人教版第二十一章 一元二次方程综合与测试随堂练习题

这是一份人教版第二十一章 一元二次方程综合与测试随堂练习题，共13页。试卷主要包含了若关于x的方程，已知实数x满足等内容，欢迎下载使用。

一．选择题


1．已知y＝0是关于y的一元二次方程（m﹣1）y2+my+4m2﹣4＝0的一个根，那么m的值是（ ）


A．0B．1C．﹣1D．±1


2．若关于x的方程（k﹣1）x2﹣2kx+k﹣3＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）


A．B．且k≠1C．D．且k≠1


3．已知等腰△ABC的底边长为3，两腰长恰好是关于x的一元二次方程kx2﹣（k+3）x+6＝0的两根，则△ABC的周长为（ ）


A．6.5B．7C．6.5或7D．8


4．若关于x的方程有实数根，则k的取值范围为（ ）


A．k≥0B．k＞0C．k≥D．k＞


5．关于x的方程m2x2﹣8mx+12＝0至少有一个正整数解，且m是整数，则满足条件的m的值的个数是（ ）


A．5个B．4个C．3个D．2个


6．已知x是方程x2+2x﹣2＝0的根，那么代数式（﹣x﹣2）÷的值是（ ）


A．﹣1B．+1C．﹣1或﹣﹣1D．﹣1或+1


7．有一块长28cm、宽20cm的长方形纸片，要在它的四角截去四个全等的小正方形，折成一个无盖的长方体盒子，使它的底面积为180cm2，为了有效利用材料，则截去的小正方形的边长是（ ）cm．


A．3cmB．4cmC．5cmD．6cm


8．已知实数x满足（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0，则代数式x2﹣x+1的值是（ ）


A．7B．﹣1C．7或﹣1D．﹣5或3


9．一元二次方程x2+x﹣1＝0的两根分别为x1，x2，则+＝（ ）


A．B．1C．D．


10．对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：


①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0；


②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根；


③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；


④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则


其中正确的（ ）


A．只有①②B．只有①②④C．①②③④D．只有①②③


二．填空题


11．若（a2+b2）2﹣3（a2+b2）﹣4＝0，则代数式a2+b2的值为


12．若关于x的方程x2﹣k|x|+4＝0有四个不同的解，则k的取值范围是 ．


13．关于x的方程（a﹣3）x2+x+10＝0是一元二次方程，则a的取值范围是 ．


14．已知一元二次方程x2+2x﹣8＝0的两根为x1、x2，则+2x1x2+＝ ．


15．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，动点P从点A开始以每秒1个单位长度的速度沿边AC向点C运动，同时动点Q从点C开始，以每秒2个单位长度的速度沿C→B→A的折线在CB、BA边上向点A运动，当P点到达C点时，两点同时停止运动，连接PQ．在运动过程中（Q点在C、B、A三点除外），线段PQ将△ABC分成一个三角形和一个四边形，若四边形的面积为三角形面积的2倍，则运动的时间为 秒．





三．解答题


16．求证：不论k为何值时，关于x的一元二次方程x2+（k﹣2）x+（k﹣4）＝0有两个不相等的实数根．


17．今年奉节脐橙喜获丰收，某村委会将全村农户的脐橙统一装箱出售．经核算，每箱成本为40元，统一零售价定为每箱50元，可以根据买家订货量的多少给出不同的折扣价销售．


（1）问最多打几折销售，才能保证每箱脐橙的利润率不低于10%？


（2）该村最开始几天每天可卖5000箱，因脐橙的保鲜周期短，需要尽快打开销路，减少积压，村委会决定在零售价基础上每箱降价3m%，这样每天可多销售m%；为了保护农户的收益与种植积极性，政府用“精准扶贫基金”给该村按每箱脐橙m元给予补贴进行奖励，结果该村每天脐橙销售的利润为49000元，求m的值．


18．如图，在矩形ABCD中，边AB、BC的长（AB＜BC）是方程x2﹣7x+12＝0的两个根，点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿矩形ABCD边A→B→C→D→A的方向运动，运动时间为t（秒）．


（1）求AB与BC的长；


（2）当点P运动到边BC上且AP＝时，求t的值．





19．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，点P从点A开始沿射线AC向点C以2cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点C开始沿边CB向点B以1cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A、C同时出发，运动的时间为ts，当点Q运动到点B时，两点停止运动．


（1）当点P在线段AC上运动时，P、C两点之间的距离 cm．（用含t的代数式表示）


（2）在运动的过程中，是否存在某一时刻，使得△PQC的面积是△ABC面积的．若存在，求t的值；若不存在，说明理由．





20．在一元二次方程中，有著名的韦达定理：对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），如果方程有两个实数根x1，x2，那么x1+x2＝﹣，x1•x2＝（说明：定理成立的条件△≥0）．比如方程2x2﹣3x﹣1＝0中，△＝17，所以该方程有两个不等的实数解．记方程的两根为x1，x2，那么x1+x2＝，x1•x2＝﹣，请根据阅读材料解答下列各题：


（1）已知方程x2﹣3x﹣2＝0的两根为x1、x2，且x1＞x2，求下列各式的值：


①x12+x22；②；


（2）已知x1，x2是一元二次方程4kx2﹣4kx+k+1＝0的两个实数根．


①是否存在实数k，使（2x1﹣x2）（x1﹣2x2）＝﹣成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．


②求使+﹣2的值为整数的实数k的整数值．
























































参考答案


一．选择题（共10小题）


1．解：把y＝0代入（m﹣1）y2+my+4m2﹣4＝0得：


4m2﹣4＝0，即m2﹣1＝0


解得：m1＝1，m2＝﹣1


当m＝1时，关于y的方程由于二次项系数为0不再是一元二次方程，


所以m＝﹣1．


故选：C．


2．解：①当k﹣1＝0，即k＝1时，方程为﹣2x﹣2＝0，此时方程有一个解，不符合题意；


②当k≠1时，∵关于x的方程（k﹣1）x2﹣2kx+k﹣3＝0有两个不相等的实数根，


∴（﹣2k）2﹣4×（k﹣1）×（k﹣3）＞0，


解得：k＞且k≠1．


故选：B．


3．解：∵两腰长恰好是关于x的一元二次方程kx2﹣（k+3）x+6＝0的两根，


∴△＝[﹣（k+3）]2﹣4×k×6＝0，


解得k＝3，


∴一元二次方程为x2﹣6x+6＝0，


∴两腰之和为＝4，


∴△ABC的周长为4+3＝7，


故选：B．


4．解：∵关于x的方程有实数根，


∴△＝b2﹣4ac＝（﹣3）2+4＝9k+4≥0，


解得：k≥，


又∵方程中含有


∴k≥0，


故选：A．


5．解：m2x2﹣8mx+12＝0，


解法一：△＝（﹣8m）2﹣4m2×12＝16m2，


∴x＝＝，


∴x1＝，x2＝，


解法二：（mx﹣2）（mx﹣6）＝0，


∴x1＝，x2＝，


∵关于x的方程m2x2﹣8mx+12＝0至少有一个正整数解，且m是整数，


∴＞0，＞0，


∴m＝1或2或3或6，


则满足条件的m的值的个数是4个，


故选：B．


6．解：x2+2x﹣2＝0，


∴x2+2x＝2．


解得x＝±﹣1


∴（﹣x﹣2）÷


＝×


＝×


＝﹣（x2+3x）


＝﹣（x2+2x+x）


＝﹣（2+x）


当x＝﹣1时，


原式＝﹣（2±﹣1）


故选：C．


7．解：设截去的小正方形的边长是xcm，由题意得


（28﹣2x）（20﹣2x）＝180，


解得：x1＝5，x2＝19，


∵20﹣2x＞0，


∴x＜10．


∴x2＝19，不符合题意，应舍去．


∴x＝5．


∴截去的小正方形的边长是5cm．


故选：C．








8．解：∵（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0，


∴（x2﹣x+2）（x2﹣x﹣6）＝0，


∴x2﹣x+2＝0或x2﹣x﹣6＝0，


∴x2﹣x＝﹣2或x2﹣x＝6．


当x2﹣x＝﹣2时，x2﹣x+2＝0，


∵b2﹣4ac＝1﹣4×1×2＝﹣7＜0，


∴此方程无实数解．


当x2﹣x＝6时，x2﹣x+1＝7


故选：A．


9．解：根据题意得x1+x2＝﹣1，x1•x2＝﹣1，


所以+＝＝＝1．


故选：B．


10．解：①若a+b+c＝0，则x＝1是方程ax2+bx+c＝0的解，


由一元二次方程的实数根与判别式的关系可知△＝b2﹣4ac≥0，故①正确；


②∵方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，


∴△＝0﹣4ac＞0


∴﹣4ac＞0


则方程ax2+bx+c＝0的判别式


△＝b2﹣4ac＞0


∴方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根，故②正确；


③∵c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，


则ac2+bc+c＝0


∴c（ac+b+1）＝0


若c＝0，等式仍然成立


但ac+b+1＝0不一定成立，故③不正确；


④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，


则由求根公式可得：


x0＝或x0＝


∴2ax0+b＝或2ax0+b＝﹣


∴


故④正确．


故选：B．


二．填空题（共5小题）


11．解：设t＝a2+b2，


则原方程为t2﹣3t﹣4＝0，


解得t1＝4，t2＝﹣1，


∵a2+b2≥0，


∴t＝4，


∴a2+b2＝4，


故答案为：4．


12．解：∵关于x的方程x2﹣k|x|+4＝0有四个不同的解，


∴△＝b2﹣4ac＝k2﹣16＞0，


即k2＞16，


解得k＜﹣4或k＞4，


而k＜﹣4时，x2﹣k|x|+4的值不可能等于0，


所以k＞4．


故填空答案：k＞4．


13．解：∵方程（a﹣3）x2+x+10＝0是一元二次方程，


∴a﹣3≠0，即 a≠3，


又∵二次根式有意义，


∴a+3≥0，即 a≥﹣3，


∴a≥﹣3且a≠3．


故答案为：a≥﹣3且a≠3．


14．解：∵一元二次方程x2+2x﹣8＝0的两根为x1、x2，


∴x1+x2＝﹣2，x1•x2＝﹣8，


∴+2x1x2+


＝2x1x2+


＝2×（﹣8）+


＝﹣16+


＝﹣，


故答案为：﹣．


15．解：在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，


∴BC＝10


设运动的时间为t，则AP＝t，点Q所走的路程为2t，


1）当点Q在BC线段上运动时，0＜t＜5，


如图所示，过点Q作QG⊥AC，交AC于点G，


则sinC＝＝


∴QG＝×2t＝


∵S△ABC＝6×8÷2＝24


若四边形的面积为三角形面积的2倍，则S△PQC＝24×＝8


∴（8﹣t）×÷2＝8


化简得3t2﹣24t+40＝0


解得t1＝4﹣，t2＝4+（舍）





2）当点Q在BA线段上运动时，5＜t＜8，


如图所示，


S△APQ＝AP•AQ＝t（10+6﹣2t）＝8


化简得：t2﹣8t+8＝0


解得t3＝4﹣2（舍），t4＝4+2．





故答案为：4﹣或4+2．


三．解答题（共5小题）


16．证明：△＝（k﹣2）2﹣4（k﹣4）＝k2﹣8k+20＝（k﹣4）2+4，


∵（k﹣4）2≥0，


∴（k﹣4）2+4＞0，


∴不论k为何值时，关于x的一元二次方程x2+（k﹣2）x+（k﹣4）＝0有两个不相等的实数根．


17．解：（1）设打x折销售，才能保证每箱脐橙的利润率不低于10%，


由题意得：≥10%，


x≥8.8，


答：最多打8.8折销售，才能保证每箱脐橙的利润率不低于10%；


（2）由题意得：5000（1+m%）[50（1﹣3m%）+m﹣40]＝49000，


5（1+）（50﹣m+m﹣40）＝49，


m2﹣5m﹣6＝0，


m1＝6，m2＝﹣1（舍）．


18．解：（1）∵x2﹣7x+12＝0，


则（x﹣3）（x﹣4）＝0，


∴x1＝3，x2＝4．


∵AB＜BC，


∴AB＝3，BC＝4；


（2）如图，在Rt△ABP中，


∵AP＝，AB＝3，


∴BP＝＝＝1．


∴t＝＝4．


答：t的值是4秒．





19．解：（1）∵△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，


∴Rt△ABC中，AC＝6cm，


又∵点P从点A开始沿射线AC向点C以2cm/s的速度移动，


∴AP＝2t，


∴当点P在线段AC上运动时，P、C两点之间的距离（6﹣2t）cm；


故答案为：（6﹣2t）；


（2）△ABC的面积为S△ABC＝×6×8＝24，


①当0＜t＜3时，PC＝6﹣2t，QC＝t，


∴S△PCQ＝PC×QC＝t（6﹣2t），


∴t（6﹣2t）＝4，


即t2﹣3t+4＝0，


∵△＝b2﹣4ac＝﹣7＜0，


∴该一元二次方程无实数根，


∴该范围下不存在；


②当3＜t≤8时，PC＝2t﹣6，QC＝t，


∴S△PCQ＝PC×QC＝t（2t﹣6），


∴t（2t﹣6）＝4，


即t2﹣3t﹣4＝0，


解得t＝4或﹣1（舍去），


综上所述，存在，当t＝4时，△PQC的面积是△ABC面积的．


20．解：（1）∵x2﹣3x﹣2＝0，△＝（﹣3）2﹣4×（﹣2）＝17＞0


∴x1+x2＝3，x1•x2＝﹣2


①x+x＝（x1+x2）2﹣2x1•x2＝32﹣2×（﹣2）＝9+4＝13


②＝


（2）∵方程有两个实数根，


∴△＝（﹣4k）2﹣4•4k（k+1）＞0


∴k＜0，x1+x2＝1，x1•x2＝


①∵（2x1﹣x2）（x1﹣2x2）＝2x12﹣5x1x2+2x22＝2（x12+2x1x2+x22）﹣9x1x2＝2（x1+x2）2﹣9x1x2


∴2﹣9＝


解得：k＝，与k＜0矛盾


∴不存在k的值，使（2x1﹣x2）（x1﹣2x2）＝﹣成立．


②+﹣2＝＝＝


∵+﹣2＝的值为整数


∴k+1＝±1或±2或±4


又∵k＜0


∴k＝﹣2或﹣3或﹣5