北师大版 (2019)必修 第一册1.2 集合的基本关系2课时习题

这是一份北师大版 (2019)必修 第一册1.2 集合的基本关系2课时习题，共9页。试卷主要包含了2 集合的基本关系等内容，欢迎下载使用。

§1 集合


1.2 集合的基本关系


课时1 子集与真子集


知识点1 子集的概念


1.☉%￥#499￥￥3%☉(2020·宁冈中学月考)已知U=R,则能正确表示集合M={-1,0,1}和N={x|x2+x=0}关系的Venn图是( )。





图1-1-2-1-1


答案：B


解析：∵N={-1,0}⊆M={-1,0,1},故选B。


2.☉%#@0￥59*7%☉(2020·江西吉水中学周练)已知集合M={x|x是三角形},N={x|x是等腰三角形},P={x|x是等腰直角三角形},Q={x|x是等边三角形},则( )。


A.M⊆NB.P⊆N


C.Q⊆PD.M⊆Q


答案：B


解析：对于A项:N⊆M;对于C项:Q⊈P;对于D项:Q⊆M。


3.☉%#3￥32@￥0%☉(多选)(2020·石城中学期中测试)已知集合P={x|x是平行四边形},Q={x|x是矩形},R={x|x是正方形},S={x|x是菱形},则( )。


A.Q⊆PB.R⊆Q


C.S⊆RD.P⊆S


答案：AB


解析：∵R⊆Q⊆P,R⊆S⊆P,故选AB。


4.☉%5@57#7￥@%☉(2020·金溪第一中学月考)对于集合A,B,“A⊆B”不成立的含义是( )。


A.B是A的子集


B.A中的元素都不是B的元素


C.A中至少有一个元素不属于B


D.B中至少有一个元素不属于A


答案：C


解析：若A,B两个集合相同,则A错;B选项为C选项的特例,故C对B错;D项举反例可验证知错误,如B={1,2,3},A={1,2}。


5.☉%9￥8@0￥*3%☉(2020·九江濂溪第一中学周练)已知集合M={x|y2=2x,y∈R}和集合P={(x,y)|y2=2x,y∈R},则两个集合间的关系是( )。


A.M⊆PB.P⊆M


C.M=PD.M,P互不包含


答案：D


解析： 由于集合M为数集,集合P为点集,因此M与P互不包含,故选D。


知识点2 真子集的概念


6.☉%7￥@5#@28%☉(2020·陕西高中月考)若集合A={1,3,x},B={x2,1},且B⫋A,则满足条件的实数x的个数为( )。


A.1B.2C.3D.4


答案：C


解析：因为B⫋A,所以x2=3或x2=x。当x2=3时,x=±3,此时,A={1,3,3}或{1,3,-3},B={3,1},符合题意。当x2=x时,x=0或x=1(舍去),此时,A={0,1,3},B={0,1},符合题意。故x=0或x=±3。


7.☉%#5#77#6￥%☉(2020·西安铁一中测试)已知集合A={x,1},B={y,1,2,4},且A是B的真子集。若实数y在集合{0,1,2,3,4}中,则不同的集合{x,y}共有( )。


A.4个B.5个C.6个D.7个


答案：A


解析：分析知x≠y。由A是B的真子集,得x=2或x=4。由y在集合{0,1,2,3,4}中及集合中元素的互异性,得y=0或y=3,故集合{x,y}共有{2,0},{2,3},{4,0},{4,3},共4个,故选A。


8.☉%￥12￥0#5@%☉(2020·西北工业大学附属中学单元测试)已知集合A={(x,y)|x+y=2,x,y∈N},试写出A的所有子集及真子集。


答案：解:因为A={(x,y)|x+y=2,x,y∈N},


所以A={(0,2),(1,1),(2,0)}。


所以A的子集为⌀,{(0,2)},{(1,1)},{(2,0)},{(0,2),(1,1)},{(0,2),(2,0)},{(1,1),(2,0)},{(0,2),(1,1),(2,0)}。A的真子集有⌀,{(0,2)},{(1,1)},{(2,0)},{(0,2),(1,1)},{(0,2),(2,0)},{(1,1),(2,0)}。


9.☉%82#*@6@2%☉(2020·济南一中测试)已知A={x∈R|x<-2或x>3},B={x∈R|a≤x≤2a-1},若B⊆A,求实数a的取值范围。


答案：解:因为B⊆A,所以B的可能情况有B≠⌀和B=⌀两种。①当B≠⌀时,因为B⊆A,所以a>3,a≤2a-1或2a-1<-2,a≤2a-1成立,解得a>3。②当B=⌀时,由a>2a-1,得a<1。综上所述,实数a的取值范围是{a|a<1或a>3}。


解析：该题极容易忽视B=⌀的情况讨论,而得到错误结果{a|a>3},在B⊆A中B可能为空集,必须牢记。


题型1 集合之间关系的判断


10.☉%2#@#437#%☉(2020·上饶第一中学周练)已知集合A={x|x=3k,k∈Z},B={x|x=6k,k∈Z},则A与B之间的关系是( )。


A.A⊆BB.A=B


C.B∈AD.B⫋A


答案：D


解析：对于x=3k(k∈Z),当k=2m(m∈Z)时,x=6m(m∈Z);当k=2m-1(m∈Z)时,x=6m-3(m∈Z)。由此可知B⫋A。


11.☉%#1*@4#64%☉(2020·广丰一中单元测试)已知集合M={y|y=x2-2x-1,x∈R},N={x|-2≤x≤4},则集合M与N之间的关系是 。


答案：N⫋M


解析：因为y=x2-2x-1=(x-1)2-2≥-2,所以M={y|y≥-2}。所以N⫋M。


题型2 利用集合间的关系求参数


12.☉%52@4###4%☉(2020·海口中学模拟)若集合A={x|1a},满足A⫋B,则实数a的取值范围是( )。


A.{a|a≥2}B.{a|a≤1}


C.{a|a≥1}D.{a|a≤2}


答案：B


解析：如图所示,因为A⫋B,所以a≤1。





13.☉%0*7*@3*9%☉(2020·河北衡水枣强中学测试)已知集合A={1,3,a},B={1,a2-a+1},且B⊆A,则a= 。


答案：-1或2


解析：因为B⊆A,所以a2-a+1=3或a2-a+1=a。①由a2-a+1=3得a2-a-2=0,解得a=-1或a=2。当a=-1时,A={1,3,-1},B={1,3},满足B⊆A;当a=2时,A={1,3,2},B={1,3},满足B⊆A。②由a2-a+1=a得a2-2a+1=0,解得a=1。当a=1时,A={1,3,1},不满足集合元素的互异性。综上,若B⊆A,则a=-1或a=2,故答案为-1或2。


14.☉%@0*91#7#%☉(2020·南郊中学调考)已知M={x|x2-2x-3=0},N={x|x2+ax+1=0,a∈R},且N⫋M,则a的取值范围是 。


答案：-2

解析： M={x|x2-2x-3=0}={3,-1}。


(1)当N=⌀时,N⫋M成立,所以Δ=a2-4<0,所以-2

(2)当N≠⌀时,因为N⫋M,所以3∈N或-1∈N。


当3∈N时,32+3a+1=0,即a=-103,


此时方程为x2-103x+1=0。


解得N=3,13,不满足N⫋M;


当-1∈N时,(-1)2-a+1=0,即a=2,


此时方程为x2+2x+1=0,解得N={-1},满足N⫋M。


所以a的取值范围是-2

15.☉%4@#*8*02%☉(2020·太和一中月考)已知集合A={x|1≤x≤2},B={x|1≤x≤a,a≥1}。


(1)若A⫋B,求a的取值范围;


答案：解:(1)若A⫋B,由图(1)可知,a>2。





(1)


(2)若B⫋A,求a的取值范围。


答案：若B⫋A,由图(2)可知,1≤a<2。





(2)


题型3 确定集合的子集和子集的个数


16.☉%*#@#5882%☉(2020·临川区第十中学月考)集合A={x∈N|0

A.3B.4C.7D.8


答案：C


解析：因为集合A={x∈N|0

17.☉%*@52￥75#%☉(2020·济南一中月考)定义集合P-Q={x|x=p-q,p∈P,q∈Q},若集合P={4,5,6},Q={1,2,3},则集合P-Q的所有真子集的个数为( )。


A.32B.31C.16D.15


答案：B


解析：由题中所给定义,可知P-Q={1,2,3,4,5},所以P-Q的所有真子集的个数为25-1=31。故选B。


18.☉%*1￥40*5#%☉(2020·江西铜鼓中学周练)已知集合A⫋{1,2,3},且A中至少含有一个奇数,则这样的集合A有 个。


答案：5


解析：因为A⫋{1,2,3},所以A中至多含有2个元素。因为A中至少有一个奇数,所以A可能为{1},{3},{1,2},{1,3},{2,3},共5个。


19.☉%***44@26%☉(2020·西安交大附中期中测试)定义集合A*B={x|x∈A且x∉B},若A={1,2,3,4,5},B={2,4,5},则A*B的子集个数是 。


答案：4


解析：在A*B中,x∈A,所以x可以取1,2,3,4,5。


又x∉B,所以x又不能取2,4,5。


因此x可以取的值只有1和3,所以A*B={1,3},其子集个数为4。


20.☉%*@4￥04*8%☉(2020·陕师大附中周练)设S⊆{1,2,3,4,5,6}。令S为非空集合,且满足条件“若a∈S,则6-a∈S”,则集合S共有 个。


答案：7


解析：1和5必须同属于或同不属于S。同理,2和4也一样,6∉S,3可以属于S,也可以不属于S。故S可由3组数组合而成,又S为非空集合,故集合S共有23-1=7个。


题型4 空集的特殊性及其应用


21.☉%903**@*4%☉(2020·和县一中周练)下列四个集合中,表示空集的是( )。


A.{0}


B.{(x,y)|x2+y2=0,x,y∈R}


C.{x||x|=5,x∈Z,x∉N}


D.{x|2x2+3x-2=0,x∈N}


答案：D


解析：对于2x2+3x-2=0,Δ=32-4×2×(-2)=25,x=-3±54,x=-2或x=12,均不满足x∈N。


22.☉%￥5#￥*484%☉(多选)(2020·六安一中调考)下列说法中错误的是( )。


A.空集没有子集


B.任何集合至少有两个子集


C.空集是任何集合的真子集


D.若⌀⫋A,则A≠⌀


答案：ABC


解析： 空集的子集是空集,空集是任何非空集合的真子集,故只有D正确。


23.☉%8*6￥7*#9%☉(多选)(2020·浙江嘉兴一中月考)已知集合A={-1,1},B={x|ax+1=0},若B⊆A,则实数a的可能取值为( )。


A.-1B.1


C.0D.任意实数


答案：ABC


解析：因为B⊆A,所以当B≠⌀,即a≠0时,B=x|x=-1a,因此有-1a∈A,所以a=±1;


当B=⌀,即a=0时满足条件。


综上可得实数a的所有可能取值的集合是{-1,0,1}。


24.☉%￥42￥7#￥1%☉(2020·银川一中测试)已知集合:(1){0};(2){⌀};(3){x|3m

答案：(4)(5)


解析：{0},{⌀}均为单元素集,当m<0时,{x|3m

25.☉%3￥#5￥6￥2%☉(2020·河北石家庄一中期中测试)如下四个结论:①⌀⊆⌀;②0∈⌀;③{0}⫌⌀;④{0}=⌀。其中正确结论的序号为 。


答案：①③


解析：空集是自身的子集,①对;0不是空集里的元素,②错;空集是任何非空集合的真子集,③对;{0}是含一个元素0的集合,不是空集,④错。故正确结论的序号为①③。


26.☉%￥3@#43#9%☉(2020·内蒙古赤峰二中月考)设集合A={-1,2},B={x|x2-2ax+b=0},若B≠⌀,且B⫋A,求实数a,b的值。


答案：解:因为B≠⌀,且B⫋A,A={-1,2},所以B={-1}或B={2}。又B={x|x2-2ax+b=0},所以当B={-1}时,有4a2-4b=0,1+2a+b=0,解得a=-1,b=1。当B={2}时,有4a2-4b=0,4-4a+b=0,解得a=2,b=4。综上可知,a=-1,b=1或a=2,b=4。


27.☉%@87@#1￥6%☉(2020·四川绵阳南山中学月考)已知集合M={x|x2+2x-a=0}。


(1)若⌀⫋M,求实数a的取值范围;


答案：解:由题意得方程x2+2x-a=0有实数解,所以Δ=22-4×(-a)≥0,得a≥-1,所以a的取值范围为{a|a≥-1}。


(2)若N={x|x2+x=0}且M⊆N,求实数a的取值范围。


答案：因为N={x|x2+x=0}={0,-1},且M⊆N,


所以当M=⌀时,Δ=22-4×(-a)<0,得a<-1。


当M≠⌀时,若Δ=0,则a=-1,此时M={-1},满足M⊆N,符合题意;若Δ>0,则a>-1,此时M中有两个元素,又M⊆N,所以M=N,所以-1+0=-2,(-1)×0=-a,无解。综上,a的取值范围为{a|a≤-1}。


28.☉%@0#@388*%☉(2020·东北育才中学单元练习)若A={x|x2-2mx+m2-m+2=0},B={x|x2-3x+2=0},且A⊆B,求实数m的取值范围。


答案：解:因为B={x|x2-3x+2=0}={1,2},且A⊆B,所以集合A可分三种情况。


(1)若A=⌀,此时Δ=4m2-4(m2-m+2)=4m-8<0,所以m<2。


(2)若A⫋B,且A≠⌀,则A={1}或{2},Δ=4m-8=0,m=2。此时,x=--2m2=2符合题意。


(3)若A=B,此时A={1,2},即1,2是关于x的方程x2-2mx+m2-m+2=0的两个根。由根与系数的关系,得2m=3,且m2-m+2=2。此时m不存在。


综上所述,实数m的取值范围是{m|m≤2}。