高中数学北师大版 (2019)必修 第一册1.1 集合的概念与表示同步测试题

集合的含义

 (建议用时：40分钟)

一、选择题

1．下列各组对象不能构成集合的是(　　)

A．拥有手机的人

B．2021年高考数学难题

C．所有有理数

D．小于π的正整数

B　[B选项中“难题”的标准不明确，不符合确定性，所以选B.]

2．集合M是由大于－2且小于1的实数构成的，则下列关系式正确的是(　　)

A．∈M B．0∉M

C．1∈M D．－∈M

D　[>1，故A错；－2<0<1，故B错；1不小于1，故C错；－2<－<1，故D正确．]

3．已知集合A由x<1的数构成，则有(　　)

A．3∈A B．1∈A

C．0∈A D．－1∉A

C　[很明显3,1不满足不等式，而0，－1满足不等式．]

4．设A是方程2x2＋ax＋2＝0的解集，且2∈A，则实数a的值为(　　)

A．－5 B．－4 

C．4 D．5

A　[因为2∈A，所以2×22＋2a＋2＝0，解得a＝－5.]

5．若以集合A的四个元素a，b，c，d为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是(　　)

A．梯形 B．平行四边形

C．菱形 D．矩形

A　[由于a，b，c，d四个元素互不相同，故它们组成的四边形的四条边都不相等．]

二、填空题

6．以方程x2－5x＋6＝0和方程x2－x－2＝0的根为元素的集合中共有________个元素．

3　[方程x2－5x＋6＝0的根是2,3，方程x2－x－2＝0的根是－1,2.根据集合中元素的互异性知，以两方程的根为元素的集合中共有3个元素．]

7．不等式x－a≥0的解集为A，若3∉A，则实数a的取值范围是________．

a>3　[因为3∉A，所以3是不等式x－a<0的解，所以3－a<0，解得a>3.]

8．集合A中的元素y满足y∈N，且y＝－x2＋1.若t∈A，则t的值为________．

0或1　[因为y＝－x2＋1≤1，且y∈N，所以y的值为0,1，即集合A中的元素为0,1.又t∈A，所以t＝0或1.]

三、解答题

9．若集合A中含有三个元素a－3,2a－1，a2－4，且－3∈A，求实数a的值．

[解]　①若a－3＝－3，则a＝0，此时A中含有－3，－1，－4三个元素，满足题意．

②若2a－1＝－3，则a＝－1，此时A中含有－4，－3两个元素，这与题意不符．

③若a2－4＝－3，则a＝±1.当a＝1时，A中含有－2,1，－3三个元素，满足题意；当a＝－1时，与题意不符．

综上可知：a＝0或a＝1.

10．集合A是由形如m＋n(m∈Z，n∈Z)的数构成的，试分别判断a＝－，b＝，c＝(1－2)2与集合A的关系．

[解]　因为a＝－＝0＋(－1)×，而0，－1∈Z，所以a∈A；

因为b＝＝＝＋，而，∉Z，所以b∉A；

因为c＝(1－2)2＝13＋(－4)×，而13，－4∈Z，所以c∈A.

11．(多选)下列说法正确的是(　　)

A．N*中最小的数是1

B．若－a∉N*，则a∈N*

C．若a∈N*，b∈N*，则a＋b最小值是2

D．x2＋4＝4x的实数解组成的集合中含有2个元素

AC　[N*是正整数集，最小的正整数是1，故A正确；当a＝0时，－a∉N*，且a∉N*，故B错误；若a∈N*，则a的最小值是1，又b∈N*，b的最小值也是1，当a和b都取最小值时，a＋b取最小值2，故C正确；由集合元素的互异性知D是错误的．故A、C正确．]

12．集合A的元素y满足y＝x2＋1，集合B的元素(x，y)满足y＝x2＋1(A，B中x∈R，y∈R)．则下列选项中元素与集合的关系都正确的是(　　)

A．2∈A，且2∈B

B．(1,2)∈A，且(1,2)∈B

C．2∈A，且(3,10)∈B

D．(3,10)∈A，且2∈B

C　[集合A中的元素为y，是数集，又y＝x2＋1≥1，故2∈A，集合B中的元素为点(x，y)，且满足y＝x2＋1，经验证，(3,10)∈B，故C.]

13．已知集合P中元素x满足：x∈N，且2<x<a，又集合P中恰有三个元素，则整数a＝________.

6　[∵x∈N，且集合P中恰有三个元素，从而知a＝6.]

14．已知x，y，z为非零实数，代数式＋＋＋的值所组成的集合是M，集合M中元素的个数为________，所有元素的和为________．

3　0　[x，y，z同为正数时，代数式的值为4，所以4∈M；当x，y，z中只有一个负数或有两个负数时，代数式的值为0；当x，y，z同为负数时，代数式的值为－4.]

15．设集合A中的元素均为实数，且满足条件：若a∈A，则∈A(a≠1)．

求证：(1)若2∈A，则A中必还有另外两个元素；

(2)集合A不可能是单元素集．

[证明]　(1)若a∈A，则∈A.

又因为2∈A，所以＝－1∈A.

因为－1∈A，所以＝∈A.

因为∈A，所以＝2∈A.

所以A中必还有另外两个元素，且为－1，.

(2)若A为单元素集，

则a＝，

即a2－a＋1＝0，方程无实数解．

所以a≠，

所以集合A不可能是单元素集．