高中数学人教B版 (2019)必修 第一册1.2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定获奖教学设计

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1．命题的否定


(1)一般地，对命题p加以否定，就得到一个新的命题，记作“p ”，读作“非p”或“p的否定”．


(2)如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定就应该是假命题；反之亦然．


常见的命题的否定形式有：


2.含有一个量词的命题的否定


一般地，对于含有一个量词的命题的否定，有下面的结论；


全称量词命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定p：∃x∈M，p(x)；


存在量词命题p：∃x∈M，p(x)，它的否定p：∀x∈M，p(x)．


全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题．





1．有以下命题：①没有男生爱踢足球；②所有男生都不爱踢足球；③至少有一个男生不爱踢足球；④所有女生都爱踢足球．其中是命题“所有男生都爱踢足球”的否定的是( )


A．① B．② C．③ D．④


C [所有男生都爱踢足球的否定为“不是所有男生都爱踢足球”，即“至少有一个男生不爱踢足球”．]


2．命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是( )


A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2


B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2


C．∃x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2


D．∃x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2


D [根据含有量词的命题的否定的概念可知，选D.]


3．命题“∃x∈R，x2＋2x＋2≤0”的否定是 ( )


A．∀x∈R，x2＋2x＋2＞0 B．∀x∈R，x2＋2x＋2≤0


C．∃x∈R，x2＋2x＋2＞0 D．∃x∈R，x2＋2x＋2≥0


A [由存在量词命题和全称量词命题的关系可知“∃x∈R，x2＋2x＋2≤0”的否定为∀x∈R，x2＋2x＋2＞0.]


4．命题“任意x∈R，若y＞0，则x2＋y＞0”的否定是________．


存在x∈R，若y＞0，则x2＋y≤0 [已知命题是一个全称量词命题，其否定为存在量词命题，先将“任意”换成“存在”， 再否定结论，即命题的否定是：存在x∈R，若y＞0, 则x2＋y≤0.]





【例1】 写出下列命题的否定，并判断其真假．


(1)p：y＝sin x是周期函数；


(2)p：实数的绝对值都大于0；


(3)p：菱形的对角线垂直平分；


(4)p：若xy＝0，则x＝0或y＝0.


[解] (1) p ：y＝sin x不是周期函数．假命题．


(2) p：实数的绝对值不都大于零．真命题．


(3) p：菱形的对角线不垂直或不平分．假命题．


(4) p：若xy＝0，则x≠0且y≠0. 假命题．





p是对命题p的全盘否定，其命题的真假与原命题相反．对一些词语的正确否定是写p的关键，如“都”的否定是“不都”，“至多两个”的反面是“至少三个”等．








1．写出下列命题的否定形式，并判断其真假．


(1)p：面积相等的三角形都是全等三角形；


(2)p：若m2＋n2＝0，则实数m，n全为零；


(3)p：实数a，b，c满足abc＝0，则a，b，c中至少有一个为0.


[解] (1) p：面积相等的三角形不都是全等三角形．真命题．


(2) p：若m2＋n2＝0，则实数m，n不全为零．假命题．


(3) p：实数a，b，c满足abc＝0，则a，b，c中都不为0.假命题．





【例2】 写出下列命题的否定，并判断其真假．


(1)p：任意n∈Z，则n∈Q；


(2)p：等圆的面积相等，周长相等；


(3)p：偶数的平方是正数．


[解] (1) p：存在n∈Z，使n∉Q，这是假命题．


(2) p：存在等圆，其面积不相等或周长不相等，这是假命题．


(3) p：存在偶数的平方不是正数，这是真命题．





1．写出全称量词命题的否定的关键是找出全称量词命题的全称量词和结论，把全称量词改为存在量词，结论变为否定的形式就得到命题的否定．


2．有些全称量词命题省略了量词，在这种情况下，千万不要将否定简单的写成“是”或“不是”．








2．写出下列全称量词命题的否定．


(1)p：所有能被3整除的整数都是奇数；


(2)p：对任意x∈Z，x2的个位数字不等于3；


(3)p：数列{1,2,3,4,5}中的每一项都是偶数；


(4)p：可以被5整除的整数，末位是0.


[解] (1) p：存在一个能被3整除的整数不是奇数．


(2) p：∃x∈Z，x2的个位数字等于3.


(3) p：数列{1,2,3,4,5}中至少有一项不是偶数．


(4) p：存在被5整除的整数，末位不是0.





【例3】 写出下列存在量词命题的否定．


(1)p：∃x∈R，x2＋2x＋2≤0；


(2)p：有的三角形是等边三角形；


(3)p：有一个素数含三个正因数．


[解] (1) p：∀x∈R，x2＋2x＋2>0.


(2) p：所有的三角形都不是等边三角形．


(3) p：每一个素数都不含三个正因数．





与全称量词命题的否定的写法类似，要写出存在量词命题的否定，先确定它的存在量词，再确定结论，然后把存在量词改写为全称量词，对结论作出否定就得到存在量词命题的否定.








3．写出下列命题的否定，并判断其真假．


(1)存在一个平行四边形，它的对角线互相垂直；


(2)存在一个三角形，它的内角和大于180°；


(3)存在偶函数为单调函数．


[解] (1)命题的否定：对于任意的平行四边形，它的对角线都不互相垂直，是假命题．


(2)命题的否定：对于任意的三角形，它的内角和小于或等于180°，是真命题．


(3)命题的否定：所有的偶函数都不是单调函数，是真命题．





【例4】 已知命题p：∃x∈R，x2＋2ax＋a≤0.若命题p是假命题，则实数a的取值范围是________．


(0,1) [法一：若命题p：∃x∈R，x2＋2ax＋a≤0是真命题，得Δ＝(2a)2－4a≥0，


即a(a－1)≥0, 若命题p是假命题，则a(a－1)<0，解得0

法二：依题意，命题綈p：∀x∈R，x2＋2ax＋a>0是真命题，得Δ＝(2a)2－4a<0，即a(a－1)<0，解得0




1．全称量词命题的常见题型是“恒成立”问题，全称量词命题为真时，意味着命题对应的集合中的每一个元素都具有某种性质，所以利用代入可以体现集合中相应元素的具体性质；也可以根据函数等数学知识来解决．


2．存在量词命题的常见题型是以适合某种条件的结论“存在” “不存在”“是否存在”等语句表述．解答这类问题，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后从肯定的假设出发，结合已知条件进行推理证明，若推出合理的结论，则存在性随之解决；若导致矛盾，则否定了假设．








4．命题“存在x∈R，使x2＋2x＋m≤0”是假命题，求得m的取值范围是(a，＋∞), 则实数a的值是( )


A．0 B．1 C．2 D．3


B [由题意知原命题的否定是真命题，即∀x∈R，都有x2＋2x＋m＞0是真命题．由Δ＝4－4m＜0，得m＞1，∴a＝1.]





1．p是对命题p的全盘否定，其命题的真假与原命题相反．对一些词语的正确否定是写p的关键，如“都”的否定是“不都”，“至多两个”的反面是“至少三个”等．


2．对含有一个量词的命题的否定要注意以下问题：


(1)确定命题类型，是全称量词命题还是存在量词命题．


(2)改变量词：把全称量词改为恰当的存在量词；把存在量词改为恰当的全称量词．


(3)否定结论：原命题中的“是”“有”“存在”“成立”等改为“不是”“没有”“不存在”“不成立”等．


(4)无量词的全称量词命题要先补回量词再否定．





1．已知a＜b，则下列结论中正确的是( )


A．∀c＜0，a＞b＋c B．∀c＜0，a＜b＋c


C．∃c＞0，a＞b＋c D．∃c＞0，a＜b＋c


D [A项，若a＝1，b＝2，c＝－1，满足a＜b，但a＞b＋c不成立；


B项，若a＝9.5，b＝10，c＝－1，a＜b＋c不成立；


C项，因为a＜b，c＞0，所以a＜b＋c恒成立，故C错误，


D项，∃c＞0，a＜b＋c成立，故选D.]


2．设命题p：∀x∈R，x2＋1＞0，则p为( )


A．∃x∈R，x2＋1＞0 B．∃x∈R，x2＋1≤0


C．∃x∈R，x2＋1＜0 D．∀x∈R，x2＋1≤0


B [命题p：∀x∈R，x2＋1＞0，是一个全称量词命题，


∴p：∃x∈R，x2＋1≤0.]


3．下列命题的否定为假命题的是( )


A．∃x∈R，x2＋2x＋2≤0


B．∀x∈R，x3＜1


C．所有能被3整除的整数都是奇数


D．某些梯形的对角线互相平分


D [对于选项A，因为x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1＞0，所以∃x∈R，x2＋2x＋2≤0是假命题，故其否定为真命题；


对于选项B，因为当x≥1时，x3≥1，所以∀x∈R，x3＜1是假命题，故其否定为真命题；


对于选项C，因为6能被3整除，但6是偶数，所以这是假命题，其否定为真命题；


对于选项D，任一个梯形的对角线都不互相平分，是真命题，因此其否定是假命题．]


4．“至多有2个人”的否定为________．


至少有3个人 [“至多有两个人”含义是有0人或1人或2人，故“至多有2个人”的否定为“至少有3个人”．]





学 习 目 标
核 心 素 养
1.能正确写出一个命题的否定，并判断其真假．


2．理解含有一个量词的命题的否定的意义．


3．会对含有一个量词的命题进行否定．(重点)


4．掌握全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题．(重点、难点)
1.通过对命题的否定的认识，提升数学抽象的数学素养．


2．通过对含有一个量词的命题的否定的理解，提升逻辑推理的数学素养.
原语句
是
都是
>
至少有一个
至多有一个
否定形式
不是
不都是
≤
一个也没有
至少有两个
命题的否定
全称量词命题的否定
存在量词命题的否定
全称量词命题与存在量词命题的应用