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高中数学人教A版 (2019)必修 第一册2.2 基本不等式精品第2课时2课时教案
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这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册2.2 基本不等式精品第2课时2课时教案，共15页。
1．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．
2．能够运用基本不等式解决生活中的应用问题．
基本不等式与最值
已知x，y都是正数，
(1)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2eq \r(P)；
(2)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值eq \f(1,4)S2.
温馨提示：从上面可以看出，利用基本不等式求最值时，必须有：(1)x、y>0，(2)和(积)为定值，(3)存在取等号的条件．
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若a>0，b>0，且a＋b＝16，则ab≤64.( )
(2)若ab＝2，则a＋b的最小值为2eq \r(2).( )
(3)当x>1时，函数y＝x＋eq \f(1,x－1)≥2eq \r(\f(x,x－1))，所以函数y的最小值是2eq \r(\f(x,x－1)).( )
(4)若x∈R，则x2＋2＋eq \f(1,x2＋2)≥2.( )
[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)×
题型一 利用基本不等式求最值
【典例1】 (1)若x>0，求y＝4x＋eq \f(9,x)的最小值；
(2)设0
(3)已知x>2，求x＋eq \f(4,x－2)的最小值；
(4)已知x>0，y>0，且eq \f(1,x)＋eq \f(9,y)＝1，求x＋y的最小值．
[思路导引] 利用基本不等式求最值，当积或和不是定值时，通过变形使其和或积为定值，再利用基本不等式求解．
[解] (1)∵x>0，
∴由基本不等式得
y＝4x＋eq \f(9,x)≥2 eq \r(4x·\f(9,x))＝2eq \r(36)＝12，
当且仅当4x＝eq \f(9,x)，即x＝eq \f(3,2)时，y＝4x＋eq \f(9,x)取最小值12.
(2)∵00，
∴y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]
≤2eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(2x＋3－2x,2)))2＝eq \f(9,2).
当且仅当2x＝3－2x，即x＝eq \f(3,4)时取“＝”．
∴y的最大值为eq \f(9,2).
(3)∵x>2，∴x－2>0，
∴x＋eq \f(4,x－2)＝(x－2)＋eq \f(4,x－2)＋2
≥2 eq \r(x－2·\f(4,x－2))＋2＝6.
当且仅当x－2＝eq \f(4,x－2)，
即x＝4时，x＋eq \f(4,x－2)取最小值6.
(4)∵x>0，y>0，eq \f(1,x)＋eq \f(9,y)＝1，
∴x＋y＝(x＋y)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋\f(9,y)))＝10＋eq \f(y,x)＋eq \f(9x,y)
≥10＋2eq \r(9)＝16.
当且仅当eq \f(y,x)＝eq \f(9x,y)且eq \f(1,x)＋eq \f(9,y)＝1时等号成立，
即x＝4，y＝12时等号成立．
∴当x＝4，y＝12时，x＋y有最小值16.
[变式] (1)本例(3)中，把“x>2”改为“x<2”，则x＋eq \f(4,x－2)的最值又如何？
(2)本例(3)中，条件不变，改为求eq \f(x2－2x＋4,x－2)的最小值．
[解] (1)∵x<2，∴2－x>0，
∴x＋eq \f(4,x－2)＝x－2＋eq \f(4,x－2)＋2＝－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2－x＋\f(4,2－x)))＋2≤－2 eq \r(2－x·\f(4,2－x))＋2＝－2.
当且仅当2－x＝eq \f(4,2－x)，即x＝0时，
x＋eq \f(4,x－2)取最大值－2.
(2)eq \f(x2－2x＋4,x－2)＝eq \f(x－22＋2x－2＋4,x－2)
＝x－2＋eq \f(4,x－2)＋2≥2 eq \r(x－2·\f(4,x－2))＋2＝6
当且仅当x－2＝eq \f(4,x－2)，即x＝4时，原式有最小值6.
(1)若是求和式的最小值，通常化(或利用)积为定值；若是求积的最大值，通常化(或利用)和为定值，其解答技巧是恰当变形、合理拆分项或配凑因式．
(2)若多次使用基本不等式，等号成立的条件应相同．
[针对训练]
1．已知x，y>0，且满足eq \f(x,3)＋eq \f(y,4)＝1，则xy的最大值为________．
[解析] ∵x，y>0，
∴eq \f(x,3)＋eq \f(y,4)＝1≥2 eq \r(\f(xy,12))，
得xy≤3，当且仅当eq \f(x,3)＝eq \f(y,4)即x＝eq \f(3,2)，y＝2时，取“＝”号，
∴xy的最大值为3.
[答案] 3
2．已知x，y>0，且x＋y＝4，则eq \f(1,x)＋eq \f(3,y)的最小值为________．
[解析] ∵x，y>0，
∴(x＋y)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋\f(3,y)))＝4＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y,x)＋\f(3x,y)))≥4＋2eq \r(3)，
当且仅当eq \f(y,x)＝eq \f(3x,y)，
即x＝2(eq \r(3)－1)，y＝2(3－eq \r(3))时取“＝”号，
又x＋y＝4，
∴eq \f(1,x)＋eq \f(3,y)≥1＋eq \f(\r(3),2)，
故eq \f(1,x)＋eq \f(3,y)的最小值为1＋eq \f(\r(3),2).
[答案] 1＋eq \f(\r(3),2)
3．若x<3，则实数f(x)＝eq \f(4,x－3)＋x的最大值为________．
[解析] ∵x<3，∴x－3<0，
∴f(x)＝eq \f(4,x－3)＋x＝eq \f(4,x－3)＋(x－3)＋3
＝－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(4,3－x)＋3－x))＋3
≤－2 eq \r(\f(4,3－x)·3－x)＋3＝－1，
当且仅当eq \f(4,3－x)＝3－x，即x＝1时取“＝”号．
∴f(x)的最大值为－1.
[答案] －1
题型二 利用基本不等式解决实际问题
【典例2】 如图，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．
(1)现有可围 36 m长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？
(2)若使每间虎笼面积为24 m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？
[思路导引] 设每间虎笼长x m，宽y m，则问题是在4x＋6y＝36的前提下求xy的最大值．
[解] (1)设每间虎笼长x m，宽为y m，则由条件知4x＋6y＝36，即2x＋3y＝18.
设每间虎笼面积为S，则S＝xy.
解法一：由于2x＋3y≥2eq \r(2x·3y)＝2eq \r(6xy)，
∴2eq \r(6xy)≤18，得xy≤eq \f(27,2)，
即S≤eq \f(27,2)，当且仅当2x＝3y时，等号成立．
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋3y＝18，,2x＝3y，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝4.5，,y＝3.))
故每间虎笼长为4.5 m，宽为3 m时，可使面积最大．
解法二：∵2x＋3y＝18，
∴S＝xy＝eq \f(1,6)·(2x)·(3y)≤eq \f(1,6)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2x＋3y,2)))2＝eq \f(81,6)＝eq \f(27,2).(以下同解法一)
(2)由条件知S＝xy＝24.
设钢筋网总长为l，则l＝4x＋6y.
∵2x＋3y≥2eq \r(2x·3y)＝2eq \r(6xy)＝24，
∴l＝4x＋6y＝2(2x＋3y)≥48，当且仅当2x＝3y时，等号成立．
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＝3y，,xy＝24，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝6，,y＝4.))
故每间虎笼长6 m，宽4 m时，可使钢筋网总长最小．
解决实际问题时，先弄清题意(审题)，建立数学模型(列式)，再用所掌握的数学知识解决问题(求解)，最后要回应题意下结论(作答)．
[针对训练]
4．某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层，每层2000 m2的楼房．经测算，如果将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x(单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？
(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝eq \f(购地总费用,建筑总面积))
[解] 设将楼房建为x层，则每平方米的平均购地费用为eq \f(2160×104,2000 x)＝eq \f(10800,x).
于是每平方米的平均综合费用y＝560＋48x＋eq \f(10800,x)＝560＋48eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(225,x)))(x≥10)，
当x＋eq \f(225,x)取最小时，y有最小值．
∵x>0，∴x＋eq \f(225,x)≥2 eq \r(x·\f(225,x))＝30，
当且仅当x＝eq \f(225,x)，即x＝15时，上式等号成立．
∴当x＝15时，y有最小值2000元．
因此该楼房建为15层时，每平方米的平均综合费用最小．
课堂归纳小结
1．利用基本不等式求最大值或最小值时应注意：
(1)x，y一定要都是正数；
(2)求积xy最大值时，应看和x＋y是否为定值；求和x＋y最小值时，应看积xy是否为定值；
(3)等号是否能够成立．
以上三点可简记为“一正、二定、三相等”.
2.利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创建应用．
3．求解应用题的方法与步骤
(1)审题；(2)建模(列式)；(3)解模；(4)作答.
1．已知y＝x＋eq \f(1,x)－2(x>0)，则y有( )
A．最大值为0 B．最小值为0
C．最小值为－2 D．最小值为2
[答案] B
2．已知0
A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,2)
C.eq \f(1,4) D.eq \f(2,3)
[解析] ∵00.∴x(1－x)≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x＋1－x,2)))2＝eq \f(1,4)，当且仅当x＝1－x，即x＝eq \f(1,2)时，等号成立．
[答案] B
3．已知p，q∈R，pq＝100，则p2＋q2的最小值是________．
[答案] 200
4．已知函数f(x)＝4x＋eq \f(a,x)(x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，则a＝________.
[解析] 由基本不等式，得4x＋eq \f(a,x)≥2eq \r(4x·\f(a,x))＝4eq \r(a)，当且仅当4x＝eq \f(a,x)，即x＝eq \f(\r(a),2)时，等号成立，即eq \f(\r(a),2)＝3，a＝36.
[答案] 36
5．某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y＝eq \f(1,2)x2－200x＋80000，该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
[解] 由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为eq \f(y,x)＝eq \f(1,2)x＋eq \f(80000,x)－200≥2eq \r(\f(1,2)x·\f(80000,x))－200＝200，
当且仅当eq \f(1,2)x＝eq \f(80000,x)，即x＝400时等号成立，
故该单位月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元．
课后作业(十二)
复习巩固
一、选择题
1．当x>0时，y＝eq \f(12,x)＋4x的最小值为( )
A．4 B．8
C．8eq \r(3) D．16
[解析] ∵x>0，∴eq \f(12,x)>0,4x>0.∴y＝eq \f(12,x)＋4x≥2eq \r(\f(12,x)·4x)＝8eq \r(3).当且仅当eq \f(12,x)＝4x，即x＝eq \r(3)时取最小值8eq \r(3)，∴当x>0时，y的最小值为8eq \r(3).
[答案] C
2．设x，y为正数，则(x＋y)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋\f(4,y)))的最小值为( )
A．6 B．9
C．12 D．15
[解析] (x＋y)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋\f(4,y)))＝x·eq \f(1,x)＋eq \f(4x,y)＋eq \f(y,x)＋y·eq \f(4,y)＝1＋4＋eq \f(4x,y)＋eq \f(y,x)≥5＋2 eq \r(\f(4x,y)·\f(y,x))＝9.
[答案] B
3．若x>0，y>0，且eq \f(2,x)＋eq \f(8,y)＝1，则xy有( )
A．最大值64 B．最小值eq \f(1,64)
C．最小值eq \f(1,2) D．最小值64
[解析] 由题意xy＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,x)＋\f(8,y)))xy＝2y＋8x≥2eq \r(2y·8x)＝8eq \r(xy)，∴eq \r(xy)≥8，即xy有最小值64，等号成立的条件是x＝4，y＝16.
[答案] D
4．已知p>0，q>0，p＋q＝1，且x＝p＋eq \f(1,p)，y＝q＋eq \f(1,q)，则x＋y的最小值为( )
A．6 B．5
C．4 D．3
[解析] 由p＋q＝1，
∴x＋y＝p＋eq \f(1,p)＋q＋eq \f(1,q)＝1＋eq \f(1,p)＋eq \f(1,q)＝1＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,p)＋\f(1,q)))(p＋q)
＝1＋2＋eq \f(q,p)＋eq \f(p,q)≥3＋2eq \r(\f(q,p)·\f(p,q))＝5，
当且仅当eq \f(q,p)＝eq \f(p,q)即p＝q＝eq \f(1,2)时取等号，
所以B选项是正确的．
[答案] B
5．若a<1，则a＋eq \f(1,a－1)有最________(填“大”或“小”)值，为________．
[解析] ∵a<1，
∴a－1<0，
∴－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－1＋\f(1,a－1)))＝(1－a)＋eq \f(1,1－a)≥2，
∴a－1＋eq \f(1,a－1)≤－2，
∴a＋eq \f(1,a－1)≤－1.
当且仅当a＝0时取等号．
[答案] 大 －1
二、填空题
6．已知0
[解析] 由x(3－3x)＝eq \f(1,3)×3x(3－3x)≤eq \f(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3x＋3－3x,2)))2＝eq \f(3,4)，当且仅当3x＝3－3x，即x＝eq \f(1,2)时等号成立．
[答案] eq \f(1,2)
7．已知正数x，y满足x＋2y＝1，则eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)的最小值为________．
[解析] ∵x，y为正数，且x＋2y＝1，
∴eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)＝(x＋2y)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋\f(1,y)))＝3＋eq \f(2y,x)＋eq \f(x,y)≥3＋2eq \r(2)，
当且仅当eq \f(2y,x)＝eq \f(x,y)，即当x＝eq \r(2)－1，y＝1－eq \f(\r(2),2)时等号成立．
∴eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)的最小值为3＋2eq \r(2).
[答案] 3＋2eq \r(2)
8．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝________吨．
[解析] 每年购买次数为eq \f(400,x)次．
∴总费用＝eq \f(400,x)·4＋4x≥2eq \r(6400)＝160，
当且仅当eq \f(1600,x)＝4x，即x＝20时等号成立．
[答案] 20
三、解答题
9．已知a，b，x，y>0，x，y为变量，a，b为常数，且a＋b＝10，eq \f(a,x)＋eq \f(b,y)＝1，x＋y的最小值为18，求a，b.
[解] x＋y＝(x＋y)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,x)＋\f(b,y)))＝a＋b＋eq \f(bx,y)＋eq \f(ay,x)≥a＋b＋2eq \r(ab)＝(eq \r(a)＋eq \r(b))2，
当且仅当eq \f(bx,y)＝eq \f(ay,x)时取等号．
故(x＋y)min＝(eq \r(a)＋eq \r(b))2＝18，
即a＋b＋2eq \r(ab)＝18，①
又a＋b＝10，②
由①②可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2，b＝8))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝8，b＝2.))
10．(1)已知x<3，求f(x)＝eq \f(4,x－3)＋x的最大值；
(2)设x>0，y>0，且2x＋8y＝xy，求x＋y的最小值．
[解] (1)∵x<3，∴x－3<0.
∴f(x)＝eq \f(4,x－3)＋x＝eq \f(4,x－3)＋x－3＋3
＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3－x)＋3－x))＋3
≤－2 eq \r(\f(4,3－x)·3－x)＋3＝－1，
当且仅当eq \f(4,3－x)＝3－x，即x＝1时取等号，
∴f(x)的最大值为－1.
(2)解法一：由2x＋8y－xy＝0，
得y(x－8)＝2x，
∵x>0，y>0，∴x－8>0，y＝eq \f(2x,x－8)，
∴x＋y＝x＋eq \f(2x,x－8)＝x＋eq \f(2x－16＋16,x－8)
＝(x－8)＋eq \f(16,x－8)＋10
≥2 eq \r(x－8×\f(16,x－8))＋10
＝18.
当且仅当x－8＝eq \f(16,x－8)，即x＝12时，等号成立．
∴x＋y的最小值是18.
解法二：由2x＋8y－xy＝0及x>0，y>0，得eq \f(8,x)＋eq \f(2,y)＝1，
∴x＋y＝(x＋y)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,x)＋\f(2,y)))
＝eq \f(8y,x)＋eq \f(2x,y)＋10≥2 eq \r(\f(8y,x)·\f(2x,y))＋10
＝18.
当且仅当eq \f(8y,x)＝eq \f(2x,y)，即x＝2y＝12时等号成立，
∴x＋y的最小值是18.
综合运用
11．已知a>0，b>0，a＋b＝2，则y＝eq \f(1,a)＋eq \f(4,b)的最小值是( )
A.eq \f(7,2) B．4 C.eq \f(9,2) D．5
[解析] ∵a＋b＝2，∴eq \f(a＋b,2)＝1，
∴eq \f(1,a)＋eq \f(4,b)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＋\f(4,b)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))＝eq \f(5,2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2a,b)＋\f(b,2a)))≥eq \f(5,2)＋2eq \r(\f(2a,b)·\f(b,2a))＝eq \f(9,2)(当且仅当eq \f(2a,b)＝eq \f(b,2a)，即b＝2a时，“＝”成立)，故y＝eq \f(1,a)＋eq \f(4,b)的最小值为eq \f(9,2).
[答案] C
12．若xy是正数，则eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2y)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y＋\f(1,2x)))2的最小值是( )
A．3 B.eq \f(7,2) C．4 D.eq \f(9,2)
[解析] eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2y)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y＋\f(1,2x)))2
＝x2＋y2＋eq \f(1,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x2)＋\f(1,y2)))＋eq \f(x,y)＋eq \f(y,x)
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋\f(1,4x2)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y2＋\f(1,4y2)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,y)＋\f(y,x)))
≥1＋1＋2＝4.
当且仅当x＝y＝eq \f(\r(2),2)或x＝y＝－eq \f(\r(2),2)时取等号．
[答案] C
13．若对任意x>0，eq \f(x,x2＋3x＋1)≤a恒成立，则a的取值范围是________．
[解析] 因为x>0，所以x＋eq \f(1,x)≥2，
当且仅当x＝1时取等号，
所以有eq \f(x,x2＋3x＋1)＝eq \f(1,x＋\f(1,x)＋3)≤eq \f(1,2＋3)＝eq \f(1,5)，
即eq \f(x,x2＋3x＋1)的最大值为eq \f(1,5)，故a≥eq \f(1,5).
[答案] eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5)，＋∞))
14．设x>－1，则函数y＝eq \f(x＋5x＋2,x＋1)的最小值是________．
[解析] ∵x>－1，∴x＋1>0，设x＋1＝t>0，则x＝t－1，
于是有y＝eq \f(t＋4t＋1,t)＝eq \f(t2＋5t＋4,t)
＝t＋eq \f(4,t)＋5≥2eq \r(t·\f(4,t))＋5＝9，
当且仅当t＝eq \f(4,t)，即t＝2时取等号，此时x＝1，
∴当x＝1时，函数y＝eq \f(x＋5x＋2,x＋1)取得最小值9.
[答案] 9
15．阳光蔬菜生产基地计划建造一个室内面积为800 m2的矩形蔬菜温室．在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1 m宽的通道，沿前侧内墙保留3 m宽的空地，当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？
[解] 设矩形温室的一边长为x m，则另一边长为eq \f(800,x) m(2
＝808－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1600,x)＋4x))≤808－2eq \r(\f(1600,x)·4x)＝648，
当且仅当eq \f(1600,x)＝4x，即x＝20时，等号成立．
即当矩形温室的一边长为20 m，另一边长为40 m时种植面积最大，最大种植面积是648 m2.
1．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．
2．能够运用基本不等式解决生活中的应用问题．
基本不等式与最值
已知x，y都是正数，
(1)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2eq \r(P)；
(2)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值eq \f(1,4)S2.
温馨提示：从上面可以看出，利用基本不等式求最值时，必须有：(1)x、y>0，(2)和(积)为定值，(3)存在取等号的条件．
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若a>0，b>0，且a＋b＝16，则ab≤64.( )
(2)若ab＝2，则a＋b的最小值为2eq \r(2).( )
(3)当x>1时，函数y＝x＋eq \f(1,x－1)≥2eq \r(\f(x,x－1))，所以函数y的最小值是2eq \r(\f(x,x－1)).( )
(4)若x∈R，则x2＋2＋eq \f(1,x2＋2)≥2.( )
[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)×
题型一 利用基本不等式求最值
【典例1】 (1)若x>0，求y＝4x＋eq \f(9,x)的最小值；
(2)设0
(3)已知x>2，求x＋eq \f(4,x－2)的最小值；
(4)已知x>0，y>0，且eq \f(1,x)＋eq \f(9,y)＝1，求x＋y的最小值．
[思路导引] 利用基本不等式求最值，当积或和不是定值时，通过变形使其和或积为定值，再利用基本不等式求解．
[解] (1)∵x>0，
∴由基本不等式得
y＝4x＋eq \f(9,x)≥2 eq \r(4x·\f(9,x))＝2eq \r(36)＝12，
当且仅当4x＝eq \f(9,x)，即x＝eq \f(3,2)时，y＝4x＋eq \f(9,x)取最小值12.
(2)∵0
∴y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]
≤2eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(2x＋3－2x,2)))2＝eq \f(9,2).
当且仅当2x＝3－2x，即x＝eq \f(3,4)时取“＝”．
∴y的最大值为eq \f(9,2).
(3)∵x>2，∴x－2>0，
∴x＋eq \f(4,x－2)＝(x－2)＋eq \f(4,x－2)＋2
≥2 eq \r(x－2·\f(4,x－2))＋2＝6.
当且仅当x－2＝eq \f(4,x－2)，
即x＝4时，x＋eq \f(4,x－2)取最小值6.
(4)∵x>0，y>0，eq \f(1,x)＋eq \f(9,y)＝1，
∴x＋y＝(x＋y)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋\f(9,y)))＝10＋eq \f(y,x)＋eq \f(9x,y)
≥10＋2eq \r(9)＝16.
当且仅当eq \f(y,x)＝eq \f(9x,y)且eq \f(1,x)＋eq \f(9,y)＝1时等号成立，
即x＝4，y＝12时等号成立．
∴当x＝4，y＝12时，x＋y有最小值16.
[变式] (1)本例(3)中，把“x>2”改为“x<2”，则x＋eq \f(4,x－2)的最值又如何？
(2)本例(3)中，条件不变，改为求eq \f(x2－2x＋4,x－2)的最小值．
[解] (1)∵x<2，∴2－x>0，
∴x＋eq \f(4,x－2)＝x－2＋eq \f(4,x－2)＋2＝－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2－x＋\f(4,2－x)))＋2≤－2 eq \r(2－x·\f(4,2－x))＋2＝－2.
当且仅当2－x＝eq \f(4,2－x)，即x＝0时，
x＋eq \f(4,x－2)取最大值－2.
(2)eq \f(x2－2x＋4,x－2)＝eq \f(x－22＋2x－2＋4,x－2)
＝x－2＋eq \f(4,x－2)＋2≥2 eq \r(x－2·\f(4,x－2))＋2＝6
当且仅当x－2＝eq \f(4,x－2)，即x＝4时，原式有最小值6.
(1)若是求和式的最小值，通常化(或利用)积为定值；若是求积的最大值，通常化(或利用)和为定值，其解答技巧是恰当变形、合理拆分项或配凑因式．
(2)若多次使用基本不等式，等号成立的条件应相同．
[针对训练]
1．已知x，y>0，且满足eq \f(x,3)＋eq \f(y,4)＝1，则xy的最大值为________．
[解析] ∵x，y>0，
∴eq \f(x,3)＋eq \f(y,4)＝1≥2 eq \r(\f(xy,12))，
得xy≤3，当且仅当eq \f(x,3)＝eq \f(y,4)即x＝eq \f(3,2)，y＝2时，取“＝”号，
∴xy的最大值为3.
[答案] 3
2．已知x，y>0，且x＋y＝4，则eq \f(1,x)＋eq \f(3,y)的最小值为________．
[解析] ∵x，y>0，
∴(x＋y)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋\f(3,y)))＝4＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y,x)＋\f(3x,y)))≥4＋2eq \r(3)，
当且仅当eq \f(y,x)＝eq \f(3x,y)，
即x＝2(eq \r(3)－1)，y＝2(3－eq \r(3))时取“＝”号，
又x＋y＝4，
∴eq \f(1,x)＋eq \f(3,y)≥1＋eq \f(\r(3),2)，
故eq \f(1,x)＋eq \f(3,y)的最小值为1＋eq \f(\r(3),2).
[答案] 1＋eq \f(\r(3),2)
3．若x<3，则实数f(x)＝eq \f(4,x－3)＋x的最大值为________．
[解析] ∵x<3，∴x－3<0，
∴f(x)＝eq \f(4,x－3)＋x＝eq \f(4,x－3)＋(x－3)＋3
＝－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(4,3－x)＋3－x))＋3
≤－2 eq \r(\f(4,3－x)·3－x)＋3＝－1，
当且仅当eq \f(4,3－x)＝3－x，即x＝1时取“＝”号．
∴f(x)的最大值为－1.
[答案] －1
题型二 利用基本不等式解决实际问题
【典例2】 如图，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．
(1)现有可围 36 m长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？
(2)若使每间虎笼面积为24 m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？
[思路导引] 设每间虎笼长x m，宽y m，则问题是在4x＋6y＝36的前提下求xy的最大值．
[解] (1)设每间虎笼长x m，宽为y m，则由条件知4x＋6y＝36，即2x＋3y＝18.
设每间虎笼面积为S，则S＝xy.
解法一：由于2x＋3y≥2eq \r(2x·3y)＝2eq \r(6xy)，
∴2eq \r(6xy)≤18，得xy≤eq \f(27,2)，
即S≤eq \f(27,2)，当且仅当2x＝3y时，等号成立．
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋3y＝18，,2x＝3y，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝4.5，,y＝3.))
故每间虎笼长为4.5 m，宽为3 m时，可使面积最大．
解法二：∵2x＋3y＝18，
∴S＝xy＝eq \f(1,6)·(2x)·(3y)≤eq \f(1,6)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2x＋3y,2)))2＝eq \f(81,6)＝eq \f(27,2).(以下同解法一)
(2)由条件知S＝xy＝24.
设钢筋网总长为l，则l＝4x＋6y.
∵2x＋3y≥2eq \r(2x·3y)＝2eq \r(6xy)＝24，
∴l＝4x＋6y＝2(2x＋3y)≥48，当且仅当2x＝3y时，等号成立．
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＝3y，,xy＝24，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝6，,y＝4.))
故每间虎笼长6 m，宽4 m时，可使钢筋网总长最小．
解决实际问题时，先弄清题意(审题)，建立数学模型(列式)，再用所掌握的数学知识解决问题(求解)，最后要回应题意下结论(作答)．
[针对训练]
4．某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层，每层2000 m2的楼房．经测算，如果将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x(单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？
(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝eq \f(购地总费用,建筑总面积))
[解] 设将楼房建为x层，则每平方米的平均购地费用为eq \f(2160×104,2000 x)＝eq \f(10800,x).
于是每平方米的平均综合费用y＝560＋48x＋eq \f(10800,x)＝560＋48eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(225,x)))(x≥10)，
当x＋eq \f(225,x)取最小时，y有最小值．
∵x>0，∴x＋eq \f(225,x)≥2 eq \r(x·\f(225,x))＝30，
当且仅当x＝eq \f(225,x)，即x＝15时，上式等号成立．
∴当x＝15时，y有最小值2000元．
因此该楼房建为15层时，每平方米的平均综合费用最小．
课堂归纳小结
1．利用基本不等式求最大值或最小值时应注意：
(1)x，y一定要都是正数；
(2)求积xy最大值时，应看和x＋y是否为定值；求和x＋y最小值时，应看积xy是否为定值；
(3)等号是否能够成立．
以上三点可简记为“一正、二定、三相等”.
2.利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创建应用．
3．求解应用题的方法与步骤
(1)审题；(2)建模(列式)；(3)解模；(4)作答.
1．已知y＝x＋eq \f(1,x)－2(x>0)，则y有( )
A．最大值为0 B．最小值为0
C．最小值为－2 D．最小值为2
[答案] B
2．已知0
A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,2)
C.eq \f(1,4) D.eq \f(2,3)
[解析] ∵0
[答案] B
3．已知p，q∈R，pq＝100，则p2＋q2的最小值是________．
[答案] 200
4．已知函数f(x)＝4x＋eq \f(a,x)(x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，则a＝________.
[解析] 由基本不等式，得4x＋eq \f(a,x)≥2eq \r(4x·\f(a,x))＝4eq \r(a)，当且仅当4x＝eq \f(a,x)，即x＝eq \f(\r(a),2)时，等号成立，即eq \f(\r(a),2)＝3，a＝36.
[答案] 36
5．某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y＝eq \f(1,2)x2－200x＋80000，该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
[解] 由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为eq \f(y,x)＝eq \f(1,2)x＋eq \f(80000,x)－200≥2eq \r(\f(1,2)x·\f(80000,x))－200＝200，
当且仅当eq \f(1,2)x＝eq \f(80000,x)，即x＝400时等号成立，
故该单位月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元．
课后作业(十二)
复习巩固
一、选择题
1．当x>0时，y＝eq \f(12,x)＋4x的最小值为( )
A．4 B．8
C．8eq \r(3) D．16
[解析] ∵x>0，∴eq \f(12,x)>0,4x>0.∴y＝eq \f(12,x)＋4x≥2eq \r(\f(12,x)·4x)＝8eq \r(3).当且仅当eq \f(12,x)＝4x，即x＝eq \r(3)时取最小值8eq \r(3)，∴当x>0时，y的最小值为8eq \r(3).
[答案] C
2．设x，y为正数，则(x＋y)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋\f(4,y)))的最小值为( )
A．6 B．9
C．12 D．15
[解析] (x＋y)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋\f(4,y)))＝x·eq \f(1,x)＋eq \f(4x,y)＋eq \f(y,x)＋y·eq \f(4,y)＝1＋4＋eq \f(4x,y)＋eq \f(y,x)≥5＋2 eq \r(\f(4x,y)·\f(y,x))＝9.
[答案] B
3．若x>0，y>0，且eq \f(2,x)＋eq \f(8,y)＝1，则xy有( )
A．最大值64 B．最小值eq \f(1,64)
C．最小值eq \f(1,2) D．最小值64
[解析] 由题意xy＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,x)＋\f(8,y)))xy＝2y＋8x≥2eq \r(2y·8x)＝8eq \r(xy)，∴eq \r(xy)≥8，即xy有最小值64，等号成立的条件是x＝4，y＝16.
[答案] D
4．已知p>0，q>0，p＋q＝1，且x＝p＋eq \f(1,p)，y＝q＋eq \f(1,q)，则x＋y的最小值为( )
A．6 B．5
C．4 D．3
[解析] 由p＋q＝1，
∴x＋y＝p＋eq \f(1,p)＋q＋eq \f(1,q)＝1＋eq \f(1,p)＋eq \f(1,q)＝1＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,p)＋\f(1,q)))(p＋q)
＝1＋2＋eq \f(q,p)＋eq \f(p,q)≥3＋2eq \r(\f(q,p)·\f(p,q))＝5，
当且仅当eq \f(q,p)＝eq \f(p,q)即p＝q＝eq \f(1,2)时取等号，
所以B选项是正确的．
[答案] B
5．若a<1，则a＋eq \f(1,a－1)有最________(填“大”或“小”)值，为________．
[解析] ∵a<1，
∴a－1<0，
∴－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－1＋\f(1,a－1)))＝(1－a)＋eq \f(1,1－a)≥2，
∴a－1＋eq \f(1,a－1)≤－2，
∴a＋eq \f(1,a－1)≤－1.
当且仅当a＝0时取等号．
[答案] 大 －1
二、填空题
6．已知0
[解析] 由x(3－3x)＝eq \f(1,3)×3x(3－3x)≤eq \f(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3x＋3－3x,2)))2＝eq \f(3,4)，当且仅当3x＝3－3x，即x＝eq \f(1,2)时等号成立．
[答案] eq \f(1,2)
7．已知正数x，y满足x＋2y＝1，则eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)的最小值为________．
[解析] ∵x，y为正数，且x＋2y＝1，
∴eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)＝(x＋2y)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋\f(1,y)))＝3＋eq \f(2y,x)＋eq \f(x,y)≥3＋2eq \r(2)，
当且仅当eq \f(2y,x)＝eq \f(x,y)，即当x＝eq \r(2)－1，y＝1－eq \f(\r(2),2)时等号成立．
∴eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)的最小值为3＋2eq \r(2).
[答案] 3＋2eq \r(2)
8．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝________吨．
[解析] 每年购买次数为eq \f(400,x)次．
∴总费用＝eq \f(400,x)·4＋4x≥2eq \r(6400)＝160，
当且仅当eq \f(1600,x)＝4x，即x＝20时等号成立．
[答案] 20
三、解答题
9．已知a，b，x，y>0，x，y为变量，a，b为常数，且a＋b＝10，eq \f(a,x)＋eq \f(b,y)＝1，x＋y的最小值为18，求a，b.
[解] x＋y＝(x＋y)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,x)＋\f(b,y)))＝a＋b＋eq \f(bx,y)＋eq \f(ay,x)≥a＋b＋2eq \r(ab)＝(eq \r(a)＋eq \r(b))2，
当且仅当eq \f(bx,y)＝eq \f(ay,x)时取等号．
故(x＋y)min＝(eq \r(a)＋eq \r(b))2＝18，
即a＋b＋2eq \r(ab)＝18，①
又a＋b＝10，②
由①②可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2，b＝8))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝8，b＝2.))
10．(1)已知x<3，求f(x)＝eq \f(4,x－3)＋x的最大值；
(2)设x>0，y>0，且2x＋8y＝xy，求x＋y的最小值．
[解] (1)∵x<3，∴x－3<0.
∴f(x)＝eq \f(4,x－3)＋x＝eq \f(4,x－3)＋x－3＋3
＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3－x)＋3－x))＋3
≤－2 eq \r(\f(4,3－x)·3－x)＋3＝－1，
当且仅当eq \f(4,3－x)＝3－x，即x＝1时取等号，
∴f(x)的最大值为－1.
(2)解法一：由2x＋8y－xy＝0，
得y(x－8)＝2x，
∵x>0，y>0，∴x－8>0，y＝eq \f(2x,x－8)，
∴x＋y＝x＋eq \f(2x,x－8)＝x＋eq \f(2x－16＋16,x－8)
＝(x－8)＋eq \f(16,x－8)＋10
≥2 eq \r(x－8×\f(16,x－8))＋10
＝18.
当且仅当x－8＝eq \f(16,x－8)，即x＝12时，等号成立．
∴x＋y的最小值是18.
解法二：由2x＋8y－xy＝0及x>0，y>0，得eq \f(8,x)＋eq \f(2,y)＝1，
∴x＋y＝(x＋y)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,x)＋\f(2,y)))
＝eq \f(8y,x)＋eq \f(2x,y)＋10≥2 eq \r(\f(8y,x)·\f(2x,y))＋10
＝18.
当且仅当eq \f(8y,x)＝eq \f(2x,y)，即x＝2y＝12时等号成立，
∴x＋y的最小值是18.
综合运用
11．已知a>0，b>0，a＋b＝2，则y＝eq \f(1,a)＋eq \f(4,b)的最小值是( )
A.eq \f(7,2) B．4 C.eq \f(9,2) D．5
[解析] ∵a＋b＝2，∴eq \f(a＋b,2)＝1，
∴eq \f(1,a)＋eq \f(4,b)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＋\f(4,b)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))＝eq \f(5,2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2a,b)＋\f(b,2a)))≥eq \f(5,2)＋2eq \r(\f(2a,b)·\f(b,2a))＝eq \f(9,2)(当且仅当eq \f(2a,b)＝eq \f(b,2a)，即b＝2a时，“＝”成立)，故y＝eq \f(1,a)＋eq \f(4,b)的最小值为eq \f(9,2).
[答案] C
12．若xy是正数，则eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2y)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y＋\f(1,2x)))2的最小值是( )
A．3 B.eq \f(7,2) C．4 D.eq \f(9,2)
[解析] eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2y)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y＋\f(1,2x)))2
＝x2＋y2＋eq \f(1,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x2)＋\f(1,y2)))＋eq \f(x,y)＋eq \f(y,x)
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋\f(1,4x2)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y2＋\f(1,4y2)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,y)＋\f(y,x)))
≥1＋1＋2＝4.
当且仅当x＝y＝eq \f(\r(2),2)或x＝y＝－eq \f(\r(2),2)时取等号．
[答案] C
13．若对任意x>0，eq \f(x,x2＋3x＋1)≤a恒成立，则a的取值范围是________．
[解析] 因为x>0，所以x＋eq \f(1,x)≥2，
当且仅当x＝1时取等号，
所以有eq \f(x,x2＋3x＋1)＝eq \f(1,x＋\f(1,x)＋3)≤eq \f(1,2＋3)＝eq \f(1,5)，
即eq \f(x,x2＋3x＋1)的最大值为eq \f(1,5)，故a≥eq \f(1,5).
[答案] eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5)，＋∞))
14．设x>－1，则函数y＝eq \f(x＋5x＋2,x＋1)的最小值是________．
[解析] ∵x>－1，∴x＋1>0，设x＋1＝t>0，则x＝t－1，
于是有y＝eq \f(t＋4t＋1,t)＝eq \f(t2＋5t＋4,t)
＝t＋eq \f(4,t)＋5≥2eq \r(t·\f(4,t))＋5＝9，
当且仅当t＝eq \f(4,t)，即t＝2时取等号，此时x＝1，
∴当x＝1时，函数y＝eq \f(x＋5x＋2,x＋1)取得最小值9.
[答案] 9
15．阳光蔬菜生产基地计划建造一个室内面积为800 m2的矩形蔬菜温室．在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1 m宽的通道，沿前侧内墙保留3 m宽的空地，当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？
[解] 设矩形温室的一边长为x m，则另一边长为eq \f(800,x) m(2
＝808－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1600,x)＋4x))≤808－2eq \r(\f(1600,x)·4x)＝648，
当且仅当eq \f(1600,x)＝4x，即x＝20时，等号成立．
即当矩形温室的一边长为20 m，另一边长为40 m时种植面积最大，最大种植面积是648 m2.
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