高中数学人教B版 (2019)必修 第一册1.2.3 充分条件、必要条件优秀第2课时2课时教案

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第一册1.2.3 充分条件、必要条件优秀第2课时2课时教案，共7页。







1．充要条件的概念


一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q.此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件．


2．充要条件的判断


(1)一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q.此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件．


概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为充要条件．


(1)若p⇒q，但qp，则称p是q的充分不必要条件．


(2)若q⇒p，但pq，则称p是q的必要不充分条件．


(3)若pq，且qp，则称p是q的既不充分也不必要条件．


思考：(1)若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题，这种说法对吗？


(2)“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？


提示：(1)正确．若p是q的充要条件，则p⇔q，即p等价于q.


(2)①p是q的充要条件说明p是条件，q是结论．


②p的充要条件是q说明q是条件，p是结论．





1．下列命题，条件p是结论q的充要条件的是( )


A．p：a＝0，q：ab＝0 B．p：a＝b，q：(a－b)2＝0


C．p：|a|＝1，q：a＝1 D．p：a＝b，q：|a|＝|b|


B [A.a＝0⇒ab＝0；若ab＝0可以推出a和b至少有一个为0，故A错误；


B．a＝b⇒(a－b)2＝0，故B正确；


C．若|a|＝1，可得a＝±1，|a|＝1，推不出a＝1，故C错误；


D．若|a|＝|b|，可得a＝±b，故D错误．故选B.]


2. 设x∈R，则x>2的一个必要不充分条件是( )


A．x>1 B．x<1


C．x>3 D．x<3


A [∵x>2⇒x>1，但x>1x>2，∴选A.]


3．“a＝0且b＝0”是“a2＋b2＝0，a，b是实数”的( )


A．充分不必要条件 B．必要不充分条件


C．充要条件 D．既不充分也不必要条件


C [a＝0且b＝0可以推出a2＋b2＝0，a2＋b2＝0可以推出a＝0且b＝0.]


4．有下列命题： ①a＞b＞0是a2＞b2的充要条件； ②a＞b＞0是eq \f(1,a)＜eq \f(1,b)的充要条件； ③a＞b＞0是a3＞b3的充要条件．其中错误的说法有________．(填序号)


①②③ [①由不等式的性质易得a＞b＞0⇒a2＞b2，反之则不成立，如a＝－2，b＝1.


②由不等式的性质易得a＞b＞0⇒eq \f(1,a)＜eq \f(1,b)，反之则不成立，如a＝－2，b＝1.


③由不等式的性质易得a＞b＞0⇒a3＞b3，反之则不成立，如a＝－2，b＝－3.]





【例1】 下列各题中，哪些p是q的充要条件？


(1)p：x>0，y>0，q：xy>0；


(2)p：a>b，q：a＋c>b＋c；


(3)p：x>5，q：x>10；


(4)p：a>b，q：a2>b2.


[解] 命题(1)中，p⇒q，但qp，故p不是q的充要条件；


命题(2)中，p⇒q，且q⇒p，即p⇔q，故p是q的充要条件；


命题(3)中，pq，但q⇒p，故p不是q的充要条件；


命题(4)中，pq，且qp，故p不是q的充要条件．





充要条件判断的两种方法


(1)要判断一个条件p是否是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即判断两个命题“若p，则q”为真且“若q，则p”为真．


(2)在判断的过程中也可以转化为集合的思想来判断，判断p与q的解集是相同的，判断前必须分清楚充分性和必要性，即搞清楚由哪些条件推证到哪些结论．


提醒：判断时一定要注意，分清充分性与必要性的判断方向．








1．在下列四个结论中，正确的有( )


①设x∈R，“x＞1”是“x＞2”的必要不充分条件；


②在△ABC中，“AB2＋AC2＝BC2”是“△ABC为直角三角形”的充要条件；


③“a2>b2”是“a>b的充分不必要条件”；


④若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b不全为0”的充要条件．


A．①② B．③④


C．①④ D．②③


C [对于结论①，∵x＞2⇒x＞1，但x>1x＞2，故①正确；对于结论④，由a2＋b2≠0⇒a，b不全为0，反之，由a，b不全为0⇒a2＋b2≠0，故④正确．]


[探究问题]


1．记集合A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，若p是q的充分不必要条件，则集合A，B的关系是什么？若p是q的必要不充分条件呢？


提示：若p是q的充分不必要条件，则AB，若p是q的必要不充分条件，则BA.


2．记集合M＝{x|p(x)}，N＝{x|q(x)}，若M⊆N，则p是q的什么条件？若N⊆M，M＝N呢？


提示：若M⊆N，则p是q的充分条件；若N⊆M，则p是q的必要条件；若M＝N，则p是q的充要条件．


【例2】 已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为________．


[思路点拨]


[9，＋∞) [因为p是q的充分不必要条件，所以p⇒q且qp.


即{x|－2≤x≤10}是{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}的真子集，


所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m>0，,1－m<－2，,1＋m≥10))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－m≤－2，,m>0，,1＋m>10，))解得m≥9.


所以实数m的取值范围为[9，＋∞)．]





利用充分、必要、充要条件的关系求参数范围


1化简p，q两命题；


2根据p与q的关系充分、必要、充要条件转化为集合间的关系；


3利用集合间的关系建立不等式；


4求解参数范围.








2．已知P＝{x|a－4

[解] 因为“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，所以Q⊆P.


所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－4≤1，,a＋4≥3，))解得－1≤a≤5，


即a的取值范围是[－1,5].


【例3】 已知a＋b≠0，证明a2＋b2－a－b＋2ab＝0成立的充要条件是a＋b＝1.


[证明] 先证充分性：若a＋b＝1，


则a2＋b2－a－b＋2ab＝(a＋b)2－(a＋b)＝1－1＝0，即充分性成立，


必要性：若a2＋b2－a－b＋2ab＝0，则(a＋b)2－(a＋b)＝(a＋b)(a＋b－1)＝0，


∵a＋b≠0，∴a＋b－1＝0，即a＋b＝1成立，


综上，a2＋b2－a－b＋2ab＝0成立的充要条件是a＋b＝1.





充要条件的证明策略


1要证明一个条件p是否是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方面进行，即证明两个命题“若p，则q”为真且“若q，则p”为真.


2在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明，证明p与q的解集是相同的，证明前必须分清楚充分性和必要性，即搞清楚由哪些条件推证到哪些结论.


提醒：证明时一定要注意，分清充分性与必要性的证明方向.








3．求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0.


[证明] 假设p：方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1，


q：a＋b＋c＝0.


①证明p⇒q，即证明必要性．


∵x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的根，


∴a·12＋b·1＋c＝0，即a＋b＋c＝0.


②证明q⇒p，即证明充分性．


由a＋b＋c＝0，得c＝－a－b.


∵ax2＋bx＋c＝0，


∴ax2＋bx－a－b＝0，即a(x2－1)＋b(x－1)＝0.


故(x－1)(ax＋a＋b)＝0.


∴x＝1是方程的一个根．


故方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0.





1.充要条件的判断有三种方法：定义法、等价命题法、集合法．


2．充要条件的证明与探求


(1)充要条件的证明分充分性和必要性的证明，在证明时要注意两种叙述方式的区别：


①p是q的充要条件，则由p⇒q证的是充分性，由q⇒p证的是必要性；


②p的充要条件是q，则p⇒q证的是必要性，由q⇒p证的是充分性．


(2)探求充要条件，可先求出必要条件，再证充分性；如果能保证每一步的变形转化过程都可逆，也可以直接求出充要条件．





1．“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”成立的( )


A．充要条件


B．充分不必要条件


C．必要不充分条件


D．既不充分也不必要条件


A [当x＝1时，x2－2x＋1＝0.由x2－2x＋1＝0, 解得x＝1，所以“x＝1”是“x2－2x＋1＝0成立的充要条件”. ]


2．设实数a，b满足|a|＞|b|，则“a－b＞0”是 “a＋b＞0”的( )


A．充分不必要条件


B．必要不充分条件


C．充要条件


D．既不充分也不必要条件


C [由a－b＞0，得a＞b.又|a|＞|b|，得 a＋b＞0.由a＋b＞0，得a＞－b.又|a|＞|b|，得a＋b＞0.故“a－b＞0”是“a＋b＞0”的充要条件．]


3．函数y＝x2＋mx＋1的图像关于直线x＝1对称的充要条件是( )


A．m＝－2 B．m＝2


C．m＝－1 D．m＝1


A [∵y＝x2＋mx＋1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(m,2)))2＋1－eq \f(m2,4)，


∴函数的图像的对称轴为x＝－eq \f(m,2)，由题意：－eq \f(m,2)＝1，


∴m＝－2.]


4．在平面直角坐标系中，点(x,1－x)在第一象限的充要条件是________．


0＜x＜1 [由题意，可得x＞0，且1－x＞0，∴0＜x＜1.]








学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解充要条件的概念．(难点)


2．能够判定条件的充分、必要、充要性．(重点)


3．会进行简单的充要条件的证明．(重点、难点)
1.通过充要条件的判断，提升逻辑推理素养．


2．通过充分、必要、充要性的应用，培养数学运算素养.
充要条件的判断
充分条件、必要条件、充要条件的应用
有关充要条件的证明或求解