中元素的个数是( )


A．1 B．2 C．3 D．4


C [由集合元素的互异性可知，该集合中共有“b”、“”、“k”三个元素，故选C.]


3．用“∈”或“”填空


eq \f(1,2)________N, －2________Z， eq \r(2)________Q，0________N，π________R.


[答案] ，∈，，∈，∈


4．已知集合A＝ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(3，a＋1))，


(1)求实数a的取值集合；


(2)若4∈A，求实数a的值．


[解] (1)由集合元素的互异性可知，a＋1≠3，解得a≠2，


所以，实数a的取值集合是 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\b\lc\ \rc\|(\a\vs4\al\c1(a))a≠2)).


(2)因为4∈A，所以a＋1＝4，解得a＝3，


所以，a＝3.








集合的基本概念


【例1】 下列给出的对象中，能构成集合的是( )


①小于0的所有实数 ②与0非常接近的实数 ③中国著名的高等院校 ④中国双一流的高等院校


A．①③ B．②④


C．①④ D．③④


[思路点拨] 根据所描述的对象是否有确定性来判断．


C [“非常接近”“著名”等词所描述的对象没有确定性，故选C.]





判断所描述的对象能否构成集合的方法


判断所描述的对象能否构成集合，关键看所描述的对象是否具有确定性，如果具有确定性，就可以组成集合；否则，就不能组成集合．在集合元素的三个特性中，元素的确定性是其本质属性．





eq \a\vs4\al([跟进训练])


1．判断下列说法是否正确，并说明理由．


(1)所有素数能组成一个集合．


(2)数轴上的一些点能组成一个集合．


(3)集合 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－1))\s\up8(2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋1))＝0，x∈R))))有三个元素．


(4)集合 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x∈R\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(ax＝1，a∈R))))有且仅有一个元素．


[解] (1)正确，素数具有确定性．


(2)不正确，“一些点”的标准不明确．


(3)不正确，由于“1”是该方程二重根，且集合的元素具有互异性，所以该集合有且仅有两个元素．


(4)不正确，当a＝0时， eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x∈R\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(ax＝1，a∈R))))＝∅.





集合的表示法


【例2】 (1)用列举法表示下列集合：


①不大于7的所有非负偶数组成的集合；


②方程2x2－x－1＝0的所有实数解组成的集合；


③一次函数y＝x＋3与y＝2x的图象的交点组成的集合．


(2)用描述法表示下列集合：


①不等式2x－3>0的解集；


②平面直角坐标系中第二象限内的所有点组成的集合；


③被3除余1的所有整数组成的集合．


[解](1)①不大于7的所有非负偶数分别是0，2，4，6，所以该集合可用列举法表示为 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(0，2，4，6)).


②方程2x2－x－1＝0的实数解分别是－ eq \f(1,2)，1，所以该集合可用列举法表示为 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，1)).


③由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝x＋3,y＝2x)) ，得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝3,y＝6)) ，


所以，一次函数y＝x＋3与y＝2x的图象的交点为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，6))，


所以，一次函数y＝x＋3与y＝2x的图象的交点组成的集合为 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，6)))).


(2)① eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\b\lc\ \rc\|(\a\vs4\al\c1(x∈R))2x－3>0)).


② eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\b\lc\ \rc\|(\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x，y))))x<0，且y>0)).


③ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\b\lc\ \rc\|(\a\vs4\al\c1(x))x＝3n＋1，n∈Z)).





1．列举法表示集合的一般形式为 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(a1，a2，…，an))，其中ai，i＝1，2，…，n为集合的元素．


2．描述法表示集合的一般形式为 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(p\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))))))，其中x为集合的元素，p eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))为元素满足的条件．


提醒：在用列举法表示集合时，不能用 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(所有实数))或 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(R))来表示实数集R.





eq \a\vs4\al([跟进训练])


2．用适当的方法表示下列集合．


(1)所有奇数组成的集合；


(2)不大于10的所有素数组成的集合；


(3)平面直角坐标系中的所有点组成的集合；


(4)满足－1<2x－1≤3的x的取值集合．


[解] (1) eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\b\lc\ \rc\|(\a\vs4\al\c1(x))x＝2n－1，n∈Z)).


(2)不大于10的所有素数分别是2，3，5，7，所以该集合可用列举法表示为 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(2，3，5，7)).


(3) eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\b\lc\ \rc\|(\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x，y))))x∈R，且y∈R)).


(4)由－1<2x－1≤3，得0




元素与集合的关系


【例3】 已知集合A＝ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(a－2，2a2＋5a，3))，且－3∈A，求a的值．


[思路点拨] eq \x(－3∈A)→ eq \x(\a\al(a－2＝－3或,2a2＋5a＝－3))→ eq \x(分类求出a) eq \(――→,\s\up9(检验)) eq \x(确定a的值)


[解]由－3∈A，得a－2＝－3或2a2＋5a＝－3.


(1)若a－2＝－3，则a＝－1，


当a＝－1时，2a2＋5a＝－3，不满足集合元素的互异性，


∴a＝－1不符合题意．


(2)若2a2＋5a＝－3，则a＝－1或－ eq \f(3,2).


当a＝－ eq \f(3,2)时，a－2＝－ eq \f(7,2)，符合题意；


当a＝－1时，由(1)知，不符合题意．


综上可知，实数a的值为－ eq \f(3,2).





1．求解此类题时．应注意检验集合元素是否满足互异性．


2．判断元素与集合的关系的方法


如果集合是用列举法给出的，可直接判断该元素是否在已知集合中出现即可；如果集合是用描述法给出的，则(1)判断该元素是否具有已知集合中元素所具有的特征；(2)将该集合转化为列举法表示，再判断．





eq \a\vs4\al([跟进训练])


3．(1)下列所给关系正确的个数是( )


①π∈R，② eq \r(2)Q，③0N*，④ eq \r(5)∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2，3)).


A．1 B．2 C．3 D．4


(2)已知A＝ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(2，4，6))，且当a∈A时，6－a∈A，则a的取值集合是( )


A． eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(2)) B． eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(4)) C． eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(6)) D． eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(2，4))


(3)设A＝ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x＝4n＋1))，n∈Z ))，则－7________A，3________A


(1)D (2)D (3)∈ [(1)①②③④都正确，故选D.


(2)对a的可能取值逐个检验，a＝2时，6－a＝4∈A；a＝4时，6－a＝2∈A；a＝6时，6－a＝0A，所以a的取值集合是 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(2，4)).


(3)由4n＋1＝－7，得n＝－2，即－7＝4× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2))＋1，所以－7∈A；由4n＋1＝3，得n＝ eq \f(1,2)，由于 eq \f(1,2)Z，所以3A.]








1．判断所描述的对象能否构成集合，关键看所描述的对象是否具有确定性，如果具有确定性，就可以组成集合；否则，就不能组成集合．


2．求解与字母有关的集合问题时，应注意检验集合元素是否满足互异性，要有分类讨论意识．


3．表示一个集合可以用列举法，也可以用描述法，一般地，有限集用列举法，此种方法突出元素本身；无限集用描述法，此种方法强调元素的属性．在选择表示方法时，要根据需要进行选择．





1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)


(1)接近0的数可以组成一个集合．( )


(2) eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(1，2))与 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(2，1))是同一个集合．( )


(3)方程组 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋2y＝4,2x－y＝3))的解集可以表示为 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x＝2，y＝1)).( )


[答案] (1)× (2)√ (3)×


2．已知A＝ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x∈R\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x<1))))，则有( )


A．3∈A B．1∈A


C．0∈A D．－1A


C [因为0<1，所以0∈A.]


3．若1 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(3a－1，1＋a))，则实数a的取值范围是________．


eq \f(2,3)1或1＋a<1))，解得 eq \f(2,3)

4．设集合A＝ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x2))－3x＋a＝0 ))，若4∈A，试用列举法表示集合A.


[解] 由4∈A，得42－3×4＋a＝0，


解得a＝－4，


所以A＝ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x2))－3x－4＝0 ))＝ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－1，4)).学 习 目 标
核 心 素 养
1．通过实例了解集合的含义．(难点)


2．掌握集合中元素的特性．(重点)


3．体会元素与集合的“属于”关系．(重点、易混点)


4．初步掌握集合的两种表示方法－列举法、描述法，感受集合语言的意义与作用．(重点、难点)


5．在具体情境中，了解空集的含义．(难点)
1．通过概念集合的学习，逐步形成数学抽象素养．


2．借助集合元素互异性的应用，培养逻辑推理素养．
元素与集合的关系
文字表示
属于
不属于
符号表示
∈
名称
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
正实数集
符号
N
N＋或N*
Z
Q
R
R＋
含义
名称
区间表示
数轴表示
eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(a≤x≤b))))
闭区间
eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(a，b))
eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(a开区间
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a，b))
eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(a左开右闭区间
eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(a，b))
eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(a≤x左闭右开区间
eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(a，b))
R
无界区间
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，＋∞))
eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x≥a))))
左闭右无界区间
eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(a，＋∞))
eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x≤a))))
右闭左无界区间
eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，a))
eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x>a))))
左开右无界区间
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a，＋∞))
eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x右开左无界区间
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，a))