人教B版 (2019)必修 第一册1.2.3 充分条件、必要条件第1课时学案及答案

这是一份人教B版 (2019)必修 第一册1.2.3 充分条件、必要条件第1课时学案及答案，共11页。学案主要包含了充分条件的判断，必要条件的判断，充分条件与必要条件的应用等内容，欢迎下载使用。

学习目标 1.理解充分条件、必要条件的定义.2.会判断充分条件、必要条件.3.会根据充分条件、必要条件求参数的取值范围．
导语
不知道大家有没有这样的经历，在初中的某次考试没有考好，父母就着急了，说：“初中不好好学习就考不上高中，考不上高中就考不上大学，考不上大学就找不到工作，找不到工作就找不到对象……那么，你这一辈子就完了！”大家同意这么糟糕的说法吗？静下心来想想，一次没有考好，跟后面这些事情有关系吗？把几乎没有关系的两件事情理解成了充分条件，让你们的父母徒增烦恼，当然你们也有了不小的压力，所以，大家要好好学习这节课，这样你就能解决你父母的烦恼了！
一、充分条件的判断
问题 如何理解“绳锯木断”“水滴石穿”？“木断”是否一定是因为“绳锯”？“石穿”是否一定是因为“水滴”？
提示 “绳锯”可以导致“木断”，使“木断”的方法有很多，可以是电锯锯断，也许是直接掰断，也许是因为“绳锯”；同样“水滴”可以导致“石穿”，使“石穿”的方法也有很多，“水滴”只是其中的一种方式．正所谓“滴水能把石穿透，学习功到自然成”．
知识梳理
1．充分条件与必要条件
2．判定定理、性质定理与充分条件、必要条件的关系
(1)数学中的每一个判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件．
(2)数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件．
3．充分条件、必要条件与集合的关系
A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}
例1 (多选)下列命题中，p是q的充分条件的是( )
A．p：(x－2)(x－3)＝0，q：x－2＝0
B．p：两个三角形面积相等，q：两个三角形全等
C．p：a>2且b>2，q：a＋b>4，ab>4
D．已知a，b为正实数，p：a>b>1，q：a2>b2>0
答案 CD
解析 A，∵(x－2)(x－3)＝0，
∴x＝2或x＝3，不能推出x－2＝0.
∴p不是q的充分条件．
B，∵两个三角形面积相等，不能推出两个三角形全等，
∴p不是q的充分条件．
C，由a>2且b>2⇒a＋b>4，ab>4，
∴p是q的充分条件．
D，因为a>b>1⇒a2>b2>0，
所以p是q的充分条件．
反思感悟 充分条件的两种判定方法
(1)定义法：
①确定谁是条件，谁是结论；
②尝试从条件推结论，若由条件能推出结论，则条件是结论的充分条件，否则就不是充分条件．
(2)命题判断法：
①如果命题：“若p，则q”为真命题，那么p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；
②如果命题：“若p，则q”为假命题，那么p不是q的充分条件，同时q也不是p的必要条件．
跟踪训练1 给出下列四个条件：①a>0，b>0；②a<0，b<0；③a＝3，b＝－2；④a>0，b<0且|a|>|b|，其中________是a＋b>0的充分条件．(填序号)
答案 ①③④
解析 由a>0，b>0可推出a＋b>0；
由a<0，b<0推不出a＋b>0；
由a＝3，b＝－2可得a＋b＝1>0；
由a>0，b<0且|a|>|b|可得a＋b>0.
二、必要条件的判断
例2 在下列各命题中，q是p的必要条件吗？为什么？
(1)p：x－2＝0；q：(x－2)(x－3)＝0；
(2)p：两个三角形相似；q：两个三角形全等；
(3)p：m<－2；q：方程x2－x－m＝0无实根．
解 (1)∵x－2＝0⇒(x－2)(x－3)＝0，
∴q是p的必要条件．
(2)∵两个三角形相似推不出两个三角形全等，
∴q不是p的必要条件．
(3)∵方程x2－x－m＝0无实根，
∴Δ＝b2－4ac＝1－4×1×(－m)＝1＋4m<0，
解得m<－eq \f(1,4).
∵m<－2⇒m<－eq \f(1,4)，
∴q是p的必要条件．
反思感悟 必要条件的判定方法
(1)定义法：首先分清条件和结论，然后判断p⇒q和q⇒p是否成立，最后得出结论．
(2)集合法：对于涉及取值范围的判断题，可从集合的角度研究，若两个集合具有包含关系，则小范围⇒大范围，大范围推不出小范围．
(3)传递法：由递推式的传递性：p1⇒p2⇒p3⇒…⇒pn，则pn是p1的必要条件．
跟踪训练2 在以下命题中，分析p与q的关系：
(1)p：x>2同时y>3，q：x＋y>5；
(2)p：一个四边形的四个角都相等，q：四边形是正方形．
(3)p：α为锐角，q：α＝45°；
(4)p：(x＋1)(x－2)＝0，q：x＋1＝0.
解 (1)由于p⇒q，故p是q的充分条件，q是p的必要条件．
(2)由于q⇒p，故q是p的充分条件，p是q的必要条件．
(3)由于q⇒p，故p是q的必要条件，q是p的充分条件．
(4)由于q⇒p，故p是q的必要条件，q是p的充分条件．
三、充分条件与必要条件的应用
例3 已知命题p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，若p是q的必要条件，但不是充分条件，求实数m的取值范围．
解 p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)．
因为p是q的必要条件，但不是充分条件，
所以q是p的充分条件但不是必要条件，
即{x|1－m≤x≤1＋m}{x|－2≤x≤10}，
故有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－m≥－2，,1＋m<10))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－m>－2，,1＋m≤10，))
解得m≤3.又m>0，
所以实数m的取值范围为(0,3]．
延伸探究 若本例中“p是q的必要条件但不是充分条件”改为“p是q的充分条件但不是必要条件”，其他条件不变，求实数m的取值范围．
解 p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)．
因为p是q的充分条件但不是必要条件，
设p代表的集合为A，q代表的集合为B，
所以AB.
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－m≤－2，,1＋m>10))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－m<－2，,1＋m≥10.))
解不等式组得m>9或m≥9，
所以m≥9，
即实数m的取值范围是[9，＋∞)．
反思感悟 充分条件与必要条件的应用技巧
(1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题．
(2)求解步骤：先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解．
跟踪训练3 已知集合A＝{y|y＝x2－3x＋1，x∈R}，B＝{x|x＋2m≥0}；命题p：x∈A，命题q：x∈B.
(1)若p是q的充分条件，求实数m的取值范围；
(2)若p是q的必要条件，求实数m的取值范围．
解 由已知可得
A＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(y\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,2)))2－\f(5,4)，x∈R))))
＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(y\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(y≥－\f(5,4)))))，
B＝{x|x≥－2m}．
(1)若p是q的充分条件，
则p⇒q，所以A⊆B，
所以－2m≤－eq \f(5,4)，所以m≥eq \f(5,8)，
即m的取值范围是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,8)，＋∞)).
(2)若p是q的必要条件，
则q⇒p，所以B⊆A，
所以－2m≥－eq \f(5,4)，解得m≤eq \f(5,8).
即m的取值范围是eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(5,8))).
1．知识清单：
(1)充分条件的判断．
(2)必要条件的判断．
(3)充分条件与必要条件的应用．
2．方法归纳：转化法．
3．常见误区：充分条件、必要条件不唯一；求参数范围能否取到端点值．
1．设x∈R，则使x>3.14成立的一个充分条件是( )
A．x>3 B．x<3
C．x>4 D．x<4
答案 C
2．在平面内，下列是“四边形是矩形”的充分条件的是( )
A．四边形是平行四边形且对角线相等
B．四边形两组对边相等
C．四边形的对角线互相平分
D．四边形的对角线垂直
答案 A
3．(多选)有以下说法，其中正确的为( )
A．“m是有理数”是“m是实数”的充分条件
B．“x∈A∩B”是“x∈A”的必要条件
C．“x2－2x－3＝0”是“x＝3”的必要条件
D．“x>3”是“x2>4”的充分条件
答案 ACD
4．“x2＝2x”是“x＝0”的________条件，“x＝0”是“x2＝2x”的________条件．(用“充分”“必要”填空)
答案 必要 充分
解析 由于x＝0⇒x2＝2x，
所以“x2＝2x”是“x＝0”的必要条件，“x＝0”是“x2＝2x”的充分条件．
5．若“x>1”是“x>a”的充分条件，则a的取值范围是________．
答案 (－∞，1]
解析 因为x>1⇒x>a，所以a≤1.
1．(多选)使x>3成立的充分条件可以是( )
A．x>4 B．x>0
C．x>2 D．5答案 AD
解析 x>4⇒x>3,53.
2．(多选)使x>1成立的一个必要条件是( )
A．x>0 B．x>3
C．x>2 D．x>－1
答案 AD
解析 x>1⇒x>0，x>1⇒x>－1，其他选项均不可由x>1推出．
3．下列命题中，p是q的充分条件的是( )
A．p：ab≠0，q：a≠0
B．p：a2＋b2≥0，q：a≥0且b≥0
C．p：x2>1，q：x>1
D．p：a>b，q：eq \r(a)>eq \r(b)
答案 A
解析 根据充分条件的概念逐一判断．
4．下面四个条件中，使a>b成立的充分条件但不是必要条件的是( )
A．a≥b＋1 B．a>b－1
C．a2>b2 D．|a|>|b|
答案 A
解析 由a≥b＋1>b，得a≥b＋1⇒a>b；
反之，若a＝4，b＝3.5，则4>3.5,4≤3.5＋1，
故a>b⇏a≥b＋1.
5．(多选)下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的必要条件的有( )
A．若x，y是偶数，则x＋y是偶数
B．若a<2，则方程x2－2x＋a＝0有实根
C．若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形
D．若ab＝0，则a＝0
答案 BCD
解析 A，x＋y是偶数不一定能推出x，y是偶数，因为x，y可以都是奇数，不符合题意；
B，当方程x2－2x＋a＝0有实根时，则有(－2)2－4a≥0⇒a≤1，显然能推出a<2，符合题意；
C，因为菱形对角线互相垂直，所以由四边形是菱形能推出四边形的对角线互相垂直，符合题意；
D，显然由a＝0推出ab＝0，所以符合题意，故选BCD.
6．已知a，b都是实数，那么“eq \r(a)>eq \r(b)”是“|a|>|b|”的________条件，“|a|>|b|”是“eq \r(a)>eq \r(b)”的________条件．(填“充分”或“必要”)
答案 充分 必要
解析 由eq \r(a)>eq \r(b)可得a>b≥0可以推出|a|>|b|，
但|a|>|b|不可以推出eq \r(a)>eq \r(b).
7．已知p：a≤x≤a＋1，q：0答案 (0,3) ∅
解析 令M＝{x|a≤x≤a＋1}，N＝{x|0∵p是q的充分条件，
∴M⊆N，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>0，,a＋1<4，))解得0由p是q的必要条件，N⊆M，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a≤0，,a＋1≥4，))无解．
8．下列不等式：
①x<1；②0其中，可以为x2<1的一个充分条件的所有序号为________．
答案 ②③④
解析 由于x2<1，即－19．指出下列各题中，p是q的什么条件：
(1)在△ABC中，p：∠A>∠B，q：BC>AC；
(2)p：a＝3，q：(a＋2)(a－3)＝0；
(3)p：a解 (1)由大角对大边，且∠A>∠B知BC>AC，反之也正确，所以p既是q的充分条件，也是q的必要条件．
(2)若a＝3，则(a＋2)(a－3)＝0，
但(a＋2)(a－3)＝0不一定得出a＝3，
所以p是q的充分条件但不是必要条件．
(3)当a＝－2，b＝－1时，满足a1；
当a＝2，b＝－1时，满足eq \f(a,b)＝－2<1，但a>b.
所以p既不是q的充分条件，也不是必要条件．
10．已知p：eq \f(3－m,2)(1)若p是q的充分条件，求实数m的取值范围；
(2)若p是q的必要条件，求实数m的取值范围．
解 记A＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(3－m,2)B＝{x|0(1)若p是q的充分条件，则A⊆B.
注意到B＝{x|0分两种情况讨论：
①若A＝∅，即eq \f(3－m,2)≥eq \f(3＋m,2)，
解得m≤0，此时A⊆B，符合题意．
②若A≠∅，即eq \f(3－m,2)解得m>0，要使A⊆B，应有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(3－m,2)≥0，,\f(3＋m,2)≤3，,m>0，))
解得0综上可得，实数m的取值范围是(－∞，3]．
(2)若p是q的必要条件，则B⊆A.
分两种情况讨论：
①若eq \f(3－m,2)≥eq \f(3＋m,2)，即m≤0，则A＝∅，不符合题意．
②若A≠∅，即eq \f(3－m,2)0.
要使B⊆A，应有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(3－m,2)≤0，,\f(3＋m,2)≥3，,m>0，))解得m≥3.
综上可得，实数m的取值范围是[3，＋∞)．
11．对任意实数a，b，c，下列命题中，真命题是( )
A．“ac>bc”是“a>b”的必要条件
B．“ac＝bc”是“a＝b”的必要条件
C．“ac>bc”是“a>b”的充分条件
D．“ac＝bc”是“a＝b”的充分条件
答案 B
解析 “a＝b”⇒“a－b＝0”⇒“(a－b)c＝0”⇒“ac＝bc”，∴“ac＝bc”是“a＝b”的必要条件．
12．(多选)下列选项中，可以作为一元二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一个正根和一个负根的充分条件的是( )
A．a<0 B．a>0
C．a<－1 D．a<1
答案 AC
解析 因为一元二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一正根和一负根．
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Δ>0，,x1x2<0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4－4a>0，,\f(1,a)<0，))解得a<0.
13．设四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的________条件．(填“充分”或“必要”)
答案 充分
解析 若“四边形ABCD为菱形”，
则“对角线AC⊥BD”成立；
而若“对角线AC⊥BD”成立，
则“四边形ABCD不一定为菱形”，
所以“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的充分条件．
14．下列式子：
①a<0其中能使eq \f(1,a)答案 ①②④
解析 当a<0当b当b<0当0所以能使eq \f(1,a)15．集合A＝{x|－1A．{b|－2≤b<0} B．{b|0C．{b|－2答案 C
解析 A＝{x|－1因为“a＝1”是“A∩B≠∅”的充分条件，
所以－1≤b－1<1或－116．若p：－2解 若a＝－1，b＝eq \f(1,2)，则Δ＝a2－4b<0，关于x的方程x2＋ax＋b＝0无实根，故p⇏q.
若关于x的方程x2＋ax＋b＝0有两个小于1的不等正根，不妨设这两个根为x1，x2，
且0于是0<－a<2,0即－2所以p是q的必要条件，但不是充分条件．命题真假
“若p，则q” 是真命题
“若p，则q” 是假命题
推出关系
p⇒q
p⇏q
条件关系
p是q的充分条件q是p的必要条件
p不是q的充分条件q不是p的必要条件
A⊆B
p是q的充分条件
q是p的必要条件
A⊈B
p是q的不充分条件
q是p的不必要条件
B⊆A
q是p的充分条件
p是q的必要条件
B⊈A
q是p的不充分条件
p是q的不必要条件