数学必修 第一册2.1 必要条件与充分条件一等奖教案

这是一份数学必修 第一册2.1 必要条件与充分条件一等奖教案，共8页。
§2 常用逻辑用语


2.1 必要条件与充分条件











1．命题


(1)命题的定义：可以判断真假，用文字或符号表述的陈述句．


(2)命题的两种形式：“若p，则q”和“p是q”．


(3)“⇒”的意义：当命题“若p，则q”是真命题时，就说由条件p推出结论q，记作p⇒q.


思考1：命题可以是疑问句吗？


提示：不可以，疑问句不涉及真假，更无法判断真假．


2．必要条件与充分条件


思考2：(1)“p是q的充分条件”与“q是p的必要条件”所表示的推出关系是否相同？


(2)以下五种表述形式：①p⇒q；②p是q的充分条件；③q的充分条件是p；④q是p的必要条件；⑤p的必要条件是q.这五种表述形式等价吗？


提示：(1)相同，都是p⇒q (2)等价


3．充要条件


(1)一般地，如果有p⇒q，且q⇒p，就记作p⇔q.此时，我们说，p是q的充分且必要条件，简称充要条件．


(2)若p⇒q，但qp，则称p是q的充分不必要条件．


(3)若q⇒p，但pq，则称p是q的必要不充分条件．


(4)若pq，且qp，则称p是q的既不充分也不必要条件．


思考3：如果一个命题及其逆命题均成立，那么原命题中的条件是结论的充要条件吗？


提示：是．





1．下列语句是命题的是( )


A．正方形是矩形 B．作直线AB


C．x是整数 D．明天会下雨吗


A [D不是陈述句，B、C无法判断真假．]


2．“同位角相等”是“两直线平行”的( )


A．充分不必要条件


B．必要不充分条件


C．充要条件


D．既不充分也不必要条件


[答案] C


3．使x>1成立的一个充分条件是( )


A．x>0 B．x2 D．x2⇒x>1，其他选项均不能推出x>1.]


4．如图所示的电路图中，“闭合开关A”是“灯泡B亮”的什么条件？





[解] 如图(1)，闭合开关A或者闭合开关C都可能使灯泡B亮．反之，若要灯泡B亮，不一定非要闭合开关A.因此“闭合开关A”是“灯泡B亮”的充分不必要条件．


如图(2)，闭合开关A而不闭合开关C，灯泡B不亮．反之，若要灯泡B亮，则开关A必须闭合，说明“闭合开关A”是“灯泡B亮”的必要不充分条件．


如图(3)，闭合开关A可使灯泡B亮，而灯泡B亮，开关A一定是闭合的，因此“闭合开关A”是“灯泡B亮”的充要条件．


如图(4)，闭合开关A但不闭合开关C，灯泡B不亮．反之，灯泡B亮也可不必闭合开关A，只要闭合开关C即可，说明“闭合开关A”是“灯泡B亮”的既不充分又不必要条件．








必要条件、充分条件的判断


【例1】 指出下列各题中p是q的什么条件．


(1)p：x＝1，q：x2＝1；


(2)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等；


(3)p：a>b，q：ac>bc.


[思路点拨] 求解本题需注意以下两点：


(1)分清条件和结论；


(2)准确判断命题“若p，则q”及其逆命题的真假．


[解] (1)x＝1⇒x2＝1，但x2＝1x＝1，故p是q的充分不必要条件．


(2)两个三角形相似两个三角形全等，但两个三角形全等⇒两个三角形相似，故p是q的必要不充分条件．


(3)a＞bac＞bc，ac＞bca＞b，故p是q的既不充分也不必要条件．





用定义判断必要条件、充分条件要注意


(1)分清条件与结论；


(2)既要考虑由条件能否推出结论，即充分性；也要考虑由结论能否推出条件，即必要性．





eq \a\vs4\al([跟进训练])


1．指出下列各题中p是q的什么条件


(1)在△ABC中，p：AB＝AC，q：∠B＝∠C；


(2)p：x＝2，q：x>1；


(3)p：a>b，q： eq \f(a,b)>1.


[解] (1)由等腰三角形的性质定理与判定定理知，p是q的充要条件．


(2)x＝2⇒x>1，但x>1x＝2，故p是q的充分不必要条件．


(3)当bb，可得 eq \f(a,b)1，可得a1－m,1－m1－m,1－m≤－2,1＋m>10)) ，


解得m≥9.


所以实数m的取值范围是m≥9.





1．把本例中的“p是q的充分不必要条件”改为“p是q的必要不充分条件”，其他条件不变，试求实数m的取值范围．


[解] 由p是q的必要不充分条件，得集合 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\b\lc\ \rc\|(\a\vs4\al\c1(x))1－m≤x≤1＋m))是集合{x|－2≤x≤10}的真子集，


当 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\b\lc\ \rc\|(\a\vs4\al\c1(x))1－m≤x≤1＋m))＝∅，即m－2,1＋m≤10)) ，或 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m≥0,1－m≥－2,1＋m