高中数学人教A版 (2019)必修 第一册2.2 基本不等式教学设计及反思

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册2.2 基本不等式教学设计及反思，共7页。







题型一 利用基本不等式证明不等式[经典例题]


例1 已知a、b、c>0，求证：eq \f(a2,b)＋eq \f(b2,c)＋eq \f(c2,a)≥a＋b＋c.


【解析】 ∵a，b，c，eq \f(a2,b)，eq \f(b2,c)，eq \f(c2,a)均大于0，


∴eq \f(a2,b)＋b≥2eq \r(\f(a2,b)·b)＝2a.


当且仅当eq \f(a2,b)＝b时等号成立．


eq \f(b2,c)＋c≥2eq \r(\f(b2,c)·c)＝2b.


当且仅当eq \f(b2,c)＝c时等号成立．


eq \f(c2,a)＋a≥2eq \r(\f(c2,a)·a)＝2c，


当且仅当eq \f(c2,a)＝a时等号成立．


相加得eq \f(a2,b)＋b＋eq \f(b2,c)＋c＋eq \f(c2,a)＋a≥2a＋2b＋2c，


∴eq \f(a2,b)＋eq \f(b2,c)＋eq \f(c2,a)≥a＋b＋c.


eq \x(状元随笔)eq \x(判断a，b，c，\f(a2,b)，\f(b2,c)，\f(c2,a)均大于0)→eq \x(证\f(a2,b)＋b≥2a)→eq \x(证\f(b2,c)＋c≥2b)→eq \x(证\f(c2,a)＋a≥2c)→eq \x(得所证不等式)





方法归纳


(1)在利用a＋b≥2eq \r(ab)时，一定要注意是否满足条件a>0，b>0.


(2)在利用基本不等式a＋b≥2eq \r(ab)或eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)(a>0，b>0)时要注意对所给代数式通过添项配凑，构造符合基本不等式的形式．


(3)另外，在解题时还要注意不等式性质和函数性质的应用．


跟踪训练1 已知x>0，y>0，z>0.


求证：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y,x)＋\f(z,x)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,y)＋\f(z,y)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,z)＋\f(y,z)))≥8.


证明：因为x>0，y>0，z>0，


所以eq \f(y,x)＋eq \f(z,x)≥eq \f(2\r(yz),x)>0，


eq \f(x,y)＋eq \f(z,y)≥eq \f(2\r(xz),y)>0，


eq \f(x,z)＋eq \f(y,z)≥eq \f(2\r(xy),z)>0，


所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y,x)＋\f(z,x)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,y)＋\f(z,y)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,z)＋\f(y,z)))≥eq \f(8\r(yz)·\r(xz)·\r(xy),xyz)＝8，当且仅当x＝y＝z时等号成立．


分别对eq \f(y,x)＋eq \f(z,x)，eq \f(x,y)＋eq \f(z,y)，eq \f(x,z)＋eq \f(y,z)用基本不等式⇒同向不等式相乘．





题型二 利用基本不等式解决实际问题


[教材P47例4]


例2 某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为4 800 m3，深为3 m．如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，那么怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？





【解析】 设贮水池池底的相邻两条边的边长分别为x m，y m，水池的总造价为z元．根据题意，有


z＝150×eq \f(4 800,3)＋120(2×3x＋2×3y)


＝240 000＋720(x＋y)．


由容积为4 800 m3，可得3xy＝4 800.


因此xy＝1 600.


所以z≥240 000＋720×2eq \r(xy)，


当x＝y＝40时，上式等号成立，此时z＝297 600.


所以，将贮水池的池底设计成边长为40 m的正方形时总造价最低，最低总造价是297 600元．


eq \x(状元随笔) 贮水池呈长方体形，它的高是3 m，池底的边长没有确定．如果池底的边长确定了，那么水池的总造价就确定了．因此，应当考察池底的边长取什么值时，水池的总造价最低．








教材反思


利用基本不等式解决实际问题的步骤


解实际问题时，首先审清题意，然后将实际问题转化为数学问题，再利用数学知识(函数及不等式性质等)解决问题．用基本不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：


(1)理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数．


(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题．


(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值．


(4)正确写出答案．


跟踪训练2 某渔业公司今年年初用98万元购进一艘渔船用于捕捞，第一年需要各种费用12万元．从第二年起包括维修费在内每年所需费用比上一年增加4万元．该船每年捕捞总收入50万元．


(1)问捕捞几年后总盈利最大，最大是多少？


(2)问捕捞几年后的平均利润最大，最大是多少？


解析：(1)设该船捕捞n年后的总盈利y万元．则


y＝50n－98－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(12×n＋\f(nn－1,2)×4))


＝－2n2＋40n－98＝－2(n－10)2＋102，


∴当捕捞10年后总盈利最大，最大是102万元．


(2)年平均利润为


eq \f(y,n)＝－2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n＋\f(49,n)－20))≤－2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\r(n·\f(49,n))－20))＝12，


当且仅当n＝eq \f(49,n)，即n＝7时上式取等号．


所以，当捕捞7年后年平均利润最大，最大是12万元．


eq \x(状元随笔) 1.盈利等于总收入－支出，注意支出，由两部分组成．


2．利用基本不等式求平均利润．











一、选择题


1．已知a，b，c，是正实数，且a＋b＋c＝1，则eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＋eq \f(1,c)的最小值为( )


A．3 B．6


C．9 D．12


解析：∵a＋b＋c＝1，∴eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＋eq \f(1,c)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＋\f(1,b)＋\f(1,c)))(a＋b＋c)＝3＋eq \f(a,b)＋eq \f(b,a)＋eq \f(a,c)＋eq \f(c,a)＋eq \f(b,c)＋eq \f(c,b)≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a＝b＝c＝eq \f(1,3)时，等号成立．


答案：C


2.eq \r(3－aa＋6)(－6≤a≤3)的最大值为( )


A．9 B.eq \f(9,2)


C．3 D.eq \f(3\r(2),2)


解析：因为－6≤a≤3，所以3－a≥0，a＋6≥0，则由基本不等式可知，eq \r(3－aa＋6)≤eq \f(3－a＋a＋6,2)＝eq \f(9,2)，当且仅当3－a＝a＋6，即a＝－eq \f(3,2)时，等号成立．


答案：B


3．将一根铁丝切割成三段做一个面积为4.5 m2的直角三角形框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是( )


A．9.5 m B．10 m


C．10.5 m D．11 m


解析：不妨设直角三角形两直角边长分别为a，b，则ab＝9，注意到直角三角形的周长为l＝a＋b＋eq \r(a2＋b2)，从而l＝a＋b＋eq \r(a2＋b2)≥2eq \r(ab)＋eq \r(2ab)＝6＋3eq \r(2)≈10.24，当且仅当a＝b＝3时，l取得最小值．从最节俭的角度来看，选择10.5 m.


答案：C


4．已知函数y＝x－4＋eq \f(9,x＋1)(x>－1)，当x＝a时，y取得最小值b，则a＋b＝( )


A．－3 B．2


C．3 D．8


解析：y＝x－4＋eq \f(9,x＋1)＝x＋1＋eq \f(9,x＋1)－5.由x>－1，得x＋1>0，eq \f(9,x＋1)>0，所以由基本不等式得y＝x＋1＋eq \f(9,x＋1)－5≥2eq \r(x＋1×\f(9,x＋1))－5＝1，当且仅当x＋1＝eq \f(9,x＋1)，即x＝2时取等号，所以a＝2，b＝1，a＋b＝3.


答案：C


二、填空题


5．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，则该公司年平均利润的最大值是________万元．


解析：每台机器运转x年的年平均利润为eq \f(y,x)＝18－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(25,x)))，而x>0，故eq \f(y,x)≤18－2eq \r(25)＝8，当且仅当x＝5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元．


答案：8


6．若正实数x，y满足2x＋y＋6＝xy，则xy的最小值是________．


解析：设eq \r(xy)＝t(t>0)，由xy＝2x＋y＋6≥2eq \r(2xy)＋6，即t2≥2eq \r(2)t＋6，(t－3eq \r(2))(t＋eq \r(2))≥0，∴t≥3eq \r(2)，则xy≥18，当且仅当2x＝y,2x＋y＋6＝xy，即x＝3，y＝6时等号成立，∴xy的最小值为18.


答案：18


7．某种饮料分两次提价，提价方案有两种，方案甲：第一次提价p%，第二次提价q%；方案乙：每次都提价eq \f(p＋q,2)%，若p>q>0，则提价多的方案是________．


解析：设原价为1，则提价后的价格为


方案甲：(1＋p%)(1＋q%)，


方案乙：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(p＋q,2)%))2，


因为eq \r(1＋p%1＋q%)≤eq \f(1＋p%＋1＋q%,2)＝1＋eq \f(p＋q,2)%，


且p>q>0，


所以eq \r(1＋p%1＋q%)<1＋eq \f(p＋q,2)%，


即(1＋p%)(1＋q%)

所以提价多的方案是乙．


答案：乙


三、解答题


8．已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,a)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,b)))≥9.


证明：∵a>0，b>0，a＋b＝1，


∴1＋eq \f(1,a)＝1＋eq \f(a＋b,a)＝2＋eq \f(b,a)，


同理，1＋eq \f(1,b)＝2＋eq \f(a,b)，


∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,a)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,b)))


＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2＋\f(b,a)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2＋\f(a,b)))


＝5＋2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)＋\f(a,b)))≥5＋4＝9.


∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,a)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,b)))≥9(当且仅当a＝b＝eq \f(1,2)时等号成立)．


9．桑基鱼塘是广东省珠江三角洲一种独具地方特色的农业生产形式，某研究单位打算开发一个桑基鱼塘项目，该项目准备购置一块1 800平方米的矩形地块，中间挖成三个矩形池塘养鱼，挖出的泥土堆在池塘四周形成基围(阴影部分所示)种植桑树，鱼塘周围的基围宽均为2米，如图所示，池塘所占面积为S平方米，其中ab＝12.





(1)试用x，y表示S；


(2)若要使S最大，则x，y的值各为多少？


解析：(1)由题可得，xy＝1 800，b＝2a，则y＝a＋b＋6＝3a＋6，S＝(x－4)a＋(x－6)b＝(3x－16)a＝(3x－16)eq \f(y－6,3)＝1 832－6x－eq \f(16,3)y(x>6，y>6，xy＝1 800)．


(2)方法一 S＝1 832－6x－eq \f(16,3)y≤1 832－2eq \r(6x×\f(16,3)y)＝1 832－480＝1 352，


当且仅当6x＝eq \f(16,3)y，xy＝1 800，即x＝40，y＝45时，S取得最大值1 352.


方法二 S＝1 832－6x－eq \f(16,3)×eq \f(1 800,x)＝1 832－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(6x＋\f(9 600,x)))≤1 832－2eq \r(6x×\f(9 600,x))＝1 832－480＝1 352，


当且仅当6x＝eq \f(9 600,x)，即x＝40时取等号，S取得最大值，此时y＝eq \f(1 800,x)＝45.


[尖子生题库]


10．已知a>b，ab＝1，求证：a2＋b2≥2eq \r(2)(a－b)．


证明：∵a>b，∴a－b>0，又ab＝1，


∴eq \f(a2＋b2,a－b)＝eq \f(a2＋b2＋2ab－2ab,a－b)＝eq \f(a－b2＋2ab,a－b)＝a－b＋eq \f(2,a－b)≥2eq \r(a－b·\f(2,a－b))＝2eq \r(2)，即eq \f(a2＋b2,a－b)≥2eq \r(2)，即a2＋b2≥2eq \r(2)(a－b)，当且仅当a－b＝eq \f(2,a－b)，即a－b＝eq \r(2)时取等号．