高中数学人教B版 (2019)必修 第一册1.1.3 集合的基本运算获奖第2课时2课时教案设计

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第一册1.1.3 集合的基本运算获奖第2课时2课时教案设计，共7页。







1．全集


(1)定义：如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集．


(2)记法：全集通常记作U.


思考：全集一定是实数集R吗？


提示：全集是一个相对概念，因研究问题的不同而变化，如在实数范围内解不等式，全集为实数集R，而在整数范围内解不等式，则全集为整数集Z.


2．补集





1．已知全集U＝{0,1,2}，且∁UA＝{2}，则A＝( )


A．{0} B．{1}


C．∅ D．{0,1}


D [∵U＝{0,1,2}，∁UA＝{2}，


∴A＝{0,1}，故选D.]


2．设全集为U，M＝{0,2,4}，∁UM＝{6}，则U等于( )


A．{0,2,4,6} B．{0,2,4}


C．{6} D．∅


A [∵M＝{0,2,4}，∁UM＝{6}，


∴U＝M∪∁UM＝{0,2,4,6}，


故选A.]


3．若集合A＝{x|x>1}，则∁RA＝________.


{x|x≤1} [∵A＝{x|x>1}，


∴∁RA＝{x|x≤1}．]





【例1】 (1)已知全集为U，集合A＝{1,3,5,7}，∁UA＝{2,4,6}，∁UB＝{1,4,6}，则集合B＝________；


(2)已知全集U＝{x|x≤5}，集合A＝{x|－3≤x<5}，则∁UA＝________.


(1){2,3,5,7} (2){x|x<－3或x＝5} [(1)法一(定义法)：因为A＝{1,3,5,7}，∁UA＝{2,4,6}，所以U＝{1,2,3,4,5,6,7}．


又∁UB＝{1,4,6}，


所以B＝{2,3,5,7}．


法二(Venn图法)：满足题意的Venn图如图所示．





由图可知B＝{2,3,5,7}．


(2)将集合U和集合A分别表示在数轴上，如图所示．





由补集的定义可知∁UA＝{x|x<－3或x＝5}．]





求集合的补集的方法


1定义法：当集合中的元素较少时，可利用定义直接求解.


2Venn图法：借助Venn图可直观地求出全集及补集.


3数轴法：当集合中的元素连续且无限时，可借助数轴求解，此时需注意端点问题.








1．(1)设集合A＝{x∈N*|x≤6}，B＝{2,4}，则∁AB等于( )


A．{2,4} B．{0,1,3,5}


C．{1,3,5,6} D．{x∈N*|x≤6}


(2)已知U＝{x|x>0}，A＝{x|2≤x<6}，则∁UA＝______.


(1)C (2){x|0




(2)如图，分别在数轴上表示两集合，则由补集的定义可知，∁UA＝{x|0




【例2】 设全集为R，A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2

[解] 把集合A，B在数轴上表示如下：





由图知∁RB＝{x|x≤2，或x≥10}，A∪B＝{x|2

因为∁RA＝{x|x<3，或x≥7}，


所以(∁RA)∩B＝{x|2




解决集合交、并、补运算的技巧


1如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解.在解答过程中常常借助于Venn图来求解.


2如果所给集合是无限集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算.解答过程中要注意边界问题.








2．全集U＝{x|x<10，x∈N*}，A⊆U，B⊆U，(∁UB)∩A＝{1,9}，A∩B＝{3}，(∁UA)∩(∁UB)＝{4,6,7}，求集合A，B.


[解] 法一(Venn图法)：根据题意作出Venn图如图所示．





由图可知A＝{1,3,9}，B＝{2,3,5,8}．


法二(定义法)：(∁UB)∩A＝{1,9}，(∁UA)∩(∁UB)＝{4,6,7}，∴∁UB＝{1,4,6,7,9}．


又U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，


∴B＝{2,3,5,8}．


∵(∁UB)∩A＝{1,9}，A∩B＝{3}，


∴A＝{1,3,9}.


[探究问题]


1．若A，B是全集U的子集，且(∁UA)∩B＝∅，则集合A，B存在怎样的关系？


提示：B⊆A.


2．若A，B是全集U的子集，且(∁UA)∪B＝U，则集合A，B存在怎样的关系？


提示：A⊆B.


【例3】 设集合A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－2

[思路点拨] 法一：eq \x(由A求∁UA)eq \(―――――→,\s\up14(结合数轴),\s\d14(∁UA∩B＝∅))


eq \x(建立m的不等关系)


法二：eq \x(∁UA∩B＝∅)eq \(――――→,\s\up14(等价转化))eq \x(B⊆A)


[解] 法一(直接法)：由A＝{x|x＋m≥0}＝{x|x≥－m}，得∁UA＝{x|x<－m}．


因为B＝{x|－2




所以－m≤－2，即m≥2，


所以m的取值范围是{m|m≥2}．


法二(集合间的关系)：由(∁UA)∩B＝∅可知B⊆A，


又B＝{x|－2

结合数轴：





得－m≤－2，即m≥2.





1．(变条件)将本例中条件“(∁UA)∩B＝∅”改为“(∁UA)∩B＝B”，其他条件不变，则m的取值范围又是什么？


[解] 由已知得A＝{x|x≥－m}，所以∁UA＝{x|x<－m}，又(∁UA)∩B＝B，所以－m≥4，解得m≤－4.


2．(变条件)将本例中条件“(∁UA)∩B＝∅”改为“(∁UB)∪A＝R”，其他条件不变，则m的取值范围又是什么？


[解] 由已知A＝{x|x≥－m}，


∁UB＝{x|x≤－2或x≥4}．


又(∁UB)∪A＝R，


所以－m≤－2，解得m≥2.





由集合的补集求解参数的方法


1如果所给集合是有限集，由补集求参数问题时，可利用补集定义并结合知识求解.


2如果所给集合是无限集，与集合交、并、补运算有关的求参数问题时，一般利用数轴分析法求解.








1．求某一集合的补集的前提必须明确全集，同一集合在不同全集下的补集是不同的．


2．补集作为一种思想方法，为我们研究问题开辟了新思路，在正向思维受阻时，改用逆向思维，如若直接求A困难，则使用“正难则反”策略，先求∁UA，再由∁U(∁UA)＝A求A.





1．思考辨析


(1)全集一定含有任何元素．( )


(2)集合∁RA＝∁QA.( )


(3)一个集合的补集一定含有元素．( )


[答案] (1)× (2)× (3)×


2．U＝{0,1,2,3,4}，集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4}，则(∁UA)∪B为( )


A．{1,2,4} B．{2,3,4}


C．{0,2,3,4} D．{0,2,4}


D [∵∁UA＝{0,4}，B＝{2,4}，∴(∁UA)∪B＝{0,2,4}．]


3．设集合S＝{x|x>－2}，T＝{x|－4≤x≤1}，则(∁RS)∪T等于( )


A．{x|－2

C．{x|x≤1} D．{x|x≥1}


C [因为S＝{x|x>－2}，


所以∁RS＝{x|x≤－2}．


而T＝{x|－4≤x≤1}，


所以(∁RS)∪T＝{x|x≤－2}∪{x|－4≤x≤1}＝{x|x≤1}．]


4．已知全集U＝{2,0,3－a2}，U的子集P＝{2，a2－a－2}，∁UP＝{－1}，求实数a的值．


[解] 由已知，得－1∈U，且－1∉P，


因此eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3－a2＝－1，,a2－a－2＝0，))


解得a＝2.


当a＝2时，U＝{2,0，－1}，


P＝{2,0}，∁UP＝{－1}，满足题意．


因此实数a的值为2.





学 习 目 标
核 心 素 养
1.了解全集的含义及其符号表示．(易混点)


2．理解给定集合中一个子集的补集的含义，并会求给定子集的补集．(重点、难点)


3．会用Venn图、数轴进行集合的运算．(重点)
1.通过补集的运算培养数学运算素养．


2．借助集合思想对实际生活中的对象进行判断归类，培养数学抽象素养.
文字语言
对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作∁UA
符号语言
∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}
图形语言
补集的运算
集合交、并、补集的综合运算
与补集有关的参数值的求解