数学必修 第一册第五章 三角函数5.6 函数 y=Asin（ ωx ＋ φ）教案及反思

这是一份数学必修 第一册第五章 三角函数5.6 函数 y=Asin（ ωx ＋ φ）教案及反思，共19页。
最新课程标准：结合具体实例，了解y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义，能借助图象理解参数ω，φ，A的意义，了解参数的变化对函数图象的影响.








知识点一 A，ω，φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响


1．φ对函数y＝sin(x＋φ)图象的影响





2．ω对函数y＝sin(ωx＋φ)图象的影响





3．A对函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响








eq \x(状元随笔) (1)A越大，函数图象的最大值越大，最大值与A是正比例关系．


(2)ω越大，函数图象的周期越小，ω越小，周期越大，周期与ω为反比例关系 .


(3)φ大于0时，函数图象向左平移，φ小于0时，函数图象向右平移，即“左加右减”．


(4)由y＝sinx到y＝sin(x＋φ)的图象变换称为相位变换；由y＝sinx到y＝sinωx的图象变换称为周期变换；由y＝sinx到y＝Asinx的图象变换称为振幅变换．


知识点二 函数y＝Asin(ωx＋φ)，A>0，ω>0的


有关性质1.定义域：R.


2．值域：[－A，A]．


3．周期性：T＝eq \f(2π,ω).


4．对称性：对称中心eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ－φ,ω)，0))，对称轴是直线x＝eq \f(kπ,ω)＋eq \f(π－2φ,2ω)(k∈Z)．


5．奇偶性：当φ＝kπ(k∈Z)时是奇函数．


6．单调性：通过整体代换可求出其单调区间．


eq \x(状元随笔) 研究函数y＝Asin(ωx＋φ)性质的基本策略


(1)借助周期性：研究函数的单调区间、对称性等问题时，可以先研究在一个周期内的单调区间、对称性，再利用周期性推广到全体实数．


(2)整体思想：研究当x∈[α，β]时的函数的值域时，应将ωx＋φ看作一个整体θ，利用x∈[α，β]求出θ的范围，再结合y＝sinθ的图象求值域．


[教材解难]


1．教材P231思考


筒车转轮的中心O到水面的距离h，筒车的半径r，筒车转动的角速度ω，盛水筒的初始位置P0以及所经过的时间t.





如图，以O为原点，以与水平面平行的直线为x轴建立直角坐标系．设t＝0时，盛水筒M位于点P0，以Ox为始边，OP0为终边的角为φ，经过t s后运动到点P(x，y)．于是，以Ox为始边，OP为终边的角为ωt＋φ，并且有


y＝rsin(ωt＋φ)①


所以，盛水筒M距离水面的高度H与时间t的关系是


H＝rsin(ωt＋φ)＋h.②


2．教材P232思考


(1)能．(2)可以先按φ再按ω，最后按A的顺序研究．


[基础自测]


1．利用“五点法”作函数y＝sineq \f(1,2)x，x∈[0,4π]的图象时，所取的五点的横坐标为( )











A．0，eq \f(π,2)，π，eq \f(3π,2)，2π B．0，eq \f(π,4)，eq \f(π,2)，eq \f(3π,4)，π


C．0，π，2π，3π，4π D．0，eq \f(π,6)，eq \f(π,3)，eq \f(π,2)，eq \f(2π,3)


解析：令eq \f(1,2)x＝0，eq \f(π,2)，π，eq \f(3π,2)，2π得，x＝0，π，2π，3π，4π.


答案：C


2．将函数y＝sin x 的图象向右平移eq \f(π,3)个单位长度，所得图象的函数解析式是( )


A．y＝sin x＋eq \f(π,3) B．y＝sin x－eq \f(π,3)


C．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3))) D．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))


解析：y＝sin xeq \(――→,\s\up7(向右平移\f(π),\s\d5(3)个单位长度))y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3))).


答案：C


3．函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))图象的一条对称轴方程为( )


A．x＝－eq \f(π,4) B．x＝eq \f(π,4)


C．x＝eq \f(π,2) D．x＝π


解析：对于函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))，


令x＋eq \f(π,4)＝kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，


求得x＝kπ＋eq \f(π,4)，k∈Z，


可得它的图象的一条对称轴为x＝eq \f(π,4)，故选B.


答案：B


4．将函数y＝sin 3x的图象上所有点的横坐标缩短到原来的eq \f(1,3)倍(纵坐标不变)可得到函数________的图象．


解析：将函数y＝sin 3x的图象上所有点的横坐标缩短到原来的eq \f(1,3)倍(纵坐标不变)可得，函数y＝sin(3×3x)＝sin 9x的图象．


答案：y＝sin 9x











题型一 作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象[教材P237例1]


例1 画出函数y＝2sin(3x－eq \f(π,6))的简图．


【解析】 先画出函数y＝sin x的图象；再把正弦曲线向右平移eq \f(π,6)个单位长度，得到函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))的图象；然后使曲线上各点的横坐标变为原来的eq \f(1,3)倍，得到函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x－\f(π,6)))的图象；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的2倍，这时的曲线就是函数y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x－\f(π,6)))的图象，如图1所示．





下面用“五点法”画函数y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x－\f(π,6)))在一个周期eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(T＝\f(2π,3)))内的图象．


令X＝3x－eq \f(π,6)，则x＝eq \f(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(X＋\f(π,6)))，列表，描点画图(图2)























eq \x(状元随笔) 画函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象一般有2个方法．


法一：先画y＝sinx，然后按φ，ω，A的顺序依次画出图象．


法二：五点法作图，按列表，描点，连线的步骤画图．





方法归纳


五点法作图


五点法作函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)图象的步骤．


(1)列表，令ωx＋φ＝0，eq \f(π,2)，π，eq \f(3π,2)，2π，依次得出相应的(x，y)值．


(2)描点．


(3)连线得函数在一个周期内的图象．


(4)左右平移得到y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R的图象.





跟踪训练1 已知函数y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)＋\f(π,6))).


试用“五点法”画出它的图象．


解析：令t＝eq \f(x,2)＋eq \f(π,6)，列表如下：


描点连线并向左右两边分别扩展，得到如图所示的函数图象：





eq \x(换元)→eq \x(列表求值)→eq \x(描点画图)





题型二 三角函数的图象变换


例2 由函数y＝sin x的图象经过怎样的变换，可以得到函数y＝－2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))＋1的图象．


【解析】 方法一 y＝sin x的图象


eq \(――――――――→,\s\up12(所有点的纵坐标伸长到原来的2倍),\s\d10(横坐标不变))


y＝2sin x的图象y＝－2sin x的图象y＝－2sin 2x的图象y＝－2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))的图象eq \(――――――→,\s\up12(向上平移1个单位长度))y＝－2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))＋1的图象．


方法二 y＝sin x的图象y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))的图象y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))的图象eq \(―――――――→,\s\up12(关于x轴作对称变换))y＝－sin2x－eq \f(π,6)的图象eq \(――――――――→,\s\up12(各点的纵坐标伸长到原来的2倍),\s\d10(横坐标不变))y＝－2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))的图象eq \(――――――→,\s\up12(向上平移1个单位长度))y＝－2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))＋1的图象.





本题考查三角函数的图象变换问题，可以从先“平移变换”或先“伸缩变换”两种不同变换顺序的角度去考虑，得到答案．





方法归纳


解决三角函数图象变换问题的关键是明确左右平移的方向和平移量以及横纵坐标伸缩的量，在变换中平移变换与伸缩变换的顺序不同得到解析式也不同，这点应特别注意，否则就会出错．








跟踪训练2 由函数y＝cs x的图象如何得到函数y＝－2cs2x＋eq \f(π,6)＋2的图象．


解析：y＝－2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))＋2


＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(7π,6)))＋2


＝2cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(7,12)π))))＋2.


方法一 y＝cs x


y＝csx＋eq \f(7,6)π


y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(7,6)π))eq \(―――――――――→,\s\up12(各点纵坐标伸长到原来的2倍),\s\d10(横坐标不变))


y＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(7,6)π))eq \(――――――→,\s\up12(向上平移2个单位)),


y＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(7,6)π))＋2.


方法二 y＝cs x y＝cs 2xy＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(7,6)π))


eq \(―――――――→,\s\up12(各点纵坐标伸长到原来的2倍),\s\d10(横坐标不变))y＝2cs2x＋eq \f(7,6)π


向上平移2个单位,y＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(7,6)π))＋2.








方法一，先平移，后伸缩；


方法二，先伸缩，后平移．两种变换方法中向右平移的单位长度是不同的eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(即\f(7π,6)和\f(7π,12)))，但得到的结果是一致的．





题型三 三角函数解析式


例3 如图所示，它是函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，－π