2025高考数学一轮复习-圆锥曲线中的最值、范围问题-专项训练【含解析】

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1．在平面直角坐标系中，圆O交x轴于点F1，F2，交y轴于点B1，B2．以B1，B2为顶点，F1，F2分别为左、右焦点的椭圆E，恰好经过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(\r(2),2)))．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)设经过点(－2,0)的直线l与椭圆E交于M，N两点，求△F2MN面积的最大值．
2．已知抛物线C：y2＝4x，点F是C的焦点，O为坐标原点，过点F的直线l与C相交于A，B两点．
(1)求向量eq \(OA,\s\up7(―→))与eq \(OB,\s\up7(―→))的数量积；
(2)设eq \(FB,\s\up7(―→))＝λeq \(AF,\s\up7(―→))，若λ∈[9,16]，求l在y轴上的截距的取值范围．
3．已知椭圆E：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的离心率为eq \f(\r(3),2)，E的左顶点为A，上顶点为B，点P在椭圆上，且△PF1F2的周长为4＋2eq \r(3)．
(1)求椭圆E的方程；
(2)若直线l：y＝kx＋m(k≠0)与椭圆交于不同的两点M，N，且线段MN的垂直平分线过定点G(1,0)，求k的取值范围．
4．已知椭圆E：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆E的离心率为eq \f(\r(3),2)，且通径长为1．
(1)求E的方程；
(2)直线l与E交于M，N两点(M，N在x轴的同侧)，当F1M∥F2N时，求四边形F1F2NM面积的最大值．
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圆锥曲线中的最值、范围问题【解析版】
1．在平面直角坐标系中，圆O交x轴于点F1，F2，交y轴于点B1，B2．以B1，B2为顶点，F1，F2分别为左、右焦点的椭圆E，恰好经过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(\r(2),2)))．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)设经过点(－2,0)的直线l与椭圆E交于M，N两点，求△F2MN面积的最大值．
解：(1)由已知可得，椭圆E的焦点在x轴上．
设椭圆E的标准方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，焦距为2c，则b＝c，
∴a2＝b2＋c2＝2b2，∴椭圆E的标准方程为eq \f(x2,2b2)＋eq \f(y2,b2)＝1．
又椭圆E过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(\r(2),2)))，∴eq \f(1,2b2)＋eq \f(\f(1,2),b2)＝1，解得b2＝1．
∴椭圆E的标准方程为eq \f(x2,2)＋y2＝1．
(2)由于点(－2,0)在椭圆E外，所以直线l的斜率存在．
设直线l的斜率为k，则直线l：y＝k(x＋2)，设M(x1，y1)，N(x2，y2)．
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋2，,\f(x2,2)＋y2＝1，))消去y得，(1＋2k2)x2＋8k2x＋8k2－2＝0．
由Δ＞0得0≤k2＜eq \f(1,2)，从而x1＋x2＝eq \f(－8k2,1＋2k2)，x1x2＝eq \f(8k2－2,1＋2k2)，
∴|MN|＝eq \r(1＋k2)|x1－x2|＝2eq \r(1＋k2)eq \r(\f(2－4k2,1＋2k22))．
∵点F2(1,0)到直线l的距离d＝eq \f(3|k|,\r(1＋k2))，
∴△F2MN的面积为S＝eq \f(1,2)|MN|·d＝3eq \r(\f(k22－4k2,1＋2k22))．
令1＋2k2＝t，则t∈[1,2)，
∴S＝3eq \r(\f(t－12－t,t2))＝3eq \r(\f(－t2＋3t－2,t2))＝3eq \r(－1＋\f(3,t)－\f(2,t2))＝3 eq \r(－2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,t)－\f(3,4)))2＋\f(1,8))，
当eq \f(1,t)＝eq \f(3,4)即t＝eq \f(4,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)∈[1，2))时，S有最大值，Smax＝eq \f(3\r(2),4)，此时k＝±eq \f(\r(6),6)．
∴当直线l的斜率为±eq \f(\r(6),6)时，可使△F2MN的面积最大，其最大值eq \f(3\r(2),4)．
2．已知抛物线C：y2＝4x，点F是C的焦点，O为坐标原点，过点F的直线l与C相交于A，B两点．
(1)求向量eq \(OA,\s\up7(―→))与eq \(OB,\s\up7(―→))的数量积；
(2)设eq \(FB,\s\up7(―→))＝λeq \(AF,\s\up7(―→))，若λ∈[9,16]，求l在y轴上的截距的取值范围．
解：(1)设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)．
由题意知直线l的斜率不可能为0，F(1,0)，设直线l的方程为x＝my＋1．
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝my＋1，,y2＝4x，))得y2－4my－4＝0，Δ＝16m2＋16＞0，
由根与系数的关系得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y1＋y2＝4m，,y1y2＝－4.))
∴eq \(OA,\s\up7(―→))·eq \(OB,\s\up7(―→))＝x1x2＋y1y2＝eq \f(y\\al(2,1)y\\al(2,2),16)＋y1y2＝eq \f(16,16)－4＝－3．
∴向量eq \(OA,\s\up7(―→))与eq \(OB,\s\up7(―→))的数量积为－3．
(2)由(1)知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y1＋y2＝4m，,y1y2＝－4.))
∵eq \(FB,\s\up7(―→))＝λeq \(AF,\s\up7(―→))，∴y2＝－λy1．
将y2＝－λy1代入eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y1＋y2＝4m，,y1y2＝－4，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－λy1＝4m，,－λy\\al(2,1)＝－4，))
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－λ2y\\al(2,1)＝16m2，,－λy\\al(2,1)＝－4，))
∴eq \f(1－λ2,－λ)＝－4m2，
∴4m2＝eq \f(1－λ2,λ)＝λ＋eq \f(1,λ)－2．
令f(λ)＝λ＋eq \f(1,λ)－2，易知f(λ)在[9,16]上单调递增，
∴4m2∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(64,9)，\f(225,16)))，∴m2∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(16,9)，\f(225,64)))，
∴m∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(15,8)，－\f(4,3)))∪eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，\f(15,8)))．
∴l在y轴上的截距－eq \f(1,m)的取值范围为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(3,4)，－\f(8,15)))∪eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(8,15)，\f(3,4)))．
3．已知椭圆E：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的离心率为eq \f(\r(3),2)，E的左顶点为A，上顶点为B，点P在椭圆上，且△PF1F2的周长为4＋2eq \r(3)．
(1)求椭圆E的方程；
(2)若直线l：y＝kx＋m(k≠0)与椭圆交于不同的两点M，N，且线段MN的垂直平分线过定点G(1,0)，求k的取值范围．
解：(1)由题意知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2a＋2c＝4＋2\r(3)，,e＝\f(c,a)＝\f(\r(3),2)，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2，,c＝\r(3)，))
则b2＝a2－c2＝1，∴椭圆E的方程为eq \f(x2,4)＋y2＝1．
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，弦MN的中点D(x0，y0)，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋m，,\f(x2,4)＋y2＝1，))消去y整理得，(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，
∵直线l：y＝kx＋m(k≠0)与椭圆交于不同的两点，
∴Δ＝64k2m2－4(1＋4k2)(4m2－4)＞0，即m2＜1＋4k2，
由根与系数的关系得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x1＋x2＝－\f(8km,1＋4k2)，,x1·x2＝\f(4m2－4,1＋4k2)，))则x0＝eq \f(x1＋x2,2)＝－eq \f(4km,1＋4k2)，y0＝kx0＋m＝eq \f(m,1＋4k2)，
所以直线DG的斜率为kDG＝eq \f(y0,x0－1)＝－eq \f(m,4km＋1＋4k2)，
又由直线DG和直线MN垂直可得－eq \f(m,4km＋1＋4k2)·k＝－1，则m＝－eq \f(1＋4k2,3k)，
代入m2＜1＋4k2可得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1＋4k2,3k)))2＜1＋4k2，即k2＞eq \f(1,5)，解得k＞eq \f(\r(5),5)或k＜－eq \f(\r(5),5)．
故所求k的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(\r(5),5)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5),5)，＋∞))．
4．已知椭圆E：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆E的离心率为eq \f(\r(3),2)，且通径长为1．
(1)求E的方程；
(2)直线l与E交于M，N两点(M，N在x轴的同侧)，当F1M∥F2N时，求四边形F1F2NM面积的最大值．
解：(1)依题意可知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(c,a)＝\f(\r(3),2)，,\f(2b2,a)＝1，,a2＝b2＋c2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2，,b＝1，,c＝\r(3)，))故椭圆的方程为eq \f(x2,4)＋y2＝1．
(2)假设M，N两点在x轴上侧，如图所示，延长MF1交E于点M0，由F1M∥F2N知M0与N关于原点对称，从而有|F1M0|＝|F2N|，由(1)可知F1(－eq \r(3)，0)，F2(eq \r(3)，0)，
设M(x1，y1)，M0(x2，y2)，设MF1的方程为x＝my－eq \r(3)，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝my－\r(3)，,\f(x2,4)＋y2＝1))得(m2＋4)y2－2eq \r(3)my－1＝0，Δ＝12m2＋4(m2＋4)>0，故eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y1＋y2＝\f(2\r(3)m,m2＋4)，,y1y2＝－\f(1,m2＋4).))
设F1M与F2N的距离为d，四边形F1F2NM的面积为S，
则S＝eq \f(1,2)(|F1M|＋|F2N|)d＝eq \f(1,2)(|F1M|＋|F1M0|)d＝eq \f(1,2)|MM0|d＝Seq \a\vs4\al(△MF2M0)，
又因为Seq \a\vs4\al(△MF2M0)＝eq \f(1,2)·|F1F2|·|y1－y2|＝eq \f(1,2)×2eq \r(3)×|y1－y2|
＝eq \r(3) eq \r(y1＋y22－4y1y2)＝eq \r(3)·eq \r(\f(12m2,m2＋42)＋\f(4,m2＋4))
＝eq \f(4\r(3) \r(m2＋1),m2＋4)＝eq \f(4\r(3),\r(m2＋1)＋\f(3,\r(m2＋1)))≤eq \f(4\r(3),2\r(3))＝2，
当且仅当eq \r(m2＋1)＝eq \f(3,\r(m2＋1))，即m＝±eq \r(2)时，等号成立，故四边形F1F2NM面积的最大值为2．