初中数学人教版九年级上册第二十一章 一元二次方程综合与测试同步测试题

这是一份初中数学人教版九年级上册第二十一章 一元二次方程综合与测试同步测试题，共12页。试卷主要包含了关于x的方程kx2﹣等内容，欢迎下载使用。
（满分120分）


姓名：___________班级：___________座号：___________


一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）


1．关于x的方程x+x﹣3＝0是一元二次方程，则（ ）


A．m＝﹣3B．m＝2C．m＝3D．m＝±3


2．方程2x2﹣5x＝4的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ）


A．2，5，4B．2，﹣5，4C．﹣2，﹣5，4D．2，﹣5，﹣4


3．用配方法解方程x2+6x+4＝0，方程应变形为（ ）


A．（x+3）2＝5B．（x﹣3）2＝5C．（x+6）2＝32D．（x+3）2＝13


4．若关于x的方程x2+ax+a＝0有一个根为﹣3，则a的值是（ ）


A．9B．4.5C．3D．﹣3


5．目前以5G等为代表的战略性新兴产业蓬勃发展．某市2019年底有5G用户2万户，计划到2021年底全市5G用户数累计达到8.72万户．设全市5G用户数年平均增长率为x，则x值为（ ）


A．20%B．30%C．40%D．50%


6．若m是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则m2﹣m+2020的值为（ ）


A．2019B．2020C．2021D．2022


7．一次围棋比赛，要求参赛的每两位棋手之间都要比赛一场，根据赛程计划共安排45场比赛，设本次比赛共有x个参赛棋手，则可列方程为（ ）


A．x（x﹣1）＝45B．x（x+1）＝45


C．x（x﹣1）＝45D．x（x+1）＝45


8．下列用配方法解方程x2﹣x﹣2＝0的四个步骤中，出现错误的是（ ）





A．①B．②C．③D．④


9．关于x的方程kx2﹣（2k+1）x+k+1＝0（k为非零常数），下列说法：①当k＝1时，该方程的实数根为x＝2；②x＝1是该方程的实数根；③该方程有两个不相等的实数根．其中正确的是（ ）


A．①②B．②③C．②D．③


10．设方程x2﹣3x+2＝0的两根分别是x1，x2，则x1+x2的值为（ ）


A．3B．﹣C．D．﹣2


二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）


11．下列方程中（1）3（x+1）2＝2（x+1）；（2）﹣2＝0；（3）ax2+bx+c＝0；（4）x2+2x＝x2﹣1中，关于x的一元二次方程是 ．


12．x2＝0方程的解是 ．


13．一元二次方程x2+3x﹣1＝0根的判别式的值为 ．


14．已知a、b、c为△ABC的三边长，且方程（a+b）x2﹣2cx+a＝b有两个相等的实数根，则△ABC的形状是 ．


15．有一个人患了新冠肺炎，经过两轮传染后共有169人患了新冠肺炎，每轮传染中平均一个人传染了 个人．


16．若（x2+y2）2﹣5（x2+y2）﹣6＝0，则x2+y2＝ ．


17．要为一幅矩形照片配一个镜框，如图，要求镜框的四条边宽度都相等，且镜框所占面积是照片本身面积的四分之一，已知照片的长为21cm，宽为10cm，求镜框的宽度．设镜框的宽度为xcm，依题意列方程，化成一般式为 ．





18．对于实数m、n，定义一种运算“※”为：m※n＝mn+n．如果关于x的方程（a※x）※x＝有两个相等的实数根，则实数a的值 ．


三．解答题（共7小题，满分66分）


19．（16分）用适当的方法解方程：


（1）x2+4x＝﹣3 （2）2x2+3x﹣4＝0





（3）25x2﹣36＝0 （4）（x+4）2＝5（x+4）











20．（8分）已知：关于x的一元二次方程x2+mx＝3（m为常数）．


（1）证明：无论m为何值，该方程都有两个不相等的实数根；


（2）若方程有一个根为2，求方程的另一个根．














21．（8分）已知关于x，y的方程组与的解相同．


（1）求a，b的值；


（2）若一个三角形的一条边的长为2，另外两条边的长是关于x的方程x2+ax+b＝0的解．试判断该三角形的形状，并说明理由．














22．（8分）某口罩生产厂生产的口罩1月份平均日产量为20000个，1月底因突然爆发新冠肺炎疫情，市场对口罩需求量大增，为满足市场需求，工厂决定从2月份起扩大产能，3月份平均日产量达到24200个．


（1）求口罩日产量的月平均增长率；


（2）按照这个增长率，预计4月份平均日产量为多少？

















23．（8分）阅读下面的材料，解答后面的问题


材料：“解方程x4﹣3x2+2＝0”


解：设x2＝y，原方程变为y2﹣3y+2＝0，（y﹣1）（y﹣2）＝0，得y＝1或y＝2


当y＝1时，即x2＝1，解得x＝±1；


当y＝2时，即x2＝2，解得x＝±


综上所述，原方程的解为x1＝1，x2＝﹣1，x3＝．x4＝﹣


问题：（1）上述解答过程采用的数学思想方法是


A．加减消元法 B．代入消元法 C．换元法 D．待定系数法


（2）采用类似的方法解方程：（x2﹣2x）2﹣x2+2x﹣6＝0．




















24．（9分）某一皮衣专卖店销售某款皮衣，其进价为每件750元，经市场调查发现，按每件1100元出售，平均每天可售出30件，每件降价50元，平均每天的销售量可增加10件，皮衣专卖店若想要平均每天获利12000元，则每件皮衣定价为多少元？


（1）以下是小明和小红的两种不同设法，请帮忙填完整：


小明：设每件皮衣降价x元，由题意，可列方程： ．


小红：设每件皮衣定价为y元，由题意，可列方程： ．


（2）请写出一种完整的解答过程．


























25．（9分）先阅读下面的内容，再解决问题：


问题：对于形如x2+2ax+a2这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成（x+a）2的形式．但对于二次三项式x2+2ax﹣3a2，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式x2+2ax﹣3a2中先加上一项a2，使它与x2+2ax成为一个完全平方式，再减去a2，整个式子的值不变，于是有：


x2+2ax﹣3a2


＝（x2+2ax+a2）﹣a2﹣3a2


＝（x+a）2﹣4a2


＝（x+a）2﹣（2a）2


＝（x+3a）（x﹣a）


像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．利用“配方法”，解决下列问题：


（1）分解因式：a2﹣8a+15＝ ；


（2）若△ABC的三边长是a，b，c，且满足a2+b2﹣14a﹣8b+65＝0，c边的长为奇数，求△ABC的周长的最小值；


（3）当x为何值时，多项式﹣2x2﹣4x+3有最大值？并求出这个最大值．












































参考答案


一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）


1．解：∵关于x的方程x+x﹣3＝0是一元二次方程，


∴m2﹣7＝2，


解得m＝±3，


故选：D．


2．解：∵方程2x2﹣5x＝4化成一般形式是2x2﹣5x﹣4＝0，


∴二次项系数为2，一次项系数为﹣5，常数项为﹣4．


故选：D．


3．解：x2+6x＝﹣4，


x2+6x+9＝5，


（x+3）2＝5．


故选：A．


4．解：把x＝﹣3代入方程x2+ax+a＝0得9﹣3a+a＝0，


解得a＝4.5．


故选：B．


5．解：设全市5G用户数年平均增长率为x，则2020年底全市5G用户数为2（1+x）万户，2021年底全市5G用户数为2（1+x）2万户，


依题意，得：2+2（1+x）+2（1+x）2＝8.72，


整理，得：x2+3x﹣1.36＝0，


解得：x1＝0.4＝40%，x2＝﹣3.4（不合题意，舍去）．


故选：C．


6．解：∵m是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，


∴m2﹣m﹣1＝0，


∴m2﹣m＝1，


∴m2﹣m+2020＝1+2020＝2021．


故选：C．


7．解：本次比赛共有x个参赛棋手，


所以可列方程为：x（x﹣1）＝45．


故选：A．


8．解：解方程x2﹣x﹣2＝0，


去分母得：x2﹣2x﹣4＝0，即x2﹣2x＝4，


配方得：x2﹣2x+1＝5，即（x﹣1）2＝5，


开方得：x﹣1＝±，


解得：x＝1±，


则四个步骤中出现错误的是④．


故选：D．


9．解：关于x的方程kx2﹣（2k+1）x+k+1＝0（k为非零常数），


①当k＝1时，方程即为x2﹣3x+2＝0，则x＝1或2，故说法①错误，不符合题意；


②把x＝1代入方程，左边＝k﹣（2k+1）+k+1＝0，右边＝0，左边＝右边，所以x＝1是该方程的实数根，


故说法②正确，符合题意；


③∵k为非零常数，


∴kx2﹣（2k+1）x+k+1＝0是关于x的一元二次方程，


∵△＝[﹣（2k+1）]2﹣4k（k+1）＝1＞0，


∴该方程有两个不相等的实数根，


故说法③正确，符合题意；


故选：B．


10．解：由x2﹣3x+2＝0可知，其二次项系数a＝1，一次项系数b＝﹣3，


由根与系数的关系：x1+x2＝，


故选：A．


二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）


11．解：由题可得，关于x的一元二次方程是（1）3（x+1）2＝2（x+1），


故答案为：（1）3（x+1）2＝2（x+1）．


12．解：x2＝0，


解得x1＝x2＝0．


故答案是：x1＝x2＝0．


13．解：∵a＝1，b＝3，c＝﹣1，


∴△＝b2﹣4ac＝9+4＝13．


所以一元二次方程x2+3x﹣1＝0根的判别式的值为13．


故答案为：13．


14．解：∵方程（a+b）x2﹣2cx+a＝b有两个相等的实数根，


∴△＝0，


即（﹣2c）2﹣4（a+b）（a﹣b）＝0，


c2﹣（a2﹣b2）＝0，


c2﹣a2+b2＝0，


c2+b2＝a2，


∴△ABC的形状为直角三角形，


故答案为：直角三角形．


15．解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意，得


（1+x）2＝169


1+x＝±13


x1＝12，x2＝﹣14（舍去）．


答：每轮传染中平均一个人传染了12个人．


故答案为：12．


16．解：设x2+y2＝z，则原方程转化为z2﹣5z﹣6＝0，


（z﹣6）（z+1）＝0，


解得z1＝6，z2＝﹣1，


∵x2+y2不小于0，


∴x2+y2＝6，


故答案为6．


17．解：设镜框的宽度为xcm，


依题意，得：21×10＝4[（21+2x）（10+2x）﹣21×10]，


整理，得：8x2+124x﹣105＝0．


故答案为：8x2+124x﹣105＝0．


18．解：∵a※x＝ax+x，


（ax+x）※x＝（ax+x）x+x，


∵（a※x）※x＝，


∴（ax+x）x+x＝，


整理得（a+1）x2+x﹣＝0，


根据题意得a+1≠0且△＝12﹣4（a+1）×（﹣）＝0，


∴a＝﹣．


故答案为﹣．


三．解答题（共7小题，满分66分）


19．解：（1）x2+4x＝﹣3


x2+4x+3＝0，


∴（x+3）（x+1）＝0，


∴x+3＝0或x+1＝0，


解得，x1＝﹣3，x2＝﹣1；


（2）2x2+3x﹣4＝0


∵a＝2，b＝3，c＝﹣4，


∴△＝32﹣4×2×（﹣4）＝41＞0，


∴x＝＝，


∴x1＝，x2＝；


（3）25x2﹣36＝0


（5x+6）（5x﹣6）＝0


∴5x+6＝0或5x﹣6＝0，


解得，x1＝﹣，x2＝；


（4）（x+4）2＝5（x+4）


（x+4）2﹣5（x+4）＝0


（x+4）（x+4﹣5）＝0


（x+4）（x﹣1）＝0


∴x+4＝0，x﹣1＝0，


解得，x1＝﹣4，x2＝1．


20．（1）证明：x2+mx﹣3＝0，


∵a＝1，b＝m，c＝﹣3


∴△＝b2﹣4ac＝m2﹣4×1×（﹣3）＝m2+12，


∵m2≥0，


∴m2+12＞0，


∴△＞0，


∴无论m为何值，该方程都有两个不相等的实数根；


（2）设方程的另一个根为x1，


则 2•x1＝＝＝﹣3，


∴x1＝﹣


∴方程的另一个根为﹣．


21．解：（1）由题意得，关于x，y的方程组的相同解，就是方程组的解，


解得，，代入原方程组得，a＝﹣4，b＝12；


（2）当a＝﹣4，b＝12时，关于x的方程x2+ax+b＝0就变为x2﹣4x+12＝0，


解得，x1＝x2＝2，


又∵（2）2+（2）2＝（2）2，


∴以2、2、2为边的三角形是等腰直角三角形．


22．解：（1）设口罩日产量的月平均增长率为x，根据题意，得


20000（1+x）2＝24200


解得x1＝﹣2.1（舍去），x2＝0.1＝10%，


答：口罩日产量的月平均增长率为10%．


（2）24200（1+0.1）＝26620（个）．


答：预计4月份平均日产量为26620个．


23．解：（1）上述解答过程采用的数学思想方法是换元法．


故答案是：C；


（2）设x2﹣2x＝y，原方程化为y2﹣y﹣6＝0，


整理，得


（y﹣3）（y+2）＝0，


得y＝3或y＝﹣2


当y＝3时，即x2﹣2x＝3，解得x＝﹣1或x＝3；


当y＝﹣2时，即x2﹣2x＝﹣2，方程无解．


综上所述，原方程的解为x1＝﹣1，x2＝3．


24．解：（1）小明：设每件皮衣降价x元，则平均每天的销售量为（30+x÷50×10）件，


依题意，得：（1100﹣x﹣750）（30+x÷50×10）＝12000；


小红：设每件皮衣定价为y元，则平均每天的销售量为（30+×10）件，


依题意，得：（y﹣750）（30+）＝12000．


故答案为：（1100﹣x﹣750）（30+x÷50×10）＝12000；（y﹣750）（30+）＝12000．


（2）选择小明的的设法，则（1100﹣x﹣750）（30+x÷50×10）＝12000，


整理，得：x2﹣200x+7500＝0，


解得：x1＝50，x2＝150，


∴1100﹣x＝1050或950．


答：每件皮衣定价为1050元或950元．


选择小红的设法，则（y﹣750）（30+）＝12000，


整理，得：y2﹣2000y+997500＝0，


解得：y1＝1050，y2＝950．


答：每件皮衣定价为1050元或950元．


25．解：（1）a2﹣8a+15＝（a2﹣8a+16）﹣1＝（a﹣4）2﹣12＝（a﹣3）（a﹣5）；


故答案为：（a﹣3）（a﹣5）；


（2）∵a2+b2﹣14a﹣8b+65＝0，


∴（a2﹣14a+49）+（b2﹣8b+16）＝0，


∴（a﹣7）2+（b﹣4）2＝0，


∴a﹣7＝0，b﹣4＝0，


解得，a＝7，b＝4，


∵△ABC的三边长是a，b，c，


∴3＜c＜11，


又∵c边的长为奇数，


∴c＝5，7，9，


当a＝7，b＝4，c＝5时，△ABC的周长最小，最小值是：7+4+5＝16；


（3）﹣2x2﹣4x+3，


＝﹣2（x2+2x+1﹣1）+3，


＝﹣2（x+1）2+5，


∴当x＝﹣1时，多项式﹣2x2﹣4x+3有最大值，最大值是5．





题号
一
二
三
总分
得分