2019年全国各地中考数学真题分类汇编 专题23 直角三角形与勾股定理(含解析)

专题训练23 直角三角形与勾股定理

一.选择题

1.（2019•湖北省咸宁市•3分）勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”．我国对勾股定理的证明是由汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，他用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽弦图”.2002年在北京召开的国际数学大会选它作为会徽．下列图案中是“赵爽弦图”的是（　　）

A． B． C． D．

【分析】“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．

【解答】解：“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，如图所示：

故选：B．

【点评】本题主要考查了勾股定理的证明，证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理．

2.（2019湖北宜昌3分）古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦﹣秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记p＝，那么三角形的面积为S＝．如图，在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别记为a，b，c，若a＝5，b＝6，c＝7，则△ABC的面积为（　　）

A．6 B．6 C．18 D．

【分析】利用阅读材料，先计算出p的值，然后根据海伦公式计算△ABC的面积；

【解答】解：∵a＝7，b＝5，c＝6．

∴p＝＝9，

∴△ABC的面积S＝＝6；

故选：A．

【点评】考查了二次根式的应用，解题的关键是代入后正确的运算，难度不大．

3.（2019湖南益阳4分）已知M、N是线段AB上的两点，AM＝MN＝2，NB＝1，以点A为圆心，AN长为半径画弧；再以点B为圆心，BM长为半径画弧，两弧交于点C，连接AC，BC，则△ABC一定是（　　）

A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形

【分析】依据作图即可得到AC＝AN＝4，BC＝BM＝3，AB＝2+2+1＝5，进而得到AC2+BC2＝AB2，即可得出△ABC是直角三角形．

【解答】解：如图所示，AC＝AN＝4，BC＝BM＝3，AB＝2+2+1＝5，

∴AC2+BC2＝AB2，

∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，

故选：B．

【点评】本题主要考查了勾股定理的逆定理，如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．

4. （2019•贵州省铜仁市•4分）如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD＝7，BD＝4，CD＝3，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，则四边形EFGH的周长为（　　）

A．12 B．14 C．24 D．21

A．【解答】解：∵BD⊥CD，BD＝4，CD＝3，

∴BC＝＝＝5，

∵E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，

∴EH＝FG＝BC，EF＝GH＝AD，

∴四边形EFGH的周长＝EH+GH+FG+EF＝AD+BC，

又∵AD＝7，

∴四边形EFGH的周长＝7+5＝12．

5．(2019•湖南益阳•4分)已知M、N是线段AB上的两点，AM＝MN＝2，NB＝1，以点A为圆心，AN长为半径画弧；再以点B为圆心，BM长为半径画弧，两弧交于点C，连接AC，BC，则△ABC一定是(　　)

A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形

【考点】勾股定理的逆定理．

【分析】依据作图即可得到AC＝AN＝4，BC＝BM＝3，AB＝2+2+1＝5，进而得到AC2+BC2＝AB2，即可得出△ABC是直角三角形．

【解答】解：如图所示，AC＝AN＝4，BC＝BM＝3，AB＝2+2+1＝5，

∴AC2+BC2＝AB2，

∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，故选B．

【点评】本题主要考查了勾股定理的逆定理，如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．

6. (2019湖北咸宁市3分)勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”．我国对勾股定理的证明是由汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，他用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽弦图”.2002年在北京召开的国际数学大会选它作为会徽．下列图案中是“赵爽弦图”的是（　　）

A． B． C． D．

【分析】“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．

【解答】解：“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，如图所示：

故选：B．

【点评】本题主要考查了勾股定理的证明，证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理．

二.填空题

1.（2019•湖北省鄂州市•3分）如图，已知线段AB＝4，O是AB的中点，直线l经过点O，∠1＝60°，P点是直线l上一点，当△APB为直角三角形时，则BP＝　　．

【分析】分∠APB＝90°、∠PAB＝90°、∠PBA＝90°三种情况，根据直角三角形的性质、勾股定理计算即可．

【解答】解：∵AO＝OB＝2，

∴当BP＝2时，∠APB＝90°，

当∠PAB＝90°时，∵∠AOP＝60°，

∴AP＝OA•tan∠AOP＝2，

∴BP＝＝2，

当∠PBA＝90°时，∵∠AOP＝60°，

∴BP＝OB•tan∠1＝2，

故答案为：2或2或2．

【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．

2.（2019浙江丽水8分）如图，在7×6的方格中，△ABC的顶点均在格点上．试按要求画出线段EF（E，F均为格点），各画出一条即可．

【分析】从图中可得到AC边的中点在格点上设为E，过E作AB的平行线即可在格点上找到F；EC＝，EF＝，FC＝，借助勾股定理确定F点；

【解答】解：如图：

从图中可得到AC边的中点在格点上设为E，过E作AB的平行线即可在格点上找到F，则EG平分BC；

EC＝，EF＝，FC＝，借助勾股定理确定F点，则EF⊥AC；

借助圆规作AB的垂直平分线即可；

【点评】本题考查三角形作图；在格点中利用勾股定理，三角形的性质作平行、垂直、中点是解题的关键．

3. （2019·贵州安顺·4分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝3，AC＝4，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为　   　．

【解答】解：∵∠BAC＝90°，且BA＝3，AC＝4，

∴BC＝＝5，

∵DM⊥AB，DN⊥AC，

∴∠DMA＝∠DNA＝∠BAC＝90°，

∴四边形DMAN是矩形，

∴MN＝AD，

∴当AD⊥BC时，AD的值最小，

此时，△ABC的面积＝AB×AC＝BC×AD，

∴AD＝＝，

∴MN的最小值为；

故答案为：．

4. （2019•海南省•4分）如图，将Rt△ABC的斜边AB绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜90°）得到AE，直角边AC绕点A逆时针旋转β（0°＜β＜90°）得到AF，连结EF．若AB＝3，AC＝2，且α+β＝∠B，则EF＝　　．

【分析】由旋转的性质可得AE＝AB＝3，AC＝AF＝2，由勾股定理可求EF的长．

【解答】解：由旋转的性质可得AE＝AB＝3，AC＝AF＝2，

∵∠B+∠BAC＝90°，且α+β＝∠B，

∴∠BAC+α+β＝90°

∴∠EAF＝90°

∴EF＝＝

故答案为：

【点评】本题考查了旋转的性质，勾股定理，灵活运用旋转的性质是本题的关键5.

5．（2019•山东临沂•3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝120°，BC＝4，D为AB的中点，DC⊥BC，则△ABC的面积是　8　．

【分析】根据垂直的定义得到∠BCD＝90°，得到长CD到H使DH＝CD，由线段中点的定义得到AD＝BD，根据全等三角形的性质得到AH＝BC＝4，∠H＝∠BCD＝90°，求得CD＝2，于是得到结论．

【解答】解：∵DC⊥BC，

∴∠BCD＝90°，

∵∠ACB＝120°，

∴∠ACD＝30°，

延长CD到H使DH＝CD，

∵D为AB的中点，

∴AD＝BD，

在△ADH与△BCD中，，

∴△ADH≌△BCD（SAS），

∴AH＝BC＝4，∠H＝∠BCD＝90°，

∵∠ACH＝30°，

∴CH＝AH＝4，

∴CD＝2，

∴△ABC的面积＝2S△BCD＝2××4×2＝8，

故答案为：8．

【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，解直角三角形，三角形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．

6．（2019•山东威海•3分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，连接AC，BD．若∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝BD，则∠ADC＝　105　°．

【分析】作DE⊥AB于E，CF⊥AB于F，则DE＝CF，由等腰直角三角形的性质得出CF＝AF＝BF＝AB，得出DE＝CF＝AB＝BD，∠BAD＝∠BDA，由直角三角形的性质得出∠ABD＝30°，得出∠BAD＝∠BDA＝75°，再由平行线的性质即可得出答案．

【解答】解：作DE⊥AB于E，CF⊥AB于F，如图所示：

则DE＝CF，

∵CF⊥AB，∠ACB＝90°，AC＝BC，

∴CF＝AF＝BF＝AB，

∵AB＝BD，∴DE＝CF＝AB＝BD，∠BAD＝∠BDA，

∴∠ABD＝30°，

∴∠BAD＝∠BDA＝75°，

∵AB∥CD，

∴∠ADC+∠BAD＝180°，

∴∠ADC＝105°；

故答案为：105°．

【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质、平行线的性质、含30°角的直角三角形的性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握等腰三角形的性质，证出∠ABD＝30°是解题的关键．

7．（2019•山东青岛•3分）如图，在正方形纸片ABCD中，E是CD的中点，将正方形纸片折叠，点B落在线段AE上的点G处，折痕为AF．若AD＝4cm，则CF的长为　6﹣　cm．

【分析】设BF＝x，则FG＝x，CF＝4﹣x，在Rt△GEF中，利用勾股定理可得EF2＝（﹣4）2+x2，在Rt△FCE中，利用勾股定理可得EF2＝（4﹣x）2+22，从而得到关于x方程，求解x，最后用4﹣x即可．

【解答】解：设BF＝x，则FG＝x，CF＝4﹣x．

在Rt△ADE中，利用勾股定理可得AE＝．

根据折叠的性质可知AG＝AB＝4，所以GE＝﹣4．

在Rt△GEF中，利用勾股定理可得EF2＝（﹣4）2+x2，

在Rt△FCE中，利用勾股定理可得EF2＝（4﹣x）2+22，

所以（﹣4）2+x2＝（4﹣x）2+22，

解得x＝﹣2．

则FC＝4﹣x＝6﹣．

故答案为6﹣．

【点评】本题主要考查了折叠的性质、勾股定理．折叠问题主要是抓住折叠的不变量，在直角三角形中利用勾股定理求解是解题的关键．

8．（2019•山东潍坊•3分）如图，在矩形ABCD中，AD＝2．将∠A向内翻折，点A落在BC上，记为A′，折痕为DE．若将∠B沿EA′向内翻折，点B恰好落在DE上，记为B′，则AB＝　　．

【分析】利用矩形的性质，证明∠ADE＝∠A'DE＝∠A'DC＝30°，∠C＝∠A'B'D＝90°，推出△DB'A'≌△DCA'，CD＝B'D，设AB＝DC＝x，在Rt△ADE中，通过勾股定理可求出AB的长度．

【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，

∴∠ADC＝∠C＝∠B＝90°，AB＝DC，

由翻折知，△AED≌△A'ED，△A'BE≌△A'B'E，∠A'B'E＝∠B＝∠A'B'D＝90°，

∴∠AED＝∠A'ED，∠A'EB＝∠A'EB'，BE＝B'E，

∴∠AED＝∠A'ED＝∠A'EB＝×180°＝60°，

∴∠ADE＝90°﹣∠AED＝30°，∠A'DE＝90°﹣∠A'EB＝30°，

∴∠ADE＝∠A'DE＝∠A'DC＝30°，

又∵∠C＝∠A'B'D＝90°，DA'＝DA'，

∴△DB'A'≌△DCA'（AAS），

∴DC＝DB'，

在Rt△AED中，

∠ADE＝30°，AD＝2，

∴AE＝＝，

设AB＝DC＝x，则BE＝B'E＝x﹣

∵AE2+AD2＝DE2，

∴（）2+22＝（x+x﹣）2，

解得，x1＝（负值舍去），x2＝，

故答案为：．

【点评】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质等，解题关键是通过轴对称的性质证明∠AED＝∠A'ED＝∠A'EB＝60°．9.

三.解答题

1.（2019•湖北省荆门市•9分）如图，已知平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝3，AC＝2．

（1）求平行四边形ABCD的面积；

（2）求证：BD⊥BC．

【分析】（1）作CE⊥AB交AB的延长线于点E，设BE＝x，由勾股定理列出关于x的方程，解方程求出平行四边形的高，进而即可求出其面积；

（2）利用全等三角形的判定与性质得出AF＝BE＝，BF＝5﹣＝，DF＝CE＝，从而求出BD的长，在△BCD中利用勾股定理的逆定理即可证明两直线垂直．

【解答】解：（1）作CE⊥AB交AB的延长线于点E，如图：

设BE＝x，CE＝h

在Rt△CEB中：x2+h2＝9①

在Rt△CEA中：（5+x）2+h2＝52②

联立①②解得：x＝，h＝

∴平行四边形ABCD的面积＝AB•h＝12；

（2）作DF⊥AB，垂足为F

∴∠DFA＝∠CEB＝90°

∵平行四边形ABCD

∴AD＝BC，AD∥BC

∴∠DAF＝∠CBE

又∵∠DFA＝∠CEB＝90°，AD＝BC

∴△ADF≌△BCE（AAS）

∴AF＝BE＝，BF＝5﹣＝，DF＝CE＝

在Rt△DFB中：BD2＝DF2+BF2＝（）2+（）2＝16

∴BD＝4

∵BC＝3，DC＝5

∴CD2＝DB2+BC2

∴BD⊥BC．

【点评】本题主要考查了平行四边形的性质、勾股定理及其逆定理以及全等三角形的判定与性质，综合性较强．

2 （2019•河北省•9分）已知：整式A＝（n2﹣1）2+（2n）2，整式B＞0．

尝试 化简整式A．

发现 A＝B2，求整式B．

联想 由上可知，B2＝（n2﹣1）2+（2n）2，当n＞1时，n2﹣1，2n，B为直角三角形的三边长，如图．填写下表中B的值：

【解答】解：A＝（n2﹣1）2+（2n）2＝n4﹣2n2+1+4n2＝n4+2n2+1＝（n2+1）2，

∵A＝B2，B＞0，

∴B＝n2+1，

当2n＝8时，n＝4，∴n2+1＝42+1＝15；

当n2﹣1＝35时，n2+1＝37．

故答案为：15；37