人教B版 (2019)必修 第一册第一章 集合与常用逻辑用语1.2 常用逻辑用语1.2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定教学设计

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知识梳理
知识点一 全称量词命题的否定
全称量词命题p：任意x∈M，p(x)，
它的否定p：存在x0∈M，p(x0).
知识点二 存在量词命题的否定
存在量词命题p：存在x0∈M，p(x0)，
它的否定p：任意x∈M，p(x).
知识点三 全称量词命题与存在量词命题的关系
全称量词命题的否定是存在量词命题.
存在量词命题的否定是全称量词命题.
思考 (1)用自然语言描述的全称量词命题的否定形式惟一吗？
(2)对省略量词的命题怎样否定？
【答案】 (1)不惟一，如“所有的菱形都是平行四边形”，它的否定是“并不是所有的菱形都是平行四边形”，也可以是“有些菱形不是平行四边形”.
(2)对于含有一个量词的命题，容易知道它是全称量词命题或存在量词命题.一般地，省略了量词的命题是全称量词命题，可加上“所有的”或“对任意”，它的否定是存在量词命题.反之，亦然.
题型探究
题型一 全称量词命题的否定
例1 写出下列全称量词命题的否定：
(1)任何一个平行四边形的对边都平行；
(2)数列：1,2,3,4,5中的每一项都是偶数；
(3)任意a，b∈R，方程ax＝b都有惟一解；
(4)可以被5整除的整数，末位是0.
解 (1)是全称量词命题，其否定为：存在一个平行四边形，它的对边不都平行.
(2)是全称量词命题，其否定：数列：1,2,3,4,5中至少有一项不是偶数.
(3)是全称量词命题，其否定：存在a，b∈R，使方程ax＝b的解不惟一或不存在.
(4)是全称量词命题，其否定：存在被5整除的整数，末位不是0.
反思与感悟 全称量词命题的否定是存在量词命题，对省略全称量词的全称量词命题可补上量词后进行否定.
跟踪训练1 写出下列全称量词命题的否定：
(1)每一个四边形的四个顶点共圆；
(2)所有自然数的平方都是正数；
(3)任何实数x都是方程5x－12＝0的根；
(4)对任意实数x，x2＋1≥0.
解 (1)p：存在一个四边形，它的四个顶点不共圆.
(2)p：有些自然数的平方不是正数.
(3)p：存在实数x0不是方程5x0－12＝0的根.
(4)p：存在实数x0，使得xeq \\al(2,0)＋11，使x2－2x－3＝0；
(2)p：有些素数是奇数；
(3)p：有些平行四边形不是矩形.
解 (1) p：任意x>1，x2－2x－3≠0.(假).
(2) p：所有的素数都不是奇数.(假).
(3) p：所有的平行四边形都是矩形.(假).
反思与感悟 存在量词命题的否定是全称量词命题，写命题的否定时要分别改变其中的量词和判断词.即p：存在x0∈M，p(x0)成立⇒p：任意x∈M，p(x)成立.
跟踪训练2 写出下列存在量词命题的否定，并判断其否定的真假.
(1)有些实数的绝对值是正数；
(2)某些平行四边形是菱形；
(3)存在x0，y0∈Z，使得eq \r(2)x0＋y0＝3.
解 (1)命题的否定是“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，即“所有实数的绝对值都不是正数”.它为假命题.
(2)命题的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，即“每一个平行四边形都不是菱形”.由于菱形是平行四边形，因此命题的否定是假命题.
(3)命题的否定是“任意x，y∈Z，eq \r(2)x＋y≠3”.当x＝0，y＝3时，eq \r(2)x＋y＝3，因此命题的否定是假命题.
题型三 存在量词命题、全称量词命题的综合应用
例3 已知函数f(x)＝x2－2x＋5.
(1)是否存在实数m，使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立，并说明理由；
(2)若存在一个实数x0，使不等式m－f(x0)>0成立，求实数m的取值范围.
解 (1)不等式m＋f(x)>0可化为m>－f(x)，
即m>－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4.
要使m>－(x－1)2－4对于任意x∈R恒成立，只需m>－4即可.
故存在实数m，使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立，此时，只需m>－4.
(2)不等式m－f(x0)>0可化为m>f(x0)，若存在一个实数x0，使不等式m>f(x0)成立，只需m>f(x)min.
又f(x)＝(x－1)2＋4，∴f(x)min＝4，∴m>4.
∴所求实数m的取值范围是(4，＋∞).
反思与感悟 对于涉及是否存在的问题，通常总是假设存在，然后推出矛盾，或找出存在符合条件的元素.一般地，对任意的实数x，a>f(x)恒成立，只要a>f(x)max；若存在一个实数x0，使a>f(x0)成立，只需a>f(x)min.
跟踪训练3 已知f(x)＝3ax2＋6x－1(a∈R).
(1)当a＝－3时，求证：对任意x∈R，都有f(x)≤0；
(2)如果对任意x∈R，不等式f(x)≤4x恒成立，求实数a的取值范围.
(1)证明 当a＝－3时，f(x)＝－9x2＋6x－1，
∵Δ＝36－4×(－9)×(－1)＝0，
∴对任意x∈R，都有f(x)≤0.
(2)解 ∵f(x)≤4x恒成立，
∴3ax2＋2x－1≤0恒成立，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a